精品解析：山东省菏泽市郓城县实验中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

郓城县实验中学高一2023-2024学年下学期五月份月考 数学试题 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：C. 2. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可. 【详解】易知，由正弦定理得， 化简得. 故选：B 3. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由原图与直观图的关系即可求解. 【详解】 如图，由直观图的画法可知直角梯形的直观图是梯形，且高为， 所以梯形的面积为. 故选：C. 4. 设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间平面间的位置关系，面面垂直、平行的判定定理判断． 【详解】对于A，，，过空间一点作交平面于点，作交平面于点， 则，， 设确定的平面与的交线交于点，如图： 则，，所以，， 又，所以，可得四边形为矩形， 所以，， 所以，又，所以，故A正确； 对于B，若，，， 过作平面交平面于点直线，如图： 由得，又，所以， 又，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：C. 5. 某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果. 【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得， 故选：D． 解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为， 故选：D． 6. 如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求. 【详解】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 又因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求． 在中，，，． 因为，所以为直角三角形，且， 所以． 故选：B． 7. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式即可求得结果． 【详解】由题意可得，球心到截面圆所在平面的距离， 设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以， 所以该球的表面积为． 故选：A． 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】对于A：三棱锥的外接球即为以、、为邻边的长方体的外接球， 因为，， 可得外接球的半径， 所以外接球的表面积，故A正确； 对于B：因为，则异面直线与所成角为，且，， 可得，所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：取、、的中点、、，连接、、、，， 由题意可得：，，则为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，、分别为、的中点，则，， 所以，四边形为平行四边形，所以，，， 又因为，，可得，， 则为平行四边形，所以，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，，则四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，、平面，所以平面平面， 则点P在线段上，可得， ， 所以当点P为线段的中点时，， 取到最小值，且最小值为，故C正确； 对于D：连接、， 因为、为、的中点，则， 又因为，，则为平行四边形，可得， 则， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，则，， 可得，，， 所以截面周长为，故D错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误； 对B，根据复数模的公式，，故B正确； 对C，，而，故C错误； 对D，，，故D正确. 故选：BD. 10. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可. 【详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确； 对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确； 对于D项，前3组频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85，故D项正确. 故选：ACD项. 11. 如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 点A到平面的距离为 B. 平面与底面ABC的交线平行于 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据线面垂直的性质与判定可得平面，进而求得点A到平面的距离；对B，根据线面平行的性质判定即可；对C，根据外接球的性质求得外接球的直径进而求得表面积即可；对D，根据线面垂直的判定可得二面角即，再求解即可； 【详解】对A，因为直三棱柱，故，又，故，又，平面，故平面，又平面，故，又，故正方形，故，又，平面，故平面.所以点A到平面的距离为，故A正确； 对B，易得平面，平面，根据线面平行的性质有，平面与底面ABC的交线平行于，故B正确； 对C，根据题意可得，因为，所以三棱柱的外接球的直径为，其表面积，故C错误； 对D，因为平面，故二面角的平面角即，因为，故，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设为实数，若向量，，且与共线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案. 【详解】，，与共线， 则，则. 故答案为：. 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】∵，∴ ∴，∴ ∴ ∵，∴， ∵ ∴，∵，， 又， ∴是边长为2的等边三角形， ∴的周长为6. 故答案为：6 14. 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、，分析可知该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积，计算出圆锥的底面半径和高、圆柱的底面半径和高，利用球体、锥体以及柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、． 因为，则， 因为，则，，． 同理，，，则， 因为，，，则四边形为矩形，故， 所以，该几何体体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积， 故该几何体的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示； （2）已知平面向量、满足，，与夹角为，且（+）（），求的值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标； （2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值． 【详解】（1）设，由，可得， 由题意可得，解得或. 因此，或； （2）， 化简得， 即，解得 16. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20． （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解； （2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，可得，且， 所以笼具的体积. 【小问2详解】 圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 故笼具的表面积． 故制造50个这样的笼具总造价为：元， 答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元． 17. 在中，角所对的边分别为，且 (1)求角的大小; (2)若锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将角度的关系转化为边的关系,再利用余弦定理求得角度即可. (2)利用正弦定理求得的长度,再将用正弦定理表示得到,进而用 的范围利用正弦函数单调性求解范围即可. 【详解】(1)由题意, 由正弦定理得 ,,即 又. (2)由(1)知,且外接圆的半径为,由正弦定理可得 解得, 由正弦定理得,可得, 又 为锐角三角形,且,又,得 ,故的周长的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用以及三角函数求范围的问题,属于中等题型. 18. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得； （2）取的中点，连接，可证明是与平面所成角的平面角，在中，易知，，即与平面所成的角的大小为. 【小问1详解】 连接与相交于点，如下图所示 在直棱柱中，平面平面， ， 又，平面， 所以，平面， 又平面， ，四边形为菱形，即 又，且平面， 平面，又平面， . 【小问2详解】 取的中点，连接.如下图所示； ， 又平面平面， 又，且平面， 平面， 是在面内的射影，是与平面所成角的平面角. 在中，易知， ， 即与平面所成的角的大小为. 19. 如图，平面，平面，与不相等，，，四棱锥的体积为，为的中点，求： （1）的长度； （2）证明：∥平面； （3）证明：平面平面. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可证得平面，可得为四棱锥的高，然后利用四棱锥的体积为，可求出的长， （2）取的中点，连接，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，从而可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论， （3）由，为中点，可得，结合可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 因平面，平面，所以∥， 因为与不相等，所以四边形为梯形， 因为，，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为四棱锥的高， 所以， 解得. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为中点，所以∥，， 因∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 【小问3详解】 因为，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为∥，所以， 因为∥，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郓城县实验中学高一2023-2024学年下学期五月份月考 数学试题 2024.05 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 0 2. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 3. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 140 D. 150 6. 如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 10. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 11. 如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 点A到平面的距离为 B. 平面与底面ABC的交线平行于 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设为实数，若向量，，且与共线，则__________. 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 14. 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，C、D为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．该几何体的体积为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示； （2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值. 16. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20． （1）求这种“笼具”体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 17. 在中，角所对的边分别为，且 (1)求角的大小; (2)若锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围. 18. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 19. 如图，平面，平面，与不相等，，，四棱锥的体积为，为的中点，求： （1）长度； （2）证明：∥平面； （3）证明：平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$