精品解析：四川省成都市简阳实验学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

成都石室阳安学校2023-2024学年度下期高2023级5月月考 数学 出题人：康春燕做题人：杨金凤审题人：任燕 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 下列命题正确个数是（ ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知向量， ，若，则等于（ ） A. B. C D. 7. 水车在古代是进行灌溉引水工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题（本题共4小题，题小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若为纯虚数，则 10. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 该圆锥的轴截面的面积是8 D. 圆锥侧面积是 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 12. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ） A. 的面积为 B. 在中角 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则_____． 14. 已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形ABCD的面积为____________. 15. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 16. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 18. 如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm． （1）求纸篓的容积； （2）求该纸篓的表面积． 19. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2. （1）求出线段AE的长度； （2）求出隧道CD的长度. 20. 已知向量. （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域. 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 22. 若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数． （1）若函数，求的特征向量； （2）若向量的特征函数为，求当，且时的值； （3）已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室阳安学校2023-2024学年度下期高2023级5月月考 数学 出题人：康春燕做题人：杨金凤审题人：任燕 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合虚部的定义求解即可. 【详解】依题意得，则的虚部为． 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果. 详解】 ， 故选：C. 3. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解． 【详解】因为向量与共线，所以， 解得． 故选：D． 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由图象平移的性质得到即可； 【详解】由题意可得，所以函数的图象向右平移个单位长度可得. 故选：D. 5. 下列命题正确的个数是（ ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】直接由点、线、面、平行线的性质确定. 【详解】不共线的三点确定一个平面，①错误； 当这三点在一条直径上时，不能确定一个平面；②错误； 如果两个平面有一个交点，必有一条公共直线，有无数个公共点；③正确 两条直线没有交点，两条直线可能平行或者异面，不一定平行；④错误； 故选：A 6. 已知向量， ，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，则， 所以. 故选：B. 7. 水车在古代是进行灌溉引水工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点求出圆的半径，利用周期求出的值，通过三角函数解析式求出的值，即可得函数的解析式. 【详解】易知， 因旋转一周用时60秒，即， 又由题意知 ∴， 又 ∴ ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，属于基础题. 8. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由球截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即可得解. 【详解】由题意，的外接圆半径为， 设该球的半径为，可得，所以， 设该球内接正方体的棱长为，所以，所以． 故选：D. 二、多项选择题（本题共4小题，题小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 若纯虚数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由共轭复数的概念即可判断；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方即可判断；对于D，由纯虚数的概念即可列式求解参数并判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的点的坐标为，而点位于第四象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，若为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 该圆锥的轴截面的面积是8 D. 圆锥侧面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高，再逐项分析判断即得. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的高， 对于A，圆锥的体积，A错误； 对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为，该扇形圆心角为，B正确； 对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为，C错误； 对于D，该圆锥的侧面积，D正确. 故选：BD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定图象，结合五点法作图求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】观察图象得，的周期，， 由，得，而，则，因此， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，而正弦函数在上递增， 因此函数在区间上单调递增，B正确； 对于C，不是偶函数，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 12. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ） A. 的面积为 B. 在中角 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式求解可判断A；利用余弦定理可判断B；由正弦定理求解可判断C；利用三角形面积求解可判断D． 【详解】由题意结合正弦定理可得：， 设， 周长为，即， ，，，. 由题中公式得，故A正确； 由余弦定理得：， 而，则，故B错误； 设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，故C错误； 设的内切圆半径为r，则的面积，解得，故D错误. 故选：BCD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则_____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及三角函数定义计算作答. 【详解】依题意，点P在单位圆上，则， 所以. 故答案为： 14. 已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形ABCD的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形与其斜二测画法图形面积之间的关系求解即可. 【详解】由题意，， 由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系， 可得. 故答案为： 15. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可. 【详解】设正三棱柱的底面积为，图(1)中水面的高度为，则水的体积.因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，所以图(2)中水的体积.又，所以. 故答案为： 16. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义和正六边形的性质解得 最大值为. 【详解】由题可知， ∴， ∴， 结合以及正六边形的几何特征可知为的中点， 所以 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：； 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【小问1详解】 根据题意，， 又. 【小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 18. 如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm． （1）求纸篓的容积； （2）求该纸篓的表面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，结合圆柱的体积和表面积公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，纸篓的容积（）. 【小问2详解】 依题意，纸篓的表面积（）. 19. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2. （1）求出线段AE的长度； （2）求出隧道CD的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值． 【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°， 在△AEF中，由正弦定理得：， 即， 解得； （2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt△ABE中，， 所以隧道长度． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 20. 已知向量. （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积的坐标运算得到，再由，得到，然后利用二倍角的余弦公式结合商数关系求解； （2）利用辅助角公式将化简，即可得到的解析式，由的取值范围求出的范围，最后利用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 解：，， ， ，即， ， ． 【小问2详解】 解：因为， 所以， ， ， ， ， 当时，的值域为． 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 22. 若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数． （1）若函数，求的特征向量； （2）若向量的特征函数为，求当，且时的值； （3）已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在理由见解析 【解析】 【分析】（1）由三角函数的和差公式可得，再结合特征向量的定义，即可得出答案． （2）由特征向量的定义可得，代入解得，再计算，最后利用两角和差公式即可得出答案． （3）由特征向量的定义可得，三角函数倍角公式可得，若函数的图象上是否存在点Q，使得；再计算其数量积可得，再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断． 【小问1详解】 因为， 所以函数的特征向量. 【小问2详解】 因为，所以. 又 ． 所以． 　 因为，所以， 所以． 所以 ． 【小问3详解】 不存在．理由如下： 由向量的特征函数为，得 ， 所以． 设函数的图象上任一点， 则，． 所以 ． 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以． 所以函数的图象上任一点Q，都不能使得． 即函数的图象上不存在点Q，使得． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是计算出，然后再去设点，得到向量从而化简向量数量积为得，再利用整体法即可判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$