精品解析：广东省深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷

深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设非零向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 6. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11. 已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线是的一条渐近线 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，则数列的通项公式为______． 13. 已知函数图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是______. 14. 已知函数有且只有两个零点，则a的范围____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 19. 牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值； （2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且． （ⅰ）设，求的解析式； （ⅱ）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得. 【详解】由， 所以， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 4. 设非零向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量的运算，根据充分条件和必要条件的定义即可判断 【详解】因为 所以， 又不能推出或； 但若“或”，则一定有， 所以“”是“或”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解． 【详解】由是等比数列可得， 因为，所以可得， 所以 故， 故选：B 6. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以. 故选：A 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值即可判断选项A，B，D；利用即可判断选项C. 【详解】对于A，， 故， 所以在和上，，函数单调递增； 上，，函数单调递减， 故A错误； 对于D，由A知，函数的极大值为， 极小值， 则，故D正确； 对于B，， 结合函数在的单调性可知：，故B正确； 对于C，， 所以， 故函数图象关于点中心对称，故C正确. 故选：BCD 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】所有可能的方法有种，A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确. 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确. 故答案为：BCD 11. 已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线是的一条渐近线 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量大，很容易出错. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，则数列的通项公式为______． 【答案】（为正整数） 【解析】 【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由递推关系得，又， （为正整数）． 故答案为：（为正整数）． 13. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的性质列式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 因为图象关于轴对称，所以，， 可得，，又，所以，即， 要使在上的最小值为，则在上的最小值为， 当时，，又， 所以，解得，即的最大值是. 故答案为： 14. 已知函数有且只有两个零点，则a的范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和的单调性与最值，作出函数和的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数，令，可得， 即，因为，所以，所以， 可得或， 即或， 令，，可得，， 当时，可得，在单调递增，且； 当时，且； 当时，可得，在单调递减； 当时，可得，在单调递增，且， 又当时，，， 当时，且； 作出函数的图象，如图所示， 要使得有两个实数根，即有两个不同的零点， 结合图象，可得或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接、，如图所示： ，点是的中点， ， 又是的中点， ， 又在直三棱柱中，有， 平面 ， 平面， 平面，且面，平面平面， ， 平面，且平面， ， 又，且、平面， 平面， 又， 平面， 平面， 面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，则， 设，则，，， ， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时， 以坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则有，取，解得， 设直线与平面所成的角为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【小问1详解】 记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． 【小问2详解】 由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 19. 牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值； （2）已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且． （ⅰ）设，求的解析式； （ⅱ）证明： 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅰⅰ）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果. (2) （ⅰ）结合导数的几何意义即可得到，从而得解；（ⅰⅰ）利用（ⅰ）中结论可得，证明为等比数列，结合所给结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论. 【小问1详解】 ，所以 当，所以 当， 所以的2次近似值为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为二次函数有两个不等实根, 所以不妨设， 则， 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即， 所以. （ⅰⅰ）由（ⅰ）知， 所以. 因为所以所以. 令则，又 所以， 数列是公比为2的等比数列. . 令，则 当时，，所以在单调递减， 所以，即 因为所以即. . 【点睛】关键点点睛：第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程，根据新定义求解即可；第二问解决的关键在于结合所给结论，通过适当放缩，证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$