精品解析：广东省湛江市赤坎区寸金培才学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷

广东省湛江市赤坎区寸金培才学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 3 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△BOC的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 23 6. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条经过原点的直线 C. 随的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 7. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 等边三角形是等腰三角形 B. 对顶角相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D. 两直线平行，内错角相等 9. 已知，则代数式的值为（　） A. 2 B. 6 C. 4 D. 10. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：＝____________________． 12. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________． 13. 一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为____________________． 14. 如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段为边长作正方形，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为_________________． 15. 如图，四边形是菱形，延长到点E，使．连接，若，则的度数为________． 16. 对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 18. 如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 19. 一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注满为止． （1）写出水池蓄水量与注水时间之间的关系式，并指出自变量的取值范围； （2）当时，水池蓄水量是多少？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知一次函数． （1）求证：点在该函数图象上． （2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求k的值． 21. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 22. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）问题发现：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接．若，则_____． （2）解决问题：如图2， 第一步：对折矩形纸片．使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．折痕所在直线是否是线段的垂直平分线？连接，图3中是什么特殊三角形？请写出解答过程． （3）拓展应用：已知，在矩形中、，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 24. 如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒． （1）当时，＝______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在边上时，求t的值； （3）当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省湛江市赤坎区寸金培才学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意利用二次根式有意义时根号内数的取值范围大于等于0即可得到本题答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：C 3. 在中，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理直接计算即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、中既不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△BOC的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6， ∴， ∴△BOC的周长是OB+CO+BC=3+5+7=15． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条经过原点的直线 C. 随的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.当x=1，y=-5，故A不符合题意； B.正比例函数图象是一条经过原点的直线，故B符合题意； C.因为-5小于0，y随x的增大而减小，故C不符合题意； D.它的图象经过第二、四象限，故不符合题意； 故选：B 7. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．故轴对称图形有3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以重合． 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 等边三角形是等腰三角形 B. 对顶角相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； B、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； C、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立，不符合题意； D、逆命题为：内错角相等，两直线平行，成立，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是会写出一个命题的逆命题． 9. 已知，则代数式的值为（　） A. 2 B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代数式配方得，然后将，代入求解即可． 【详解】解： ． 故选A 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，实数的计算是解题的关键． 10. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案． 【详解】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交 则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°， ∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°， ∴∠PAF=∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选B． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：＝____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的二次根式化简的方法．加减法法则， 是解决本题的关键． 先把 ， ，化简，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题； 【详解】解：如图， ∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线， ∴CDAB， ∵CD＝2， ∴AB＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13. 一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为____________________． 【答案】、 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，难度不大，注意掌握一次函数与y轴的交点的横坐标为0；一次函数与x轴的交点的纵坐标为0． 根据 与坐标轴交点的坐标特点求解即可． 【详解】解：当时，； ∴一次函数与x轴交点坐标为． 当时，； ∴一次函数与y轴交点坐标为． 故答案为：、． 14. 如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段为边长作正方形，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，求出的长是求解本题的关键．先根据勾股定理求出，根据作图得出，即可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∴， ∴点A表示的数是：． 故答案为：． 15. 如图，四边形是菱形，延长到点E，使．连接，若，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出． 【详解】解：∵<， ∴★=， ∴★（★）=★=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，包括实数的大小比较等，理解题意是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 【答案】 【解析】 【分析】把各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化为最简二次根式． 18. 如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD＝EF，且AD∥EF， 同理可得BC＝EF，且BC∥EF， ∴AD＝BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 19. 一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注满为止． （1）写出水池蓄水量与注水时间之间的关系式，并指出自变量的取值范围； （2）当时，水池蓄水量是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据总容量原蓄水量单位时间内的注水量注入时间就可以表示出与之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量的取值范围． （2）将代入（1）的关系式中，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ∵水池的容积是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 当时，． 【点睛】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知一次函数． （1）求证：点在该函数图象上． （2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）令，求出，即可证明结论成立； （2）先利用平移规律得到，把代入求出k的值即可． 【小问1详解】 证明：在中，令，得， ∴点在的图象上； 【小问2详解】 解：一次函数图象向上平移2个单位得， 将代入得：， 解得． 21. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】 （1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 22. 数学社团小组同学在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： 2 3 4 5 … … 4 6 8 10 … … （1）请你分别观察，，与之间的关系，并用含自然数的代数式表示：_____，_____，_____． （2）猜想：以，，为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． 【答案】（1），， （2） 解：以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是减1，加1，而为的两倍，即可得出答案． （2）利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【小问1详解】 解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， …， ∴． 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）问题发现：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接．若，则_____． （2）解决问题：如图2， 第一步：对折矩形纸片．使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．折痕所在直线是否是线段的垂直平分线？连接，图3中是什么特殊三角形？请写出解答过程． （3）拓展应用：已知，在矩形中、，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，，然后根据折叠的性质得到，即可证明出是等边三角形； （3）根据题意分点在上和点落在上两种情况讨论，然后分别根据折叠的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵将正方形沿对折，使点A落在平面内的点， ∴， ∴； 【小问2详解】 折痕所在直线是线段的垂直平分线，是等边三角形， 理由：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， ∴垂直平分， ∵折叠， ∴， ∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； 【小问3详解】 如图，当点在上时， 由折叠可知：，， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，当点落在上时， 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（舍去）， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24. 如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒． （1）当时，＝______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在边上时，求t的值； （3）当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， （4）当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意可得当时，； （2）证明，则，即，求t的值即可； （3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形； （4）由（3）的讨论直接求解即可． 【小问1详解】 当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 如图1， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（2）知，时，正方形在长方形的内部， ∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形， ∴； 如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形， 如图3，当M点运动到D点处时， ∵， ∴， 解得， ∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形， ∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形； 如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形； ∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形， 如图5， ＝ ＝； 综上所述：当时，；当时， ； 【小问4详解】 由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形； 当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形； 综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形． 【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $