暑假专题训练：数与代数（专项训练）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

北师大版六年级下册数学暑假专题训练：数与代数 一、选择题 1．甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（    ）。 A．1 B．乙数 C．甲数 D．甲、乙两数的积 2．一根绳子剪成两段，第一段米，第二段占全长的，两段相比（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法确定 3．下面几幅图中，能表示的意义的是（    ）。 A． B． C． D． 4．某手表上螺丝直径1.5毫米，在图纸上的长度是7.5厘米。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．5∶1 B．50∶1 C．1∶5 D．1∶50 5．在比例尺是1∶8的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2∶3，那么甲、乙两个圆实际的直径比是（    ）。 A．1∶8 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶4 6．一种商品，降价20元后，卖180元，比原价降低了（    ）。 A．10% B．12.5% C．约11.1% D．90% 二、填空题 7．一批木料，先用去总数的，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多10立方米。这批木料一共( )立方米。 8．你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 9．甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲＝乙＋乙＝丙×135，那么甲最小是( )。 10．将三万元钱存入银行，年利率为3.32%，两年后，可以取出( )元。 11．一项工作，小明单独做要20天，小红单独做要34天，如果两人合作完成，工作效率就要降低，小明的工效降低20%，小红的工效降低15%，现在要17天完成这项工作，两人合作的天数尽量少，两人最少合作( )天。 12．乐乐全家四口人到一处名胜古迹旅游，由其中一人轮换给其他人拍照，如果单人各照一张，每两人合影一张，每三人合影一张，则他们一共要拍( )张照片。 13．教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。那么最初有( )名女生。 14．一批水果从树上摘下来时重10000千克，测得含水量为94%，运到市场时测得含水量为93.75%，那么这批水果运到市场时的总重量为( )千克。 15．亮亮家今年将家里的灯全部换成节能灯，这样每个月平均将会节约原来每月电量的4%。那么以前亮亮家一年的电费现在可以用( )个月。 16．（分数、百分数的复合应用）甲、乙两堆货物共重，现在从甲堆中取出货物放入乙堆，这时甲堆货物质量的40%等于乙堆货物质量的，乙堆货物原来有( )t。 17．某铁路上有21个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上所有车站发售的通往其他各个车站的火车票，他一共收集了( )张。 18．某工厂安排甲、乙两个车间完成一批零件的加工任务，工作一段时间后发现还剩下500个零件未完成。已知甲车间加工的零件个数比乙车间加工的零件个数与剩下零件和的还多60个，而乙车间加工的零件个数比甲车间加工的零件个数与剩下零件和的一半少160个，则这批零件共有( )个。 三、判断题 19．两个乘数的末尾有几个，积的末尾也有几个。( ) 20．一个数的倍数一定大于这个数的因数。( ) 21．每过1小时，钟面上的时针尖端和分针尖端所走的路程比为1∶12。( ) 22．因为，所以25，4，0.01互为倒数。( ) 23．真分数的倒数一定大于它本身，假分数和带分数的倒数一定小于它本身。( ) 四、计算题 24．直接写出得数。 4.2＋0.85＝         18×40＝         36×＝         32×0.25＝         1.7－0.25－75%＝ 5.2÷10%＝         ＝         910÷70＝         8.9×11－8.9＝      ＝ 25．脱式计算。 252÷（18＋66）                     10－4.25×0.4                       6.77－ 26．解比例或方程。 （1）0.6∶1.8＝4∶x        （2）（x－127）÷75＝4        （3）42x－14.1×4＝69.6 五、解答题 27．某酒店4月份的营业额是90万元，5月份的营业额比4月份增加了40%，如果按营业额的5%缴纳增值税，这家酒店5月份应缴纳增值税多少万元？ 28．一种水果600千克，含水率为96%，从南方运到北方销售，含水率变为90%，在运输过程中减轻了多少千克？ 29．有60千克盐水，其中盐与水的比是3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐占盐水的20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 30．某收音机成本72元，原来按定价出售，每天可售100个，每件利润为成本的25%，后来按定价打九折出售，每天销售量提高到原来的2.5倍。照这样计算，每天的利润比原来增加多少元？ 31．小丹看一本课外书，第一天看了全书的，第二天看了全书的10%，她发现第二天比第一天少看了6页，那么这本课外书共有多少页？ 32．某商场今天卖出男、女皮衣各一件，现价都是990元，其中女式皮衣款式漂亮赚了10%，男式皮衣款式陈旧赔了10%，今天卖出这两件皮衣是赚钱还是赔钱？若是赚钱，赚了多少？若是赔钱，赔了多少？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。例如：6是3的倍数，3是较小数，6是较大数，6和3的最大公因数是3。根据求两个数的最大公因数的特殊情况解答即可。 【详解】甲数是乙数的倍数，说明乙数是较小数，所以甲、乙两数的最大公因数是乙数。 故答案为：B 【点睛】明确求两个数的最大公因数的特殊情况是解决此题的关键。 2．B 【分析】把这根绳子看作单位“1”，第二段占全长的，则第一段占全长的1－＝；比较与的大小即可。 【详解】1－＝ ＜ 第二段长。 故答案为：B 【点睛】本题运用它们各占全长的几分之几来进行判断，这样简单易选。 3．A 【分析】A．把一个长方形看作单位“1”，平均分成3份，取其中的1份，然后把这1份再平均分成两份，取其中的一份即可，即表示×； B．把长方形看作单位“1”，把它平均分成6份，阴影部分占其中的1份，用分数表示为，不表示×； C．把长方形看作单位“1”，把它平均分成6份，取其中的2份，表示，不表示×； D．把长方形看作单位“1”，把它平均分成6份，取其中的3份，表示，不表示×；据此解答。 【详解】根据分析可知，表示×。 故答案为：A 【点睛】本题考查了分数乘分数的意义，通过画图进一步理解分数乘法的意义。 4．B 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。 【详解】7.5厘米＝75毫米 75∶1.5 ＝750∶15 ＝（750÷15）∶（15÷15） ＝50∶1 所以，这幅图纸的比例尺是50∶1 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。 5．B 【分析】根据比例尺的意义，令甲乙两圆的图上直径为2d，3d，根据比例尺可得实际圆的直径分别是16d，24d，由此利用比例尺进行计算，即可选择正确答案。 【详解】令甲乙两圆的图上直径为2d，3d，根据比例尺可得实际甲乙两圆的直径分别是2d×8＝16d，3d×8＝24d， 16d∶24d ＝（16d÷8d）∶（24d÷8d） ＝2∶3 甲、乙两个圆实际的直径比是2∶3。 故答案为：B 【点睛】此题考查了利用比例尺解决实际问题的方法，关键是根据比例尺可得实际圆的直径分别是16d，24d。 6．A 【分析】降价钱数＋现价＝原价，降价钱数÷原价＝比原价降低了百分之几，据此列式计算。 【详解】20÷（20＋180） ＝20÷200 ＝0.1 ＝10% 比原价降低了10%。 故答案为：A 【点睛】此类问题一般用表示单位“1”的量作除数。 7．50 【分析】第二次用去的是总数的即；此时剩下的是；这时用去的比剩下的多10立方米，用10除以两次用去的分率和与剩下分率的差，就能求出木料总数。 【详解】两次共用去的： 剩下的： （立方米） 故这批木料一共50立方米。 【点睛】本题考查（1）求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率计算；（2）已知一个数的几分之几是多少求这个数，用这个数除以分率计算。 8．314 【分析】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数少1；7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3，5，7的公倍数，再根据韩信带350名士兵打仗，战死几十人，（人），则战后人数大于250人，据此确定公倍数，最后减1即可解答。 【详解】（人） （人） 即，战后人数时314人。 【点睛】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 9．90 【分析】因为甲×甲＝乙＋乙＝丙×135，所以结果一定是偶数，且每个质因数的数一定是偶数个，因为135＝3×3×3×5，要使结果一定是偶数，则丙一定含有质因数2，且有2个质因数2，因为135含有3个质因数3，1个质因数5，则丙至少含有1个质因数3，1个质因数5，所以丙最小是（2×2×3×5），据此推出甲最小是多少。 【详解】135＝3×3×3×5 丙最小：2×2×3×5＝60 甲×甲 ＝丙×135 ＝（2×2×3×5）×（3×3×3×5） ＝2×2×3×5×3×3×3×5 ＝2×3×3×5×2×3×3×5 ＝（2×3×3×5）×（2×3×3×5） 甲：2×3×3×5＝90 甲最小是90。 10．31992 【分析】利息＝本金×年利率×存期，两年后取出的是本金与利息的和，据此计算。 【详解】三万＝30000 （元） 两年后可以取出31992元。 【点睛】本题考查百分数的利率问题，需要熟记公式并看清题目所求是利息还是本利和。 11．10 【分析】根据题意可知，小明的工作效率比小红快，要使两人合作的天数尽量少，则17天内由两人合作几天，剩下的几天然小明单独做；把整个工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用即可求出小明的工作效率，也就是；用即可求出小红的工作效率，也就是；如果两人合作完成，工作效率就要降低，小明的工效降低20%，则把小明单独的工作效率看作单位“1”，降低后的工作效率是原来的，根据百分数乘法的意义，用小明的工作效率×即可求出小明降低后的工作效率，即；小红的工效降低15%，则把小红单独的工作效率看作单位“1”，降低后的工作效率是原来的，根据百分数乘法的意义，用小红的工作效率×即可求出小红降低后的工作效率，即；根据题意可知，两人工作的效率和×两人一共工作的天数＋小明单独做的效率×单独做的天数＝1，据此设两人合作天，则小明单独做天。据此列方程为，进而解出方程即可。 【详解】 解：设两人合作x天，则小明单独做天。 两人合作的天数尽量少，两人最少合作10天。 【点睛】本题主要考查了工程问题，明确工作效率、工作总量、工作时间三者之间的关系是解答本题的关键。 12．14 【分析】设四人为a，b，c，d，单人照有4种：a，b，c，d；两人合影有6种：ab，ac，ad，bc，bd，cd；三人合影有4种：abc，abd，acd，bcd；所以一共有（4＋6＋4）种。 【详解】4＋6＋4＝14（张） 他们一共要拍14张照片。 13．15 【分析】假设教室里面有女生x名，走了10名女生，女生还剩（x－10）名，这时男生是女生人数的2倍，男生人数用x来表示[2（x－10）]名，又走了9名男生，女生是男生人数的5倍，这时数量关系式为：（男生的最初人数－9）×5＝女生走了10人的人数。 【详解】解：设教室最初有女生x人，男生有[2×（x－10）]人。 [2×（x－10）－9]×5＝x－10 [2x－20－9]×5＝x－10 [2x－29]×5＝x－10 10x－145＝x－10 10x－x＝145－10 9x＝135 x＝15 则女生最初有15名。 14．9600 【分析】水果的果肉一直不发生改变，则从树上摘下来的时候，含水量为94%，是以摘下来的水果的重量为单位“1”，果肉就占了6%，果肉的重量就可以得出（求一个数的百分之几），用乘法。运到市场后含水量为93.75%，单位“1”是运到市场的总重量，果肉就占了6.25%，由于果肉的重量没有发生改变，则运到市场总重量的6.25%就是果肉的重量（已知一个数的百分之几是多少求这个数），则可求运到市场的总重量，用除法。 【详解】10000×（1－94%）＝600（千克） 600÷（1－93.75%）＝9600（千克） 则这批水果运到市场时的总重量为9600千克。 15．12.5 【分析】假设原来每个月用电量为1，则原来1年的用电量就是12，如果每个月平均将会节约原来每月电量的4%，也就是每个月的用电量是原来的（1－4%），根据百分数乘法的意义，用1×（1－4%）即可求出现在每个月的用电量，然后用原来1年的用电量12除以现在每个月的用电量，即可求出原来1年的用电量现在可以用多少个月。 【详解】假设原来每个月用电量为1，则原来1年的用电量就是12， 1×（1－4%） ＝1×96% ＝0.96 12÷0.96＝12.5（个） 以前亮亮家一年的电费现在可以用12.5个月。 16．1.7 【分析】甲堆货物质量的40%等于乙堆货物质量的，得出甲堆货物的重量×40%＝乙堆货物×，用“赋值法”，甲堆货物的重量×40%＝乙堆货物×＝1，则甲堆货物∶乙堆货物＝∶，化成最简整数比是10∶7。甲乙两堆货物的总重量不变，按比例分配可以求出乙货物得到甲货物的0.4t时的重量，再减去0.4t则求出乙堆货物原来的吨数。 【详解】甲堆货物∶乙堆货物＝10∶7 乙得到0.4t的重量：5.1×＝2.1（t） 乙原来的重量：2.1－0.4＝1.7（t） 17．420 【分析】假设第一个车站是A，则到其余的20个车站有20种火车票。第二个车站是B，那么要到其余的20个车站也是20种火车票。则一共有21个车站，每个车站到其余的20个车站有20种。则有420种。 【详解】21×20＝420（种） 则他一共收集了420张车票 【点睛】A到B车站和B到A车站是两种不同的车票。 18．1145 【分析】根据“甲车间加工的零件个数比乙车间加工的零件个数与剩下零件和的还多60个”设乙车间加工的零件个数为x个，则甲车间加工的零件个数是个，最后根据“乙车间加工的零件个数比甲车间加工的零件个数与剩下零件和的一半少160个”列方程解答。 【详解】设乙车间加工的零件个数为x个，则甲车间加工的零件个数是个，则 甲车间加工的零件个数： （个） 共有： （个） 故这批零件共有1145个。 19．× 【分析】根据两位数乘两位数的计算法则，可分别计算出20×40、20×50的积，然后根据计算出的积进行判断即可。 【详解】20×40＝800 20×50＝1000 由此可知，两个乘数的末尾有几个，积的末尾不一定就有几个0。 故答案为：× 20．× 【分析】因为一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，如12的最大因数是12，最小倍数是12，它的最大因数和最小倍数相等。 【详解】根据分析可知： 一个数的最小的倍数和最大的因数都是它本身，所以一个数的倍数不一定大于这个数的因数。原题说法错误。 故答案为： × 21．√ 【分析】钟面上共12大格，1小时分针走一圈、时针走一大格，即时针走一圈的。据此解答即可。 【详解】每过一个小时，时针走钟面周长的，分针走一周，所以每过一个小时，时针与分针所走路程比是1∶12。 故答案为：√ 22．× 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。说明互为倒数的是两个数之间的关系，不是三个数，据此判断即可。 【详解】由分析可得，25，4，0.01是三个数，不能互为倒数。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 23．× 【分析】真分数的分数值＜1；假分数的分数值≥1；带分数的分数值＞1。当一个分数的分数值大于1时，它的倒数小于1；当一个分数的分数值等于1时，它的倒数等于1；当一个分数的分数值小于1时，它的倒数大于1；据此判断即可。 【详解】由分析可得：真分数的倒数一定大于它本身；假分数的倒数小于或者等于它本身；带分数的倒数小于它本身；原题干说法错误。 故答案为：× 24．5.05；720；30；8；0.7； 52；；13；89； 【详解】略 25．3；8.3 3；10 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法； （2）先算乘法，再算减法； （3）变除法为乘法，再按照乘法分配律计算； （4）按照加法交换律和结合律以及减法的性质计算。 【详解】252÷（18＋66） ＝252÷84 ＝3 10－4.25×0.4 ＝10－1.7 ＝8.3 ＝×12－×12 ＝12×（－） ＝12× ＝3 6.77－ ＝（6.77＋4.23）－（＋） ＝11－1 ＝10 26．（1）x＝12；（2）x＝427；（3）x＝3 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以0.6，解出方程。 （2）根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时乘75，再同时加127，解出方程。 （3）先计算方程左边的乘法算式，再根据等式的性质1和性质2，方程左右两边同时加56.4，最后同时除以42，解出方程； 【详解】（1）0.6∶1.8＝4∶x 解：0.6x＝1.8×4 0.6x＝7.2 x＝7.2÷0.6 x＝12 （2）（x－127）÷75＝4 解：x－127＝4×75 x－127＝300 x＝300＋127 x＝427 （3）42x－14.1×4＝69.6 解：42x－56.4＝69.6 42x＝69.6＋56.4 42x＝126 x＝126÷42 x＝3 27．6.3万元 【分析】将4月份营业额看作单位“1”，5月份的营业额是4月份的（1＋40%），4月份营业额×5月份对应百分率＝5月份营业额，再将5月份营业额看作单位“1”，5月份营业额×增值税的税率＝5月份应缴纳的增值税，据此列式解答。 【详解】90×（1＋40%）×5% ＝90×1.4×0.05 ＝6.3（万元） 答：这家酒店5月份应缴纳增值税6.3万元。 28．360千克 【分析】将水果质量看作单位“1”，纯水果质量是水果的（1－96%），水果质量×纯水果的对应百分率＝纯水果质量；纯水果质量不变，运抵后纯水果质量是水果的（1－90%），纯水果质量÷对应百分率＝运抵后纯水果质量，原来的水果质量－运抵后纯水果质量＝减轻了的质量，据此列式解答。 【详解】纯水果（除去水）的质量： 600×（1－96%） ＝600×0.04 ＝24（千克）； 运抵后水果的总质量： 24÷（1－90%） ＝24÷0.1 ＝240（千克）； 减少的质量： 600－240＝360（千克）； 答：在运输过程中减轻了360千克。 【点睛】关键是确定单位“1”，整体数量×部分对应百分率＝部分数量，部分数量÷对应百分率＝整体数量。 29．选择A方法的话，应该加盐3.75千克 【分析】先用盐水的千克数乘盐占的分率，得出盐的千克数，选择方法A，设加盐x千克，根据等量关系：原来盐的千克数＋加入盐的千克数＝（盐水的千克数＋加入盐的千克数）×盐占盐水的百分率，列方程解答即可。 【详解】盐：60×＝9（千克） 选择方法A， 解：设加盐x千克， 9＋x＝（60＋x）×20% 9＋x＝12＋0.2x 9＋x－0.2x＝12＋0.2x－0.2x 9＋0.8x＝12 9＋0.8x－9＝12－9 0.8x＝3 0.8x÷0.8＝3÷0.8 x＝3.75 答：选择A方法的话，应该加盐3.75千克。 【点睛】本题主要考查了比的应用，注意方程的应用。 30．450元 【分析】根据题意，把某收音机的成本看作单位“1”，按定价出售每件利润为成本的25%，即每件的定价比成本高25%，则定价是成本的（1＋25%），单位“1”已知，用乘法计算求出原来每件的定价； 后来按定价打九折出售，即现在的售价是原来定价的90%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算求出现在每件的售价； 后来每天销售量提高到原来的2.5倍，用原来每天的销售量乘2.5，即可求出现在每天的销售量；根据利润＝售价－成本，分别求出原来、现在每件的利润，再分别乘原来、现在每天的销售量，即是原来、现在每天的利润，再相减，即可求出每天利润比原来增加的钱数。 【详解】原定价： 72×（1＋25%） ＝72×1.25 ＝90（元） 现在的售价： 90×9% ＝90×0.9 ＝81（元） 现在每天的销售量：100×2.5＝250（个） 原来每天的利润： （90－72）×100 ＝18×100 ＝1800（元） 现在每天的利润： （90－81）×250 ＝9×250 ＝2250（元） 增加：2250－1800＝450（元） 答：每天的利润比原来增加450元。 【点睛】本题考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答；明确打几折，就是现价是原价的百分之几十。 31．240页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，则第二天比第一天少看的页数所对应的分率是（－10%），根据除法的意义，列式计算。 【详解】 ＝6÷0.025 ＝240（页） 答：这本课外书共有240页。 【点睛】本题考查分数应用题的解题方法，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据除法的意义，列式计算。 32．赔钱，赔20元 【分析】要看是赚钱还是赔钱，需要计算后根据数字进行判断；女式皮衣，可赚10%，把原价看作单位“1”，即现价是原价的（1＋10%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算得出女式皮衣的原价，然后根据乘法的意义，计算出赚的钱数；男式皮衣赔了10%，每件售价也是990元，把原价看作单位“1”，现价是原价的（1－10%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算得出男式皮衣的原价，然后根据乘法的意义算出赔本的钱数；然后进行比较，进而得出结论。 【详解】男式皮衣赔本：990÷（1—10%）×10% ＝990÷0.9×10% ＝1100×10% ＝110（元） 女式皮衣盈利：990÷（1＋10%）×10% ＝990÷1.1×10% ＝900×10% ＝90（元） 110＞90 110－90＝20（元） 答：赔钱，赔20元。 【点睛】此题做题时，应先判断出单位“1”，然后根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算得出两种服装原价；最后根据乘法的意义，分别求出盈利的钱数和赔本的钱数，进而比较，得出结论。 学科网（北京）股份有限公司 $$