1.3.1空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 一 二 三 学习目标 了解空间直角坐标系（会画） 会用空间直角坐标系刻画点的位置（会写） 掌握空间向量的坐标表示(会写) 学习目标 复习回顾 1. 什么是空间向量基本定理？ 定理 如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得 2. 什么是正交分解？什么是单位正交基底？ |i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的． 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用{ }表示 3. 平面直角坐标系的定义是什么？ 复习回顾 平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, },以O为原点，分别以, 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy. O A(x,y) 对平面内任一向量，存在唯一实数对(x,y)，使 =x+y 则终点A的坐标(x,y)叫做向量的坐标. 新课导入 空间向量的运算 基向量的运算 几何问题 代数问题 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础. 能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 新知探究 问题1 类比平面直角坐标系，空间直角坐标系中，空间直角坐标系包含哪些要素？这些要素满足哪些条件？ 三要素 平面 空间 原点 坐标轴 单位长度 原点O 两条相互垂直的数轴： 轴、y轴 单位长度为1 原点O 三条两两垂直的数轴： 轴、y轴、z轴 单位长度为1 概念生成 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,},以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴. 空间直角坐标系 这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz x y z O ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. 8 它们把空间分成 个部分. Oxy平面 Oyz平面 Oxz平面 新知探究 问题2 如何画出空间直角坐标系？ 斜二测画法 ①画轴： 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy= 135° (或45°)，∠yOz = 90°. ②建系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 新知探究 问题3 平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对表示。对于空间直角坐标系中每一个点和向量是否有类似的表示？ 空间点的坐标 O x y z A 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中 在空间直角坐标系Oxyz中, 为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 新知探究 O x y z A 也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化. 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 , 作 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z),使 有序实数组(x, y, z), 叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 . 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标 OA=(x,y,z) 一一对应 符号(x, y, z)具有双重意义，既可以表示向量，也可以表示点，在表述时注意区分. 在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 新知探究 问题4 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标(x, y, z)吗? O x y z A 过点A分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，分别交x轴,y轴,z轴于点B，C，D，可以证明在x轴，y轴，z轴上的投影向量分别为,,，且 B C D 设点B，C和D在x轴，y轴，z轴上的坐标分别为则A的坐标为(). 求某点A的坐标的方法：先找到点A在xOy平面上的射影A'，过点A'向x轴作垂线，确定垂足B.其中|OB|,|BA'|,|A'A|即为点A坐标的绝对值，再按O→B→A'→A确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，最后得到相应的点A的坐标． A' 典例解析 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ 解： 用坐标表示空间向量的步骤 观图形 建坐标系 用运算 定结果 充分观察图形特征 根据图形特征建立空间直角坐标系 综合利用向量的加减及数乘运算 将所求向量用已知的基向量表示出来，确定坐标 归纳小结 新知探究 问题6 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？ 点的位置 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) 点P关于x轴的对称点是_________ 点P关于y轴的对称点是_________ 点P关于z轴的对称点是_________ 点P关于原点的对称点是_________ 点P关于平面xOy的对称点是_________ 点P关于平面xOz的对称点是_________ 点P关于平面yOz的对称点是_________ P1(x,-y,-z) 新知探究 问题7 关于坐标平面的对称的点又有怎样的情况？ 在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有 空间直角坐标系中对称点的坐标 P2(-x,y,-z) P3(-x,-y,z) P P4 P4(-x,-y,-z) P1 P2 P3 P5 P5(x,y,-z) P6 P6(x,-y,z) P7 P7(-x,y,z) 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。 巩固练习 课本P18 2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在Oyz平面内的射影坐标为____________ 在Oxz平面内的射影坐标为____________ 在Oxy平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0,3,4) (2,0,4) (2,3,0) (-1,-3,-5) 点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足. 点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足. (1,0,0) 规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0. 空间中点的射影 巩固练习 课本P18 1. 在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0,2,4), B(1,0,5), C(0,2,0), D(1,3,4). O A(0,2,4) • B(1,0,5) • C(0,2,0) • D(1,3,4) • 画出长方体，在长方体上标出点 巩固练习 课本P18 3.在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3, OC=4, OD'=3，A'C'与B'D'相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出点C, B', P的坐标； (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ P 4. 已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，求 O A(3,4,5) • B 巩固练习 课本P18 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.空间直角坐标系的概念. 2.空间点的坐标. 3.空间向量的坐标. 方法归纳：数形结合、类比联想. $$