专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．-4是相反数 B．是的相反数 C．-5和10互为相反数 D．是3的相反数 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最小的正整数，是绝对值最小的数，的相反数是1，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数：、、0、 (1)在数轴上表示这4个数以及它们的相反数； (2)把这些数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 2．（23-24七年级·全国·课后作业）在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24七年级上·河南安阳·期中）的相反数（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习） ， 3．（2020七年级上·全国·专题练习）化简下列各数中的符号． （1）； （2）－(+5)； （3）－(－0.25) ； （4）； （5）－[－(+1)]； （6）－(－a)． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）【阅读理解】 在数轴上，的几何意义是数a对应的点到原点的距离，例如：可以理解为3与之间的距离． (1)________． (2)若，请求出所有符合条件的整数x之和． (3)的最小值为________． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 3．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的程序计算，当输入数据x，y的值满足时，m的值为（    ）   A． B． C． D．7 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，且. (1)填空：_________，_________； (2)若点A以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到所在的点处时，求两点间距离； (3)在（2）的条件下，若点A在处静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，经过多长时间两点相距3个单位长度？ 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一定表示负数 B．两数比较，绝对值大的反而小 C．符号不同的两个数互为相反数 D．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 4．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，若点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示的数为，且，则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数a对应的点到点M，N的距离相等，数b对应的点到点P，R的距离相等，若，则原点是（　　）    A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”） 7．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 8．（23-24七年级上·广东广州·期末）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的所有可能值 ． 10．（2021七年级上·江苏·专题练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ． 11．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 _______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 _________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？    13．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 14．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；…… 如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为或，记为．      (1)数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 　 　； (2)数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 　 　； (3)若数轴上有理数与对应的两点，之间的距离，则等于 　 　； (4)如图2，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为．若点在点，之间，则　 　；若，则　 　； 15．（17-18七年级·四川广安·期中）阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．-4是相反数 B．是的相反数 C．-5和10互为相反数 D．是3的相反数 【答案】B 【分析】利用互为相反数的定义直接判断得出即可． 【详解】解：A.-4是4的相反数，故原选项错误； B. 是的相反数，正确； C. -5和5互为相反数，故原选项错误； D. -3是3的相反数，故原选项错误； 故选：B. 【点睛】此题主要考查了互为相反数的定义，熟练掌握定义是解题关键． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最小的正整数，是绝对值最小的数，的相反数是1，则 ． 【答案】 【分析】可得，，，代值计算即可求解． 【详解】解：由题意得: ，，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数定义的理解，绝对值，相反数，有理数的加减运算，理解相关定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数：、、0、 (1)在数轴上表示这4个数以及它们的相反数； (2)把这些数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的比较大小； （1）由相反数的定义求出相反数，在数轴上表示即可； （2）数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，由数轴即可求解； 掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”及大小比较大小的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：的相反数为，的相反数为，0的相反数为，的相反数为 ； 在数轴上表示为：    （2）解：由数轴得： ． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级·全国·课后作业）在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据相反数的定义和性质逐个分析即可. 【详解】①有理数a的相反数不一定是负数；错误； ②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为反数；正确； ③符号不同的两个数，不一定互为相反数；错误； ④0的相反数等于它本身；错误 故答案为①③④ 【点睛】考核知识点：相反数.理解相反数定义是关键. 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相等，不符合题意； B、，，两数不相等，符合题意； C、，，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 1．（23-24七年级上·河南安阳·期中）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习） ， 【答案】 2 【分析】根据多重符号化简，即可解答； 【详解】；；． 故答案为：；；2． 【点睛】该题主要考查了多重符号化简，解题的关键是熟练掌握多重符号化简． 3．（2020七年级上·全国·专题练习）化简下列各数中的符号． （1）； （2）－(+5)； （3）－(－0.25) ； （4）； （5）－[－(+1)]； （6）－(－a)． 【答案】(1)；（2）－5；（3）0.25；（4）；（5）1； (6) a． 【分析】根据相反数的性质进行化简求解即可． 【详解】解：(1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ； （2）－(+5)表示+5的相反数，即－5， 所以－(+5)=－5； （3）－(－0.25)表示－0.25的相反数，而－0.25的相反数是0.25，所以－(－0.25)＝0.25； （4）负数前面的“+”号可以省略，所以； （5）先看中括号内－(+1)表示1的相反数，即－1，因此－[－(+1)]＝－(－1)而－(－1)表示－1的相反数，即1，所以－[－(+1)]＝－(－1)=1； (6)－(－a)表示－a的相反数，即a． 所以－(－a)= a 【点睛】本题考查了相反数的性质，掌握性质是关键． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 1．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等解答． 【详解】解：∵的相反数是3，与3到原点的距离相等， ∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴，熟练掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的意义可得A，B两点到原点的距离相等，即可求解． 【详解】解：A，B表示互为相反数的两个数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵A在B的右侧，并且这两点的距离为9， ∴点B表示的数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，数轴上两点间的距离，根据题意得到A，B两点到原点的距离相等是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【答案】(1)-1 (2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是-1． （2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5． 【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【详解】∵， ∴， ∴或， 故选：． 2．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，如表是四种饼干的检验结果，“+、－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ．（填写饼干型号） A B C D （g） （g） （g） （g） 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值越小越符合标准是解题的关键．根据绝对值越小越符合标准即可得到答案． 【详解】解：， 故饼干最符合标准． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 【答案】(1) (2) (3)，2 (4)，，，0，1，2 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义即可解答； （4）根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，使得成立的整数可以是和2之间的任意一个整数（包括和2），由此可解． 【详解】（1）解：由题意可知，表示8与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：由题意可知，，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （4）解：由题意知，表示数轴上有理数x所对应的点到和数与数2的距离之和为5， ， ， 满足等式成立的所有整数x的值为：，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的含义和求法，由，求出的值是多少即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 2．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数． 【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016． 故答案为：2016． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期中）【阅读理解】 在数轴上，的几何意义是数a对应的点到原点的距离，例如：可以理解为3与之间的距离． (1)________． (2)若，请求出所有符合条件的整数x之和． (3)的最小值为________． 【答案】(1)7 (2)9 (3)2 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的意义进行计算即可； （2）根据绝对值的意义求出符合条件的x的值，然后求和即可； （3）根据绝对值的意义，得出的最小值为即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解：∵表示数轴上x到对应的点5，的距离之和，且， ∴满足条件的整数x为，，，0，1，2，3，4，5， ∴； （3）解：表示数轴上x到对应点的2，4的距离之和， 则的最小值为：， 故答案为：2． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据推出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质和不等式性质即可求解. 【详解】解：， ， 或， 当时，方程无解或只有一个解， ， ，即或，即， 但当时，或都成立，此时有个不同的解， 只有时，成立，方程恰有两个不同的解. 3．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的程序计算，当输入数据x，y的值满足时，m的值为（    ）   A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】先利用绝对值及平方的非负性得出，，然后根据程序计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值及平方的非负性是解题关键． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，且. (1)填空：_________，_________； (2)若点A以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到所在的点处时，求两点间距离； (3)在（2）的条件下，若点A在处静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，经过多长时间两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)，3 (2)11 (3)经过的时间为8秒或14秒 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，路程、速度与时间的关系等知识，涉及分类讨论，关键时能根据两点间的距离确定点表示的数． （1）根据两个非负数的和为零，则它们均为零，可求得a与b的值； （2）由点A的移动可求得其移动的时间，从而可得点B移动的距离，则可求得点B表示的数，从而求得A、B两点间距离； （3）分两种情况考虑：点B在点A的右边；点B在点A的左边．根据两点间相距3个单位长度，可确定点B所表示的数，从而确定点B移动的距离，进而求得运动的时间． 【详解】（1）解：∵，，且 ∴， ∴， 故答案为：，3； （2）由题意得，点A向左移动了2个单位长度，则移动的时间为（秒）， 故点B也移动了4秒，它移动的距离为， 此时点B表示的数为， 所以A、B两点间的距离为； （3）分两种情况考虑： 当点B在点A的右边时，则点B移动到的位置，点B移动的距离为，移动的时间为（秒）； 当点B在点A的左边时，则点B移动到的位置，点B移动的距离为，移动的时间为（秒）； 综上，经过的时间为8秒或14秒． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【详解】解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一定表示负数 B．两数比较，绝对值大的反而小 C．符号不同的两个数互为相反数 D．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、有理数的大小比较、绝对值的意义，掌握理解各定义与性质是解题关键． 根据相反数、有理数的大小比较、绝对值的意义逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，是正数，则此项说法错误，不符合题意； B、两个负数比较，绝对值大的反而小，则此项说法错误，不符合题意； C、只有符号不同的两个数互为相反数，则此项说法错误，不符合题意； D、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零，则此项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（    ） A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点不在之间， 原点是M或R． 故选：B． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，若点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示的数为，且，则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先由，推出点C在点A和点B之间，且距离为，点D与点A之间的距离是1，画出数轴，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C在点A和点B之间， ∵， ∴， 若点D在点A左侧，如图，    ∴线段的长度为：； 若点D在点A右侧，如图，    ∴线段的长度为：， ∴线段的长度为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 5．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数a对应的点到点M，N的距离相等，数b对应的点到点P，R的距离相等，若，则原点是（　　）    A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 【答案】B 【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 所以； ①当原点在N或P点时，，又因为，所以原点可能在N或P点； ②当原点在M或R点时，，所以原点不可能在M或R点； 综上所述，原点应是在N或P点． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解． 6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查绝对值、多重符号、有理数比较大小，根据“负数的绝对值等于它的相反数”“负负得正”求出两个数，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 所以， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了学生对表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数）的理解，分两种情况讨论的范围：①，②，即可得到答案．解此题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：①时， ； ②时， ； 故的结果是，． 故答案为：，． 8．（23-24七年级上·广东广州·期末）学习绝对值后，我们知道可以表示为5与之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与两数在数轴上对应两点之间的距离． ①可以表示为与 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②时，符合方程的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数形结合是解题关键． ①根据绝对值的几何意义即可求解； ②在数轴上表示x到1，，两数的距离之和等于3的数，由此即可求解． 【详解】解：①， 可以表示为与两数在数轴上对应两点之间的距离． 故答案为：． ②可以表示为x到1，，两数的距离之和等于3， ， x是整数， x的值为：， 所有整数解的和为： 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的所有可能值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，有理数的除法，分类讨论是解题的关键．分为；；；四种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：或． 10．（2021七年级上·江苏·专题练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ． 【答案】 2 5 4或-3 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x－5|是数轴上表示数x的点与表示数5的点之间的距离，|x＋1|是数轴上表示数x的点与表示数－1的点之间的距离，若|x－5|=|x＋1|，则此点必在－1与5之间，故x－5＜0，x＋1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可． （2）求|x－3|＋|x＋2|的最小值，由线段的性质，两点之间线段最短，可知当－2≤x≤3时，|x－3|＋|x＋2|有最小值． （3）由于x－3及x＋2的符号不能确定，故应分x＞3，－2≤x≤3，x＜－2三种情况解答． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在－1与5之间， 故x－5＜0，x＋1＞0， ∴原式可化为5－x=x＋1， ∴x=2， 故答案为：2． （2）根据题意，可知当－2≤x≤3时，|x－3|＋|x＋2|有最小值， ∴|x－3|=3－x，|x＋2|=x＋2， ∴|x－3|＋|x＋2|=3－x＋x＋2=5； 故|x－3|＋|x＋2|最小值是5； 故答案为：5． （3）根据题意，可知： 当x＞3时，x－3＋x＋2=7，解得x=4， 当－2≤x≤3时，3－x＋x＋2=7，无解， 当x＜－2时，3－x－x－2=7，解得x=－3， 故答案为：4或－3． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想． 11．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求|5﹣（﹣2）|=______． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是______． (3)对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． (4)对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)有，3 (4)有，最小值为7， 【分析】（1）根据绝对值的意义求解； （2）结合数轴可知，与及其之间的整数都满足； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）解：， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， ， 因此这样的整数是， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值为3． 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和， 因此当时，有最小值，最小值为； （4）解：有，最小值为7， ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，最小值0， 当时，有最小值，最小值为7． 【点睛】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 _______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 _________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？    【答案】(1)； (2)； (3)； (4)秒或秒． 【分析】（）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法，然后分情况讨论即可求解； （）根据数轴上两点之间的距离的求法，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和， 根据几何意义分析可知： 当时，， 当时，， 当时，， 当在与之间时，的最小值， 故答案为：； （4）， 相遇前：（秒）， 相遇后：（秒）， 则经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离表示和采用数形结合的思想是解题的关键． 13．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 14．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；…… 如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为或，记为．      (1)数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 　 　； (2)数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 　 　； (3)若数轴上有理数与对应的两点，之间的距离，则等于 　 　； (4)如图2，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为．若点在点，之间，则　 　；若，则　 　； 【答案】(1)5 (2) (3)或 (4)，或 【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为； （3）若数轴上有理数与对应的两点，之间的距离，则等于或； （4）若点在点，之间，则；若，则或； 【详解】（1）解：数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于， 故答案为； （2）解：数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为， 故答案为：； （3）解：，之间的距离， ∴ 解得等于或， 故答案为或； （4）解：若点在点，之间，则； 若，则或， 故答案为：，或； 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，涉及到数轴、代数式等知识，难度较大． 15．（17-18七年级·四川广安·期中）阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 【答案】(1)3，，x， (2)①5  ②或 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）①根据绝对值的意义化简计算即可； ②分，，，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为； 数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为, 故答案为：3，，x，． （2）①∵， ∴． ②当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴矛盾，不成立， 故或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值的特点和意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$