专题02 全等三角形（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题02全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的判定与性质(SSS) 【解惑】在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线作法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知AB＝CD，BC＝DA，下列结论：①∠BAC＝∠DCA；②∠ACB＝∠CAD；③AB∥CD，BC∥DA．其中正确的结论有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，，，E、F为上的两点，且，若，，则的度数为 ．    3．如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 类型二、全等三角形的判定与性质(SAS) 【解惑】如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 ． 3．综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    类型三、全等三角形的判定与性质(ASA) 【解惑】如图，在中，平分，垂足为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 2．如图，在中，平分垂直于的面积为的面积为，则的面积是 ． 3．如图，在中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 类型四、全等三角形的判定与性质(AAS) 【解惑】如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，则的长为（    ）    A．7 B． C．11 D． 2．如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 3．如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 类型五、全等三角形的判定与性质(HL) 【解惑】如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      3．如图，于E，于F，． (1)当和满足什么条件时，平分，并写出证明过程： (2)在（1）的条件下证明：． 类型六、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知的三条角平分线交于点，且，延长至点，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 3．如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 类型七、格点三角形 【解惑】在如图所示的正方形网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫做格点三角形，则图中能画出与全等的格点三角形的个数是(    ) A．1 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画1个格点（不包括），使和全等，这样的格点三角形能画 个．    3．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．    (1)在图1中，找到格点，使得与全等． (2)在图2中，作出的高 (3)在图2中，在边上找到点，使得． 类型八、尺规作图 【解惑】如图，，点E是射线上一点． (1)利用尺规作图，作，使，边交射线于F，保留作图痕迹，不用写作法）； (2)与相等吗？说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，于点． (1)作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 2．如图，，为直线上两点，点在直线上方，连接，．请用尺规作图法，在直线上方找一点（不与点重合），使的面积等于的面积．（保留作图痕迹，不写作法） 3．小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 【一览众山小】 1．如图，已知，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．中点的定义 D．两点之间线段最短 3．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，点在上，连接，，若，，，，则长为 ． 5．如图中，，点是、角平分线的交点，过作于点，且，则的面积为 ． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 7．如图，小正方形的边长均为1，为格点三角形（即三角形的顶点均在格点上）． (1)的面积为______． (2)图中画出一个与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 8．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的判定与性质(SSS) 【解惑】在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线作法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握确定三角形全等的方法是解此题的关键，已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解﹕做法中用到的三角形全等的判定方法是， 证明如下∵， ∴， 所以， 故为的平分线． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，已知AB＝CD，BC＝DA，下列结论：①∠BAC＝∠DCA；②∠ACB＝∠CAD；③AB∥CD，BC∥DA．其中正确的结论有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据SSS定理判定，再根据全等三角形对应角相等、平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：在和中， （SSS）， ∴，，故①②正确； ，，故③正确． 所以，结论正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，涉及了三条边对应相等的三角形全等，全等三角形对应角相等的性质，平行线的判定，熟记性质是解题的关键． 2．如图，，，E、F为上的两点，且，若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质，利用证明得是解答本题的关键． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，得出即可； （2）根据，得出，推出，利用证明，得出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵由（1）得， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ∴． 类型二、全等三角形的判定与性质(SAS) 【解惑】如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．根据全等三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：， ，，，， ，， 故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质及三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键根据平行线的性质及全等三角形的判定逐项判定即可 【详解】解：若添加，则不能判定，故选项符合题意； 若添加，则，可以判断（），故选项不符合题意； 若添加，可以判断（），故选项不符合题意； 若添加，可以判断（），故选项不符合题意； 故选：． 2．如图，在的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：由图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 3．综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 【详解】解：（1）能完全重合． 理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 类型三、全等三角形的判定与性质(ASA) 【解惑】如图，在中，平分，垂足为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，推出的周长的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长； 故选D． 【融会贯通】 1．如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 2．如图，在中，平分垂直于的面积为的面积为，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形等底同高三角形面积的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，延长交于点，根据角平分线的性质，垂直的定义可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12 ． 3．如图，在中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)证明见解答； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 类型四、全等三角形的判定与性质(AAS) 【解惑】如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等角的余角相等得到，则可根据证明，则，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，则的长为（    ）    A．7 B． C．11 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，进而证明得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质， 过点作于，易证，可得，即可求出面积． 【详解】解：过点作于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 【答案】1秒；见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定．根据题意可得，由，可得关于t的方程，可求出；再利用可证明． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 类型五、全等三角形的判定与性质(HL) 【解惑】如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有、、、、． 根据可判定，再根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．如图，于E，于F，． (1)当和满足什么条件时，平分，并写出证明过程： (2)在（1）的条件下证明：． 【答案】(1)当时，平分，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）当时，平分，利用证明得到，则平分； （2）由全等三角形的性质得到，再由，，即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，平分，证明如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 类型六、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知的三条角平分线交于点，且，延长至点，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得∠DCO=∠BCO，∠ABO=∠OBC，进而可证△DCO≌△BCO，则有∠BOC=∠DOC，然后根据三角形内角和及周角可求解． 【详解】解：的三条角平分线交于点， ∠DCO=∠BCO，∠ABO=∠OBC， ， ∠ABC+∠ACB=60°， ∠OBC+∠OCB=30°， ∠BOC=150°， ，OC=OC， △DCO≌△BCO， ∠BOC=∠DOC=150°， ∠BOC+∠DOC+∠DOB=360°， ∠DOB=60°， 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键． 2．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【答案】2：3：4 【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案． 【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点． ∵CO、BO、AO分别平分 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：2：3：4 【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键． 3．如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意易证△AFE≌△AFC，进而问题可求证； （2）由（1）可得∠AEC=∠ACE=40°，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵AF=AF， ∴△AFE≌△AFC（ASA）， ∴； （2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC， ∴∠AEC=∠ACE， ∵，， ∴∠AEC=∠ACE=40°， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键． 类型七、格点三角形 【解惑】在如图所示的正方形网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫做格点三角形，则图中能画出与全等的格点三角形的个数是(    ) A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理画出图形即可． 【详解】解：如图所示：有，，，，，，，共个， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：B． 2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画1个格点（不包括），使和全等，这样的格点三角形能画 个．    【答案】3 【分析】本题考查的是用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图所示，可作3个全等的三角形．    ，，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 3．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．    (1)在图1中，找到格点，使得与全等． (2)在图2中，作出的高 (3)在图2中，在边上找到点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用翻折变换根据全等三角形即可； （2）根据全等三角形的性质，找到格点，则，进而根据三角形高的定义，即可求解； （3）取格点E，连接，即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求（答案不唯一）；    （2）如图所示，即为所求    ∵，则 ∴ ∴ ∴即为的高； （3）如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及网格作图，熟练掌握网格的特点，全等三角形的性质是解题的关键． 类型八、尺规作图 【解惑】如图，，点E是射线上一点． (1)利用尺规作图，作，使，边交射线于F，保留作图痕迹，不用写作法）； (2)与相等吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等；理由见解析 【分析】本题考查的是基本作图-作一个角等于已知角，平行线的性质，熟练的掌握基本作图的步骤及平行线的性质是关键． （1）根据基本作图“作一个角等于已知角”的步骤操作即可； （2）根据平行线的性质得出，根据，等量代换求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； （2）解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在中，于点． (1)作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作角平分线的方法即可； （）求出，，再利用三角形的外角的性质求解； 本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形及熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图， 以为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点， 分别以为圆心，大于长度半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点，交于点， ∴即为所求； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，，为直线上两点，点在直线上方，连接，．请用尺规作图法，在直线上方找一点（不与点重合），使的面积等于的面积．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质、三角形的面积，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．结合平行线的性质，在的右侧作，在直线上任取以点（不与点重合），则点即为所求． 【详解】解：如图，在的右侧作，在直线上任取以点（不与点重合）， 则， 则的面积等于的面积， 则点即为所求． 3．小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 【答案】(1)见解析 (2)； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 【分析】本题主要考查作角平分线以及平行线的判定： （1）以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别心为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，过点M作射线交于点，则即为所作； （2）由四边形内角和定理得，由角平分线定义得到，三角形内角和定理得，故可得，从而可得，即可得结论 【详解】（1）解：如图，为的角平分线， （2）解：∵且， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行 【一览众山小】 1．如图，已知，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据全等三角形的性质求出，再由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．中点的定义 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选：A． 3．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握确定三角形的判定方法是解题的关键． 由三边对应相等得，即由判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：依题意知， 在与中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：D． 4．如图，，，点在上，连接，，若，，，，则长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法． 首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 5．如图中，，点是、角平分线的交点，过作于点，且，则的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点作，易得：，连接，分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作，连接， ∵点是、角平分线的交点，过作于点，， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：48． 6．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的知识，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵射线是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，小正方形的边长均为1，为格点三角形（即三角形的顶点均在格点上）． (1)的面积为______． (2)图中画出一个与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 【答案】(1)6 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，作图—应用设计，全等三角形的判定．利用数形结合的思想是解题关键． （1）如图，用正方形面积减去三个三角形的面积即可求出答案； （2）分三种情况讨论：分别以为公共边，作与余下两边相等的三角形，再看是否符合题意即可． 【详解】（1）解：如图， ∴ ． 故答案为：6； （2）解：如图，或或即为所作； 8．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故． ②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证． （2）题干已知条件可证，故，，从而可证明． 【详解】（1）解：① 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴，即． 6 学科网（北京）股份有限公司 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