精品解析：吉林省白山市长白朝鲜族自治县实验中学2023-2024学年高一下学期第二次考试（5月期中）数学试题

高一下学期第二次考试学数学试题 注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 中，已知，，，则c等于（ ） A. 4 B. 16 C. 21 D. 4. 如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 三棱锥体积为 5. 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 8. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B. 绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥 C. 用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10. 若是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. ，在复平面内对应的两点之间的距离为 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 12. 如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______． 14. 正方体中，点P是的中点，则异面直线AP与所成角的大小为_________. 15. 一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为，上底面半径为15cm，则圆台的体积为_______ 16. 如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为_____ 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，，． （1）若是纯虚数，求a的值； （2）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 18. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 19. 设向量，满足，． 求的值； 求与夹角的正弦值． 20. 如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. （1）证明：BC面PAC； （2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值. 21. 如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点， （1）若，求三棱锥的体积 （2）当点在什么位置时，平面平面? 22. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第二次考试学数学试题 注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算得，再由共轭复数定义得即可解决. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：C 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 3. 中，已知，，，则c等于（ ） A. 4 B. 16 C. 21 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用面积公式计算得到答案. 【详解】，故. 故选：A. 【点睛】本题考查了面积公式，属于简单题. 4. 如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 三棱锥体积为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据线面平行的判定定理，证明A正确；根据线面垂直的判定定理，证明B正确；在正方体中，作出异面直线与所成角，结合题中条件，可判断C正确；根据三棱锥的体积公式，可判断D错. 【详解】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确； B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面， 因为平面，平面， 所以，， 又，平面，平面，所以平面， 因此； 同理， 又，平面，平面， 所以平面；即B正确； C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角， 又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确； D选项，三棱锥的体积为.故D错； 故选：D. 【点睛】方法点睛： 求解空间中空间位置关系的证明以及空间角、空间距离的方法： （1）定义法：根据空间中线面平行、线面垂直、空间角等相关概念，结合线面垂直、平行的判定定理及性质等，即可求解； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量，结合空间位置的向量表示，空间角的向量求法等，即可求解. 5. 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图， 一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设， 圆锥底面周长为，所以，所以， 在中，由，得 故选：B． 6. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： ， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 7. 设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面的平行与垂直的判定和性质进行逐项判断. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以相交，异面，平行，故A错； 对B：分别与两个平行平面平行的直线的位置关系可以相交，异面，平行，故B错； 对C：两个平面互相垂直，其中一个平面的任一直线和另一平面的位置关系可以相交，平行，故C错； 对D：两个平面互相垂直，其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一平面内，又明确知道直线不在另一平面内，所以直线和另一平面平行，故D正确. 故选：D 8. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体放置于棱长为2的正方体中，则所求的球即为正方体的内切球，进而再计算体积求解即可. 【详解】解：如图，正方体中，棱长为， 所以，四面体是棱长为的正四面体， 当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为， 所以，该球的体积为， 因为正四面体的体积为， 所以，该球与此正四面体的体积之比为. 故选：A 二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B. 绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥 C. 用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】AC选项根据圆锥、圆台、球的结构特征即可得到是正确的； B选项需要绕直角三角形的直角边旋转得到的才是圆锥，故B错； D选项有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如下图： 故选：BD. 10. 若是关于的方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. ，在复平面内对应的两点之间的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件求出a和b，再根据复数的有关定义逐项分析. 【详解】由题意得，得 ，解得 ； A选项错误，B选项正确； 的共轭复数为，C选项正确； ，在复平面内对应的两点之间的距离为，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误； 对于B选项，设向量在向量上的投影向量为， 则，即，解得， 故向量在向量上的投影向量为，B选项正确； 对于C选项，，，C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，，D选项正确. 故选：BCD. 12. 如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，由平面分割该正方体所成的两个全等的空间几何体为和，且为正六棱锥，由等体积法算出球的半径，则可得球的表面积最大值. 【详解】 对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故A选项正确； 对于B，如图，延展平面，易知平面过的中点，所以，故B选项错误； 对于C，如图，若，取的三等分点靠近，的中点， 则， 平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，当点在线段上时，平面， 则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，故C选项正确； 对于D，如图所示， 易知，该球是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥相切的球， ，则该六棱锥的高为：， 正六边形的面积为：， 的面积为：， 设内切球的半径为，由等体积法可得：， 则该球的半径为， 所以该球的表面积最大为，故D选项错误． 故选AC． 【点睛】关键点点睛：本题AC选项的关键是利用面面平行的性质定理判断，D选项关键是利用等体积法求出内切球的半径，从而得到表面积最值. 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______． 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可. 【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以 故答案为：8 14. 正方体中，点P是的中点，则异面直线AP与所成角的大小为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为2，连接，在正方体中，，所以(或其补角)为异面直线AP与所成角，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为2，连接 在正方体中， 所以(或其补角)为异面直线AP与所成角 所以 所以 故答案为： 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 15. 一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为，上底面半径为15cm，则圆台的体积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】作圆台轴截面，求圆台的下底面半径和高，利用圆台体积公式求解. 【详解】如图：作圆台的轴截面： 由题意：，，， 所以，，. 所以圆台的体积为：. 故答案为： 16. 如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为_____ 【答案】米 【解析】 【分析】先利用正弦定理求，再利用直角三角形的边角关系求. 【详解】在中，易知， 由正弦定理：. 在中，，， 所以：（米） 故答案为：米 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，，． （1）若是纯虚数，求a的值； （2）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解． 【小问1详解】 由是纯虚数， 得， 即； 【小问2详解】 由在复平面上对应的点在第二象限， 得， 即． 18. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可； （2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由整理得， ，由， ； 【小问2详解】 ， 由正弦定理得，①， 又，②， 由①②得， . 19. 设向量，满足，． 求的值； 求与夹角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用数量积运算及其性质即可得出；利用向量的夹角公式和数量积的性质即可得出． 【详解】向量，满足，． ，． 因此， ． 设与夹角为， ． ． ，． 与夹角的正弦值为． 【点睛】本题考查了数量积的运算及其性质、向量的夹角公式，属于基础题． 20. 如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. （1）证明：BC面PAC； （2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值. 【答案】（1）为圆O直径 ∠ACB=90°即AC⊥BC PA⊥面ABC，PA⊥BC ACPA=A BC⊥面PAC. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明AC⊥BC和PA⊥BC，BC面PAC即得证； （2）先证明∠BPC为PB与平面PAC所成的角，再通过解三角形求出即得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 BC⊥面PAC， ∠BPC为PB与平面PAC所成的角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，, 在直角三角形中，tan∠BPC=. 故直线PB与平面PAC所成角的正切值为. 【点睛】方法点睛：求线面角常用几何法求解，其步骤为：找作证（定义）指求（解三角形）. 21. 如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点， （1）若，求三棱锥的体积 （2）当点在什么位置时，平面平面? 【答案】（1） （2）为的中点 【解析】 【分析】（1）根据椎体与柱体体积关系求解即可； （2）根据面面平行的判定定理确定位置关系并证明即可. 【小问1详解】 因为为底面的中心 所以，高 所以三棱锥的体积 【小问2详解】 当为的中点时，平面平面，理由如下： 连接， 因为为的中点，为的中点，所以 又正方体中，，所以 则四边形为平行四边形，所以 因为平面平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以为的中位线. 所以.因为平面平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 22. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $