专题11.1 与三角形有关线段的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题11.1 与三角形有关线段的几何综合 【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点　　； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，，则　　； ②请写出与，之间的数量关系　　，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积　　．（用含的代数式表示） 【思路点拨】 （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 1．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （    ） A．28 B．32 C．30 D．29 3．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为1，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．28 C．35 D．30 5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．3 6．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，在中，，，点E是的中点，交于点F，则四边形的面积的最大值是___________． 8．（2023春·七年级单元测试）在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为_________． 9．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，在中，，，若的面积为4，则四边形的面积为______． 10．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在中，点E是AB边上的点，且，点D是BC边上的点，且，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则的面积为______． 11．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为___． 12．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD相交于点O．若AD与BC之间的距离为m，AC＝6，BD＝，则AD＋BC的最大值为________． 13．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，，点E是AC的中点，