专题02 全等三角形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题02全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等的图形 【解惑】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 3．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则 ． 类型二、全等三角形的性质 【解惑】如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则 ． 3．如图，先将两个全等的直角三角形重叠在一起，再将三角形沿方向平移，相交于点G．若，则阴影部分的面积为 ． 类型三、根据SSS判定全等 【解惑】如图，．求证：． 【融会贯通】 1．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    2．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 3．如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 类型四、根据SAS判定全等 【解惑】如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 【融会贯通】 1．如图，在与中，，与全等吗？说明理由．    2．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 3．如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 类型五、根据ASA判定全等 【解惑】如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【融会贯通】 1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证：．    2．已知：如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，；证明：． 3．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 类型六、根据AAS判定全等 【解惑】如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：． 【融会贯通】 1．如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，，求证：． 2．如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 3．如图，在中，，，分别过B、C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型七、根据HL判定全等 【解惑】如图，，，求证：． 【融会贯通】 1．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    2．已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 3．如图，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 类型八、角平分线的判定 【解惑】如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【融会贯通】 1．如图，、分别是外角，的平分线，它们交于点，，，垂足分别为、，则是的平分线吗？请说明理由． 2．如图，点分别在的两边上，点是内一点，，垂足分别为，且．求证：． 3．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【一览众山小】 1．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在和中，、相交于点E，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ． 4．如图，，其中．则的周长为 5．如图，在中，点在边上，，，．求证：． 6．如图：已知．求证：．    7．如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ． 8．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等的图形 【解惑】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 【融会贯通】 1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等形的定义，掌握能够完全重合的图形是全等形成为解题的关键． 运用全等形的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形能够完全重合，故本选项正确 C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误． 故选D． 2．如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 /度 /度 12 6 【分析】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可． 【详解】解：∵在四边形中， ∴， ∵四边形与四边形全等， ∴由图可知， 故答案为：；；12；6． 【点睛】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键． 3．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则 ． 【答案】12 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以， 故答案为：12． 【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相互重合的对应边． 类型二、全等三角形的性质 【解惑】如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用． 根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质；由可知，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】由题意得： ∵ ∴ 故选：D． 2．如图，在中，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据全等三角形对应角相等，得到，在利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 3．如图，先将两个全等的直角三角形重叠在一起，再将三角形沿方向平移，相交于点G．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质，由平移的性质可得，由全等三角形的性质可知，，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， 由全等三角形的性质可知，， ∴， ∴． 故答案为：13． 类型三、根据SSS判定全等 【解惑】如图，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 直接利用“”证明全等即可． 【详解】证明： 和中， ，   ，               ． 【融会贯通】 1．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 【答案】全等，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．先证明，然后利用证明即可． 【详解】解：全等． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． 3．如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判断是解题的关键． （1）根据，得到即，利用三边对应相等的三角形全等证明即可． （2）根据全等三角形的性质，结合角的平分线计算即可． 【详解】（1）∵， ∴即， ∵， ∴． （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分时， ∴， ∵， ∴． 类型四、根据SAS判定全等 【解惑】如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键 本题直接使用证明即可． 【详解】证明：∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在与中，，与全等吗？说明理由．    【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两边及夹角对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：与全等，理由如下： 在和中， ， ∴． 2．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由，得，进而可以判断与的位置关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 3．如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 类型五、根据ASA判定全等 【解惑】如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由题意可得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得，，再证，后证，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定方法． 2．已知：如图，点A，C，F，D在同一直线上，，，；证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．可证，用即可求证． 【详解】证明： ， ， 在和中， ， ． 3．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、根据AAS判定全等 【解惑】如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，先根据线段的和差得到，然后利用得到，进而得到，证明结论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，全等三角形的判定： （1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：由平移得，，， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，，分别过B、C向过A点的直线作垂线，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先说明，再根据“”即可证明结论； （2）利用全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 类型七、根据HL判定全等 【解惑】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 【融会贯通】 1．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 2．已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 3．如图，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据证明； （2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴（）； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 类型八、角平分线的判定 【解惑】如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，、分别是外角，的平分线，它们交于点，，，垂足分别为、，则是的平分线吗？请说明理由． 【答案】为的平分线，理由详见解析 【分析】过点P作PE⊥AC于点E，根据角平分线上点到角两边的距离相等得到PD=PE， PE=PF，可推出PD=PF，则点P在∠MBN的角平分线上，即为的平分线． 【详解】解：为的平分线．理由如下： 作，垂足为． ∵，分别是与的平分线，且，， ∴，． ∴． 又，， ∴点在的平分线上． ∴为的平分线． 【点睛】本题考查角平分线判定和性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 2．如图，点分别在的两边上，点是内一点，，垂足分别为，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定，熟练应用角平分线的判定是解题关键． 根据角平分线的判定得到是的角平分线，推导出，根据“SAS”证明． 【详解】证明：连接， ∵，，， ∴是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴． 3．如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 【一览众山小】 1．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 证明的依据的是， 故选：． 2．如图，在和中，、相交于点E，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可可判定；掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时， 可判定； 故选：D． 3．如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线的性质是解本题的关键． 过作于，则，根据角平分线性质求出，求出，再计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过作于， 点到的距离为6， ， ，平分， ， ， ， ． 故答案为：18． 4．如图，，其中．则的周长为 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：15． 5．如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图：已知．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴． 7．如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， 又∵， ， ∴． 8．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，列方程计算即可得解． 【详解】解：为的平分线，， ， ， 即， 解得：， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$