21.3 二次根式的加减 课件-2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 21.3 二次根式的加减 第一课时 二次根式的加减 ■考点一 同类二次根式 同类二次根式 与整式中同类项相似，我们把像3 ，-2与4 这样的几个二次根式，称为同类二次根式 判断同类 二次根式 的方法 几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开 方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式 第一课时 二次根式的加减 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 续表 合并同类二次根式 的法则 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数， 被开方数和根指数不变 如m +n =（m+n） ， m -n =（m-n） 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 归纳总结 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 典例1 下列各组二次根式，属于同类二次根式的是 （ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 对点典例剖析 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 ［解析］A.∵ =3 ，∴与不属于同类二次根式； B.∵=3 ，=2， ∴与属于同类二次根式； C.∵ = = ， = ，∴ 与 不属于同类二次根式； D.∵=2 ，=6 ， ∴与不属于同类二次根式． 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 ［答案］ B 考点清单解读 ■考点二 二次根式的加减 第一课时 二次根式的加减 关键 二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并 方法 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并. 合并方法：系数相加减，根式（根指数和被开方数）不变 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 续表 步骤 合并依据：乘法分配律 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 续表 注意 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式 不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、 添括号法则在二次根式运算中仍然适用 在二次根式的加减运算中，如果有括号，要先根据去括号法则去括号，去括号时要特别注意符号变化 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 归纳总结 判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关. 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 典例2 计算： （1） + ； （2） - + ； （3） + + -2 . 对点典例剖析 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 ［解题思路］ 考点清单解读 第一课时 二次根式的加减 ［答案］解：（1）原式 = × 3 + × 2 = + ； （2）原式=3 -2 +3 = +3 ； （3）原式=2 + + -4 =2 + + -4 =3 -4. 考点清单解读 ■题型一 利用二次根式的加减运算求解字母的值 例 1 -a + =5 ，则 a=________． 第一课时 二次根式的加减 重难题型突破 第一课时 二次根式的加减 ［答案］ -2 ［解析］原式=3 - + =5，则(3- +1) =5 ，即(4- ) =5 .所以 4- =5，解得 a=-2． 重难题型突破 第一课时 二次根式的加减 解题通法 把 a 看成一个数进行计算，对比结果中的常系数得到一个关于 a 的方程，解方程求得 a 的值. 重难题型突破 ■题型二 利用二次根式的加减运算求解实际问题 例 2 母亲节时小明画了两张大小不同的正方形画送给母亲，其中一张面积为 800 cm2，另一张面积为 450 cm2，他想如果再用彩带给画镶上边会更漂亮，他现在有 1.2 m 长的彩带，请你帮助小明算一算，他的彩带够用吗？ 如果不够用，还需要再买多长的彩带？（≈1.414，结果保留整数） 第一课时 二次根式的加减 重难题型突破 第一课时 二次根式的加减 ［解析］ 重难题型突破 第一课时 二次根式的加减 ［答案］ 解：由题意，得两张正方形画的边长分别为 =20（cm）， =15（cm），故两个正方形的周长和为 4×20 +4×15 =140 ≈197.96（cm）.因为 1.2 m=120 cm， 197.96>120.所以小明的彩带不够用，197.96-120=77.96≈78（cm）. 答:小明的彩带不够用，还需要再买 78 cm 长的彩带. 重难题型突破 第一课时 二次根式的加减 变式衍生 如图，面积为 48 cm2的大正方形的四个角是面积均为3 cm2 的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面边长约为 ______ cm，高约为 ______ cm.（精确到 0.1 cm， ≈1.732） 3.5 1.7 重难题型突破 ■误把根号下的数直接相加减 例 下列等式成立的是 （ ） A. 3+ =3 B. - = C. + = D. + =3 第一课时 二次根式的加减 易错易混分析 第一课时 二次根式的加减 ［解析］ A 3和 不能合并，不符合题意 B 和 的被开方数不同，不能合并，不符合题意 C 和 的被开方数不同，不能合并，不符合题意 D + = +2 =3 ，符合题意 易错易混分析 第一课时 二次根式的加减 ［答案］ D ［易错］ B 或 C ［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下 的数按有理数相加减. 易错易混分析 第一课时 二次根式的加减 易错警示 二次根式的加减运算容易误把根号下的数按有理数运算法则直接相加减. 领悟提能 二次根式化成最简二次根式，只有被开方数相同才可以进行合并.合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变. 易错易混分析 ■方法：“作差法”比较二次根式的大小 作差法：两数相减，把结果与 0 相比较，间接得到两数大小.若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b=0， 则 a=b；若 a-b＜0，则 a＜b.（两个式子中出现某些被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小） 第一课时 二次根式的加减 方法技巧点拨 例 比较大小：7- ______3-（选填“＞”“=”或“＜”）. 第一课时 二次根式的加减 ［答案］ ［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4- ＞0，∴7- ＞3- . 方法技巧点拨 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 第二课时 二次根式的混合运算 ■考点 二次根式的混合运算 运算顺序 先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的 常见类型 （1）（ + ）= + ； （2）（ + ）（ + ）= + + + ； （3）（+）（- ）=a-b； （4）（ ±）2=a±2 +b； （5）（ + ）÷ = ÷ + ÷ 第二课时 二次根式的混合运算 考点清单解读 第二课时 二次根式的混合运算 续表 温馨 提示 （1）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式的乘法法则及乘法公式仍适用，合理运用运算律可以简化计算； （2）在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的 要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公 式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化； （3）二次根式混合运算的结果应写成最简二次 根式或整式的形式； 考点清单解读 第二课时 二次根式的混合运算 续表 温馨 提示 （4）带绝对值符号的式子（如| -|）要 看成一个整体，去绝对值符号时要加括号 考点清单解读 第二课时 二次根式的混合运算 典例 计算： （1）（ - ）× ； （2） × - ÷ ； （3）（2 +3 ）2. 对点典例剖析 考点清单解读 第二课时 二次根式的混合运算 ［解题思路］ 考点清单解读 第二课时 二次根式的混合运算 ［答案］ 解：（1）原式= × - × = - =4 -3 ； （2）原式= - =3 -2 = ； （3）原式 =（2 ）2 + 2 × 2×3 +（3 ）2=8+12 +27=35+12 ． 考点清单解读 ■题型一 巧用乘法公式进行二次根式的混合运算 例 1 计算：（ ＋- ）（ - - ）． 第二课时 二次根式的混合运算 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 ［答案］ 解：原式＝［（ - ）＋ ］［（ - ）－ ］＝（ － ）2－（ ）２＝5－2 ＋2－6＝１－2 . ［解析］把式子凑成平方差公式的形式，利用乘法公式进行计算． 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 变式衍生 1 计算： （ -3）2+（2 - ）（2 + ）. 解：原式=5-6 +9+（2 ）2-（ ）2 =14-6 +20-7=27-6 ． 重难题型突破 ■题型二 二次根式的化简求值 例 2 已知 a= ，b＝，求 a2-3ab+b2 的值． 第二课时 二次根式的混合运算 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 ［解析］先分母有理化得到a= +1，b= -1，再计算出 a+b=2 ，ab=1，接着把 a2-3ab+b2变形为（a+b）2-5ab，然后利用整体代入的方法计算． 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 ［答案］ 解：∵a= = +1，b= = -1， ∴a+b=2 ，ab=（+1）（-1）=2-1=1， ∴a2-3ab+b2 =（a+b）2-5ab=（2 ）2-5×1=3. 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 变式衍生2 已知 x=2+ ，y=2- ，求下列代数式的值： （1）x2-y2； （2） - ． 解：（1）∵x=2+ ，y=2-， ∴x2-y2 =（x+y）（x-y）=（2+ +2- ）（2+ -2+ ）=4×2 =8； 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 （2） - ． 解：（2）原式= (4+4)-(4-4) =8 重难题型突破 第二课时 二次根式的混合运算 解题通法 如果所求的代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的值已知或容易求出，那么可以将这些整体的值直接代入求值，从而简化计算过程. 重难题型突破 ■运算顺序出错 例 计算：（2 +6）÷（ +1）× . 第二课时 二次根式的混合运算 易错易混分析 第二课时 二次根式的混合运算 ［解析］直接从左到右依次计算即可. ［答案］ 解：原式= 易错易混分析 第二课时 二次根式的混合运算 ［易错］ 解：原式=（2 +6）÷ =4 +12. ［错因］ 先算后面的乘法导致错误. 易错易混分析 第二课时 二次根式的混合运算 易错警示 在一些较复杂的二次根式混合运算中，运算顺序容易出错. 领悟提能 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一致，同级运算应该从左往右依次计算，有括号先算括号里的.不能忽视二次根式的运算顺序，随意约分计算. 易错易混分析 ■巧用换元法简化二次根式混合运算 在二次根式混合运算中，若式子由几个相同的“单元”组合而成，且直接计算运算量较大时，可以利用换元法化简式子. 第二课时 二次根式的混合运算 方法技巧点拨 例 化简： 第二课时 二次根式的混合运算 ［解析］观察发现加号前后带分数线的两个式子互为倒数，可以把分子、分母分别用 a，b 代替，计算完成后再回代原来的分子和分母. 方法技巧点拨 第二课时 二次根式的混合运算 ［答案］ 解：设 =a， =b，则 a+b=2 ，ab=1. 原式= + = = = =4x+2. 方法技巧点拨 $$