精品解析：福建省福清西山学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

福清西山学校高中部2023-2024学年第二学期5月份月考高二年级 数学试卷 考试内容：选择性必修第三册+集合逻辑用语 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ） A. {x|0≤x<1} B. {x|－1<x≤2} C. {x|1<x≤2} D. {x|0<x<1} 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 5. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 6. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 7. 今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ） A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 某公司过去五个月支出的广告费x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 销售额y与支出的广告费x呈正相关 B. 丢失的数据（表中▲处）为30 C. 该公司支出的广告费每增加1万元，销售额一定增加6.5万元 D. 若该公司下月支出的广告费为8万元，则销售额约为75万元 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 13. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 16. 某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如下： A B C D E 电信 4 3 8 6 12 网通 5 7 9 4 3 （1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α＝0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？ （2）若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率； （3）在（2）的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 xα 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 α 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间，，的频率之比为4：2：1． （1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数，90%分位数 （2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在内的学生人数为，求的分布列与数学期望． 18. 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） （3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额． （1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率． （2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大； ②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清西山学校高中部2023-2024学年第二学期5月份月考高二年级 数学试卷 考试内容：选择性必修第三册+集合逻辑用语 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ） A. {x|0≤x<1} B. {x|－1<x≤2} C. {x|1<x≤2} D. {x|0<x<1} 【答案】B 【解析】 【分析】由集合并集的定义可得选项. 【详解】解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}， 故选：B. 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可 【详解】由，且 则有： 根据正态分布的对称性可知： 故选：A 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 90 B. 80 C. 70 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果. 【详解】因为展开式的第项为， 令，得，则的系数为． 故选：A. 5. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：,故选C. 考点：排列组合. 6. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确； 由题意得，，，， ，故B，D均正确； 因为，故C错误. 故选：C. 7. 今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合求解所有基本事件个数及所求事件的基本事件个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题，所有的基本事件个数为， “恰有一题相同”包含的基本事件数为， 所以. 故选：D 8. 某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ） A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解. 【详解】设事件表示“两道题全做对”， 若两个题目都有思路，则, 若两个题目中一个有思路一个没有思路，则， 故, 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解分式不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由得，解不等式得， 使成立的一个充分不必要条件是或者. 故选：AB. 10. 某公司过去五个月支出的广告费x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 销售额y与支出的广告费x呈正相关 B. 丢失的数据（表中▲处）为30 C. 该公司支出的广告费每增加1万元，销售额一定增加6.5万元 D. 若该公司下月支出的广告费为8万元，则销售额约为75万元 【答案】AB 【解析】 【分析】根据经验回归方程的定义，逐个选项进行判断即可 【详解】由经验回归方程，可知， 所以销售额y与支出的广告费x呈正相关，所以A正确； 设丢失的数据为m，由表中的数据可得， ，把代入经验回归方程， 可得，解得，所以B正确； 该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元， 所以C不正确；当时，（万元），所以D不正确． 故选：AB． 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 13. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】 根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】的展开式中的通项公式 ， 而 分别令，， 解得，或． ∴的展开式中的常数项． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题. 14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】1利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n． 2利用通项公式求解展开式中的常数项即可． 3利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项． 【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22． 1二项式定理展开：前三项二项式系数为：， 解得：或舍去． 即n的值为6． 2由通项公式， 令， 可得：． 展开式中的常数项为； 是偶数，展开式共有7项则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题． 16. 某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如下： A B C D E 电信 4 3 8 6 12 网通 5 7 9 4 3 （1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α＝0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？ （2）若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率； （3）在（2）的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 xα 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 α 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能 （2） （3）X的分布列为： X 1 2 3 P ，数学期望为1.8【解析】 【分析】（1）根据题干信息，填写列联表，再代入公式计算，下结论即可； （2）在5个地区中任选3个，有种选法，其中A，B两个地区同时被选到的选法有种，再根据古典概型列式计算即可； （3）根据题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，再根据超几何分布求解对应概率，计算数学期望即可. 【小问1详解】 根据题意列出列联表如下： 糟糕 良好 合计 电信 3 2 5 网通 2 3 5 合计 5 5 10 零假设H0：游戏的网络状况与网络类型无关，则， ∴根据小概率值α＝0.15的独立性检验，没有充分证据说明H0不成立，即不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关． 【小问2详解】 在5个地区中任选3个，有种选法，其中A，B两个地区同时被选到的选法有种， 所以所求概率. 【小问3详解】 随机变量的所有可能取值为1，2，3， ，，. 故X的分布列为： X 1 2 3 P ∴. 17. 为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间，，的频率之比为4：2：1． （1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数，90%分位数 （2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在内的学生人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）中位数为，90%分位数是125 （2），，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间，，的频率之比可求出数学成绩落在区间的频率，先判断中位数落在区间内，然后列方程求解，判断90%分位数在，然后列方程求解. （2）由题意可知，，的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望． 【小问1详解】 由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为， 所以数学成绩落在区间内的频率为， 因为数学成绩落在区间，，的频率之比为4：2：1， 所以数学成绩落在区间的频率为， 数学成绩落在区间的频率为， 所以中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为． 因为数学成绩落在的频率为，落在的频率为， 所以90%分位数在内，设90%分位数为， 则，解得， 所以90%分位数是125. 【小问2详解】 由（1）知，数学成绩落在区间内的频率为， 由题意可知，，的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为： 所以数学期望． 18. 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） （3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）更适宜 （2），65.35百万元 （3） 0 1 2 P ，1 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定正确答案. （2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值. （3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型； 【小问2详解】 因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以 所以. 所以，即，所以. 令，得， 故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元. 【小问3详解】 前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2， 所以X的分布列为： 0 1 2 P 所以. 19. 某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额． （1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率． （2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大； ②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值. 【答案】（1） （2）①方案二中取到黑球的概率更大；② 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算； （2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下结论. 【小问1详解】 设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件， “第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件， ， 所以， 所以选中的盒子为甲盒的概率为. 【小问2详解】 ①， 所以方案一中取到黑球的概率为：， 方案二中取到黑球的概率为：， 因为，所以方案二中取到黑球的概率更大. ②随机变量的值为， 依据以上分析，若采用方案一： ， ， ， ， 若采用方案二： ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $