22.1一元二次方程课件2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

22.1 一元二次方程 九年级上 1.了解一元二次方程的概念; 2.理解一元二次方程解的意义; 3.能根据现实情境理解一元二次方程的意义,能针对具体问题列出方程. 学习目标 重点 难点 问题1:绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地,并且长比宽多 10 米,那么绿地的长和宽各为多少? 解:设绿地的宽为 x 米,根据题意可列方程 x(x + 10) = 900, 整理得 x2 + 10x - 900 = 0. (1) 得到的方程是一个一元一次方程吗? 新课引入 问题2:学校图书馆去年年底有图书 5 万册,预计到明年年底增加到 7.2万册.求这两年的年平均增长率. 思路点拨:设这两年的年平均增长率为 x. 已知去年年底的图书数是 5 万册,则今年年底的图书数是 5(1 + x) 万册. 同样,明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1 + x) 倍,即 5(1 + x)(1 + x) = 5(1 + x)2 (万册). 可列得方程 5(1 + x)2 = 7.2, 整理可得 5x2 + 10x - 2.2 = 0. (2) 得到的方程与一元一次方程有什么不同? 一次方程的区别在哪里?它们又有什么共同特点呢? 一、一元二次方程的定义 新知学习 x2 + 10x - 900 = 0. (1) 5x2 + 10x - 2.2 = 0. (2) 思考 共同特点:(1) 都是整式方程; (2) 这里的未知数 x 的最高次数是 2. 显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么它们与一元 归纳 上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0 ( a,b,c是已知数,a ≠ 0 ) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数, bx 称为一次项, b 称为一次项系数, c 称为常数项. 1.下列方程中,是一元二次方程的有 . (填序号) ①x2+y-6 = 0;②x2+ =2; ③x2-x-2 = 0;④x2-2+5x3-6x = 0; ⑤2x2-3x = 2(x2-2); ⑥3x( x - 1 ) = 5( x + 2 ) 针对训练 ③⑥ ③ a=1,b=-1,c=-2;⑥ a=3,b=-8,c=-10; 思路点拨:①有2个未知数;②中有分式;③符合条件;④未知数的最高次数为3;⑤化简后为一元一次方程;⑥化简后为3x2-8x-10 = 0. 综上,符合一元二次方程条件的有③⑥ 变式 将上述一元二次方程化成一般形式,则 a,b,c 的值分别是 _. 归纳 1.一元二次方程的三个条件: 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项都要带自身的符号. (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是2. 二、一元二次方程的根 定义:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根. 例1 已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a = 0 的一个根是 3,求 a 的值. 解:由题意得 将 x = 3 代入方程 x2+ax+a = 0,得 32 + 3a + a = 0 解得 见根就代,得到关于未知系数的方程,是解决类似问题的常用方法. 针对训练 1. 已知m是方程x2-x-1 = 0的一个根,求代数式5m2-5m+1001的值. 解:将x =m代入方程x2-x-1 = 0中, 可得m2-m-1 = 0 ,即m2-m = 1 代入5m2-5m+1001中可得 5m2-5m+1001=5(m2-m)+1001=1006 整体代入法. 对条件或所求代数式进行适当变换,如化简、合并、拆项、拼凑等,找出条件和所求代数式间的“倍数”关系. 三、列出一元二次方程解决实际问题 能根据现实情境理解一元二次方程的意义,能针对具体问题列出方程. 例2 将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个.已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,应涨价多少元? 解:设应涨价x元,由题可得,(50-40+x)(500-10x)=8000, 例3 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,则这种植物每个支干长出的小分支个数是多少? 解:设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,由题意得 1+x+x2=57 (1) 在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为多少人? 解:设有x人参加酒会,根据题意列方程得: x(x-1)=55 针对训练 根据下列问题,列出关于未知数 x 的方程. (2)在某次会议期间,为达成友好合作,每两个人见面都会互送名片,若共