22.1 比例线段（第3课时 比例线段与黄金分割）（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册 第二十二章 相似形 22.1 比例线段 第三课时 比例线段与黄金分割 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点） 3.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 读万卷书，行万里路，我要带着知识去看世界 情景导入 位于上海黄浦江畔的东方明珠塔，设计师有意将上球体选在295 米之间的位置，这个位置恰好在塔身5 比8 的地方，这0.618 的比值，使塔身显得非常协调、美观。 除了国外著名的巴黎圣母院、胡夫金字塔、雅典帕德嫩神庙、纽约联合国大楼、印度泰姬陵具有黄金分割外，在我国境内远近闻名的故宫同样具有，最突出表现在故宫“门”的设计上。 本节课我们就来探讨一下它的秘密吧！ 1.比例的性质 新知探究 思考探究：如果四个数a , b, c, b成比例，即 那么 ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗？ 假设四个数a,b,c,d成比例，即 那么ad=bc吗？ 根据等式的基本性质，我们在 两边同时乘以bd，就可以得到ad=bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. b≠0，d ≠0 根据等式的基本性质，我们在 两边同时乘以bd，就可以得到ad=bc 在分式中，分母不能为0. 由此可得到比例的基本性质： 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 . 例1.根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 6a=7b ； 解（1）∵ 6a=7b， （2） = ∴ = （2）∵ = ， ∴ = 典例剖析 已知 = ，求 的值 解：解法1：由比例的基本性质， 得2（a+3b）=7×2b. ∴a=4b，∴ =4 典例剖析 解法2：由 = ，得 =7 ∴ = +3=7， ∴ =4 例2 ，那么 、 各等于多少？ 3．已知 1．已知:线段a、b、c满足关系式 且b＝4，那么ac＝______． ， 16 2．若线段a、b、c满足关系 ，,则a：b：c ＝______． 3：4：5 练一练 ,还有什么其他性质吗？ 在等式两边同时加上1,得 由此可得到比例的合比性质： 如果 ，那么 b≠0，d ≠0 12 思考探究：若已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （b+d+f≠0）,那么 成立吗？为什么？ 设 ,则 a = kb, c = kd , e= kf . 2.等比性质 新知探究 你能用数学语言总结出来吗？ 成立 13 由此可得到比例的又一性质： 概念归纳 14 例3.（课本例2）在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，这个图纸所反映的实际△A’B’C’的周长是多少？ 解：根据题意，得 即 课本例题 例4.在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长. 解：∵ ∴ ∴4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD). 即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ， 又 △ABC的周长为18cm， 即 AB+BC+CA=18cm. ∴ △DEF的周长为24cm. 典例剖析 例5.若a，b，c都是不等于零的数，且 ，求k的值. 得 ， 则k＝＝2； 当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c. 此时 综上所述，k的值是2或－1. 解：当a＋b＋c≠0时，由 ， 典例剖析 答：实际△A'B'C'的周长是600m ∴ A'B'+B'C'+A'C'=12×5000=60000(cm)=600（m）. 一个五角星如下图所示. 思考探究：度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？ A C B A B C 3.黄金分割的概念 新知探究 = 19 A B C 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 = , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比称为黄金比. 概念归纳 例6.(课本例3)如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值. A P B 解 设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得 a:x=x:(a-x), 即 x2+ax-a2=0. 解方程，得 课本例题 A P B 因为线段长不能是负值，所以取 即 于是 4.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: （1）.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB （2）.连接AD,在AD上截取DE=DB. （3）.在AB上截取AC=AE. 点C是线段AB的黄金分割点吗? A B D E C 练一练 23 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 例7.如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么? 典例剖析 点E是AB的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 典例剖析 例8.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美. 课本练习 1.在比例尺是1：50的图纸上，量得一个零件的长是32 cm，求这个零件的实际长. 解：设这个零件的实际长为 x cm. 由题意，得32：x=1：50， 解得x=1 600. 1 600 cm = 16 m. 2.已知：a:b =c：d，且a =2.4 cm，b =3.6 cm，c = 5.4 cm，求d 的值. 3.已知5x-4y=0，求和的值. 4.已知，求a:b的值. 5.已知ad = bc，如何能得到d:b =c：a？还能得到哪些比例式子？ 解：将 ad= bc 两边同时除以 ab， 得 d:b =ca. 还可以得到以下比例式： a：b = c：d，a：c = b：d，d：c = b：a，c：a = d：b. 7.已知点C是线段AB的黄金分割点，BC = AC +2，求线段AC的长. C B 随堂练 B B 随堂练 4,6,8 12.4 178 cm 随堂练 随堂练 bc D 分层练习-基础 A D 分层练习-基础 分层练习-基础 D －1或2 分层练习-基础 B A 分层练习-巩固 分层练习-巩固 3.当人体下半身长度与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高160cm，下半身长度x（单位：cm）与身高1（单位：cm）的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，她穿的高跟鞋的高度约为 cm.（结果保留一位小数） 7.5 4.已知x:y=3：4，y:z=4：5，且3x+2y-z=24，则5x-3y+2z= . 26 分层练习-巩固 5.[易错题]已知，试探究直线y=kx+k经过哪些象限，并说明理由. ∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k. ∴a+b+c=2（a+b+c）k. ①当a+b+c≠0时，， 此时直线y= x+ 经过第一、二、三象限； 分层练习-巩固 ②当a+b+c=0时，k= -1， 此时直线y=-x-1 经过第二、三、四象限. 易错点：忽略a+b+c=0的情况而漏解. 分层练习-巩固 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-拓展 分层练习-拓展 ad＝bc 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 【例3】线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，求AC的长． 比例的 性质 如果 那么 ad = bc 基本 性质 等比 性质 如果ad = bc（a , b, c, d）都不等于0， 那么 课堂小结 黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段：原线段 = 定义 课堂小结 + 1．将mn＝pq(mnpq≠0)写成比例式正确的是(　　) A.eq \f(m,p)＝eq \f(n,q)　　　　　 B．eq \f(m,n)＝eq \f(p,q) C.eq \f(q,m)＝eq \f(n,p) D．eq \f(p,m)＝eq \f(q,n) 2．若eq \f(a,2)＝eq \f(b,5)(ab≠0)，eq \f(a,b)的值为(　　) A．5∶2 B．2∶5 C．3∶2 D．3∶5 3．已知eq \f(m－n,m)＝eq \f(4,7)，那么eq \f(n,m)等于(　　) A.eq \f(4,7)　　 B．eq \f(3,7)　　 C．－eq \f(4,7)　　 D．－eq \f(3,7) 4．若eq \f(a＋b,b)＝eq \f(8,5)，则eq \f(a－b,b)等于(　　) A.eq \f(2,5)　　 B．－eq \f(2,5)　　 C．eq \f(3,5)　　 D．－eq \f(3,5) 5．已知eq \f(c,4)＝eq \f(b,5)＝eq \f(a,6)≠0，则eq \f(b＋c,a)的值为　　. 6．已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)≠0，且x＋y＋z＝18，则x、y、z的值分别为 . 7．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为 cm(精确到0.1 cm)． 8．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq \f(\r(5)－1,2)(eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq \f(\r(5)－1,2).若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26 cm，则其身高约为 (精确到1 cm)． eq \f(3,2) 9．小明家承包了两块三角形土地，△ABC和△A′B′C′，已知eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，且△ABC的周长为240米，求出△A′B′C′的周长． 解：∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(AB＋BC＋AC,A′B′＋B′C′＋A′C′)＝eq \f(3,4)，∵AB＋BC＋AC＝240(米)，∴A′B′＋B′C′＋A′C′＝320(米)． 答：△A′B′C′的周长为320米． 知识点：比例线段的性质 基本性质：若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则ad＝ (b、d≠0)．合比性质：若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则eq \f(a＋b,b)＝　 　(b、d≠0)．等比性质：若eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)＝…＝eq \f(an,bn).且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，则eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…bn)＝　　． 1．把mn＝pq写成比例式，写错的是(　　) A.eq \f(m,p)＝eq \f(q,n) B．eq \f(p,m)＝eq \f(n,q) C．eq \f(q,m)＝eq \f(n,p) D．eq \f(m,n)＝eq \f(p,q) eq \f(c＋d,d) eq \f(a1,b1) 2．已知eq \f(a－b,a)＝eq \f(3,5)，那么eq \f(b,a)等于(　　) A.eq \f(2,5) B．eq \f(5,2) C．－eq \f(2,5) D．－eq \f(5,2) 3．设eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，则下面的式子中正确的是(　　) A.eq \f(a,4)＝eq \f(b,3) B．3a＝4b C．4a＋3b＝0 D．eq \f(a－3,b－4)＝eq \f(3,4) eq \f(3,4) 4．已知：3a＝2b，那么eq \f(2a＋3b,2a－3b)＝　 　. 5．若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)＝eq \f(3,4)(b＋d≠0，b＋f≠0，b＋d＋f≠0)，则eq \f(a＋c,b＋d)＝　　，eq \f(a＋e,b＋f)＝ 　　，eq \f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝　　. －eq \f(13,5) eq \f(3,4) eq \f(3,4) 6．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列等式不正确的是(　　) A.eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC) B．eq \f(AC,AB)≈0.618 C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB D．BC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB 7．已知eq \f(x,y)＝eq \f(3,2)，则eq \f(x－y,y)＝_______；eq \f(x＋y,y)＝_______；eq \f(x－y,x＋y)＝_______. 8．若eq \f(a＋b,c)＝eq \f(b＋c,a)＝eq \f(c＋a,b)＝k，则k＝ . eq \f(1,2) eq \f(5,2) eq \f(1,5) 1．如果2x＝3y(x、y均不为0)，那么下列各式中正确的是(　　) A.eq \f(x,y)＝eq \f(2,3) B．eq \f(x,x－y)＝3 C.eq \f(x＋y,y)＝eq \f(5,3) D．eq \f(x,x＋y)＝eq \f(2,5) 2．已知正数a、b、c，且eq \f(a,b＋c)＝eq \f(b,c＋a)＝eq \f(c,a＋b)＝k，则下列四个点中在正比例函数y＝kx图象上的点的坐标是(　　) A．(1，eq \f(1,2))　　　　　　 B．(1,2) C．(1，－eq \f(1,2)) D．(1，－1) 6．小明家承包了两块三角形土地，△ABC和△A′B′C′，已知eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，且△ABC的周长为240米，你能求出△A′B′C′的周长吗？ 解：∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(AB＋BC＋AC,A′B′＋B′C′＋A′C′)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(C△ABC,C△A′B′C′)＝eq \f(3,4)，∴C△A′B′C′＝eq \f(4C△ABC,3)＝eq \f(4×240,3)＝320(米)． 7．设a、b、c为△ABC的三边，且eq \f(a－b,b)＝eq \f(b－c,c)＝eq \f(c－a,a)，试判断△ABC的形状，请给出证明． 解：△ABC为等边三角形．证明如下：∵eq \f(a－b,b)＝eq \f(b－c,c)＝eq \f(c－a,a)，∴eq \f(a－b＋b,b)＝eq \f(b－c＋c,c)＝eq \f(c－a＋a,a)，即eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)＝eq \f(c,a)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)＝eq \f(c,a)＝eq \f(a＋b＋c,b＋c＋a)＝1，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形． 8．如图，已知eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC). (1)求证：eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE)； (2)若AE∶EC＝2∶3，DB－AD＝3 cm， 求线段AD的长． (1)证明：∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，∴eq \f(AB－AD,AD)＝eq \f(AC－AE,AE)，∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(CE,AE)，∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE)； (2)解：∵eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE)，∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(AD,BD)，∵AE∶EC＝2∶3，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,3)，设AD＝2x，BD＝3x，∵DB－AD＝3 cm，∴3x－2x＝3，∴x＝3，∴AD＝2x＝6(cm)． 9．如图所示，以长为2 cm的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD.再以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上． (1)求AM、DM的长； (2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由． 解：(1)∵点P是AB的中点，∴AP＝1 cm.∵AD＝2 cm，∴PD＝eq \r(AP2＋AD2)＝eq \r(5) cm.∵PF＝PD，∴PF＝eq \r(5) cm，∵AF＝PF－PA，∴AM＝AF＝(eq \r(5)－1)cm，MD＝AD－AM＝2－(eq \r(5)－1)＝(3－eq \r(5))cm； (2)∵AM2＝(eq \r(5)－1)2＝6－2eq \r(5)，AD·MD＝2×(3－eq \r(5))＝6－2eq \r(5)，∴AM2＝AD·MD，∴点M是线段AD的黄金分割点． 基本性质 若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则 ；若ad＝bc，则 (b、d≠0)． 合比性质 若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，则 (b、d≠0)． 等比性质 若eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝…＝eq \f(an,bn)，且b1＋b2＋…＋bn≠0，则eq \f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝ . eq \f(a,b)＝eq \f(c,d) eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d) eq \f(a1,b1)(不唯一) 比例的性质 【例1】已知：eq \f(a,3)＝eq \f(b,4)＝eq \f(c,5)，求eq \f(2a－3b＋c,a)的值． 【思路分析】可利用等比性质来求，也可用设辅助未知数，然后代入求值来求． 【规范解答】解法1：∵eq \f(a,3)＝eq \f(2a,6)，eq \f(b,4)＝eq \f(－3b,－12)，又∵eq \f(a,3)＝eq \f(b,4)＝eq \f(c,5)，∴eq \f(2a,6)＝eq \f(－3b,－12)＝eq \f(c,5)＝eq \f(a,3)，∴eq \f(2a－3b＋c,6－12＋5)＝eq \f(a,3)，即eq \f(2a－3b＋c,－1)＝eq \f(a,3)，∴eq \f(2a－3b＋c,a)＝－eq \f(1,3). 解法2：设eq \f(a,3)＝eq \f(b,4)＝eq \f(c,5)＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴eq \f(2a－3b＋c,a)＝eq \f(2×3k－3×4k＋5k,3k)＝eq \f(－k,3k)＝－eq \f(1,3). 【例2】若eq \f(a,b＋c)＝eq \f(b,c＋a)＝eq \f(c,a＋b)＝k，则k的值为　eq \f(1,2)或－1.. 【思路分析】运用等比性质的条件是分母之和不等于0，题目中并没有说明a＋b＋c≠0，所以应分两种情况讨论：①当a＋b＋c≠0时，eq \f(a＋b＋c,2a＋b＋c)＝k，∴k＝eq \f(1,2)；②当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c，∴k＝eq \f(c,－c)＝－1. 黄金分割 【思路分析】　题目中没有AC＞BC这一条件，所以在计算时应分AC＞BC和AC＜BC两种情形求解． 【规范解答】　当AC＞BC时，AC＝eq \f(\r(5)－1,2)×10＝5(eq \r(5)－1)cm.当AC＜BC时，AC＝10－5(eq \r(5)－1)＝(15－5eq \r(5))cm.∴AC的长为5(eq \r(5)－1)cm或(15－5eq \r(5))cm. $$