7.4.2 超几何分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2　超几何分布 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 学习目标 1.通过实例,了解超几何分布及其均值.(数学抽象、数学运算) 2.能用超几何分布解决简单的实际问题.(数学建模) 基础落实·必备知识一遍过 知识点　超几何分布 1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为   每抽取一次,产品件数就减少1件 P(X=k)=　　　　　　　　　　,k=m,m+1,m+2,…,r.  其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 2.超几何分布的均值:E(X)= =np(p为次品率). 微思考 1.超几何分布与二项分布是否有联系? 2.超几何分布与二项分布的期望有何规律? 提示 是.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似. 提示 超几何分布与二项分布的期望都为np.(对于超几何分布,p是N件产品的次品率;对于二项分布,p是在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率) 重难探究·能力素养速提升 探究点一 超几何分布概率公式的应用 问题1n重伯努利试验本质上是有放回抽样,若是不放回抽样,其事件发生的概率又该如何求? 【例1】 从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率. 解 设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出2个红球、3个白球一种可能情况,那么恰好得7分的概率为 规律方法　1.解答超几何分布问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布. 2.注意公式中M,N,n的含义,并明确所求的事件. 探究点二 求超几何分布的分布列 问题2超几何分布的分布列有何特征? 【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率; (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. 规律方法　超几何分布的求解步骤 (1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. 探究点三 二项分布与超几何分布的区别与联系 问题3二项分布与超几何分布有何区别?通过题意如何识别概率分布类型? 【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图. (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3, 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布. 规律方法　不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)超几何分布的概念及特征;(2)超几何分布的概率、分布列、均值;(3)超几何分布与二项分布的区别与联系. 2.方法归纳:公式法、类比法. 3.常见误区:容易将超几何分布与二项分布混淆,前者是不放回抽样,后者是有放回抽样. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽,4个咸肉粽,现从中任取4个粽子,设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X,则下列结论正确的有(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是“3”的概率可表示为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是 ,则语文课本有(　　) A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 C 解析 设语文课本有n(n≥2)本,则数学课本有(7-n)本,则2本都是语文课本的概率为 ,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为　　　　　　　.(用式子表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.10名同学中有a名女生,若从中抽取2人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为 ,则a=　　　　　.  2或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 9.在某次学校的春游活动中,某班设计了这样一个游戏:一个纸箱里放了5个红球和5个白球,这些球除颜色外完全相同,若一次性从中摸出5个球,摸到4个或4个以上红球即中奖,则中奖的概率是(精确到0.001)(　　) A.0.114 B.0.112 C.0.103 D.0.121 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.50张彩票中只有2张中奖票,现从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为　　　　　.  15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在元旦晚会上,数学老师设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同,从中任意摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.(结果保留两位小数) 解 设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布, 其中N=30,M=10,n=5, 于是中奖的概率为P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是 ,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率; (2)求乙答对的题目数X的分布列; (3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P(X=2)= 解 (1)从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数n==20,取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P= (2)由题意知X=0,1,2,3. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)= 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 计算的具体结果为 X 0 1 2 P ∴X的均值为E(X)=0+1+2 X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2. (3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为 从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B(2,), Y的分布列为P(Y=k)=)k(1-)2-k,k=0,1,2, ∴P(Y=0)=2=,P(Y=1)=, P(Y=2)=2= 计算的具体结果为 Y 0 1 2 P A.P(X=2)= B.E(X)= C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= 解析 由题意,随机变量X服从超几何分布,则X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以E(X)=,P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=,故B错误,A,C,D正确.故选ACD. A. B. C.1- D. 解析 设X为抽出的5张扑克牌中含“3”的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)= A. B. C. D. 解析 正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为 当1个正品、3个次品时,概率为 所以正品数比次品数少的概率为 解析 随机抽取两名学生,X表示选修A课程的学生数,则X服从超几何分布,其中N=50,M=15,n=2.依题意所求概率为P(X=1)= 解析 二级品不多于1台,即一级品有3台(二级品1台)或一级品有4台,故所求概率为 解析 根据题意,得,解得a=2或a=8. 解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X, X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布, 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)= 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= 解析 设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=5,于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.103. 解析 根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= 解析 用X表示中奖票数,P(X≥1)=>0.5,且n∈N*,n≤50,解得n≥15. ==0.19. 解 (1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是, ∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P= (2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则 P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=, 故X的分布列为 X 2 3 4 P (3)乙平均答对的题目数E(X)=2+3+4 ∵甲答对题目数Y~B(4,), ∴甲平均答对的题目数E(Y)=4 ∵E(X)=E(Y), ∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数. $$