精品解析： 江苏省徐州市新沂市2023-2024学年八年级下学期期中抽测数学试题

2023~2024学年度第二学期期中抽测 八年级数学试题 本试卷共6页，全卷共140分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解某校英语教师的年龄状况 B. 了解我国春季人员流感率 C. 了解我市中学生近视率 D. 了解央视综合频道的收视率 3. 如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（ ） A. B. C. D. 4. 学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校2000名学生中随机抽取500名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 每一名学生的心理健康状况是个体 B. 2000名学生是总体 C. 500名学生是总体的一个样本 D. 500名学生是样本容量 5. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（   ） A. 等腰梯形                                  B. 矩形                                  C. 菱形                                  D. 正方形 6. 如图，能判定四边形是平行四边形是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 8. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为______． 10. 一个样本含有20个数据： 65 61 63 65 67 69 65 68 70 69 66 64 65 67 66 62 64 65 66 68 在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成________组． 11. 如图在矩形中，对角线与交于点，，，则________． 12. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含有红球”是______事件．（填“必然”或“不可能”） 13. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，是线段上的任意一点（点不与点，重合），过点作于点，于点，则__________． 14. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球． 15. 在菱形ABCD中，周长为20，对角线AC＝6，那么这个菱形的面积是_________. 16. 如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是_______． 17. 以正方形的边为一边作等边，则的度数是______． 18. 如图，在中，、、，P为边上一动点，于E，于F，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分） 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 345 560 700 发芽的频率 （1）完成上述表格： ， ； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值为 ； （3）如果这种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 21. 如图，E是正方形边延长线上的一点，且． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2． （2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标________； （3）已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标________； 四、解答题：（本大题共3小题，每题各8分，共24分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 23. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 24. 已知：如图，在正方形中，点、在上，且．求证：四边形是菱形． 25. 如图，、是四边形对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． （1）求证：线段、互相平分； （2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 五、解答题：（本大题共2小题，每题各10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 26. 在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD＝AF； （2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形 ADCF 为正方形； ②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形． 27. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中抽测 八年级数学试题 本试卷共6页，全卷共140分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解某校英语教师的年龄状况 B. 了解我国春季人员流感率 C. 了解我市中学生的近视率 D. 了解央视综合频道的收视率 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A项数据适中且需要的数据比较精确，适于普查，故符合要求； B、C、D项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了普查．解题的关键在于熟练掌握普查的适用条件． 3. 如下图将绕点顺时针旋转，得到（点落在外），若，，则旋转角度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转性质，直接利用已知得出的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．正确得出的度数是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点O顺时针旋转，得到， ∴最小旋转角为． 故选：C． 4. 学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校2000名学生中随机抽取500名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 每一名学生的心理健康状况是个体 B. 2000名学生是总体 C. 500名学生是总体的一个样本 D. 500名学生是样本容量 【答案】A 【解析】 【分析】根据个体、总体、样本、样本的容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】A. 每一名学生的心理健康状况是个体，故该选项正确，符合题意； B. 2000名学生的心理健康状况是总体，故该选项不正确，不符合题意； C. 500名学生心理健康状况是总体的一个样本，故该选项不正确，不符合题意； D. 500是样本容量，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了个体、总体、样本、样本的容量的定义，理解定义是解题的关键．(1)总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；(2)个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；(3)样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；（4）样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位． 5. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（   ） A. 等腰梯形                                  B. 矩形                                  C. 菱形                                  D. 正方形 【答案】B 【解析】 【详解】∵E，H是中点， ∴EH∥BD， 同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD， ∴EH∥FG，EF∥GH， 则四边形EFGH是平行四边形． 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴平行四边形EFGH是矩形． 故选B. 6. 如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意； C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键．利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可． 【详解】解：选项A中，矩形的对角线相等但不一定垂直，故该选项为假命题； 选项B中，菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，故该选项为假命题； 选项C中，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项为真命题； 选项D中，四个角都相等的四边形是矩形但不一定是正方形，故该选项为假命题； 故选：C． 8. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定． 【详解】A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意； B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意； C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意； D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】在平行四边形中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键． 10. 一个样本含有20个数据： 65 61 63 65 67 69 65 68 70 69 66 64 65 67 66 62 64 65 66 68 在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成________组． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是组数的计算，属于基础题，熟练掌握“组数极差组距”是解答本题的关键．根据组数计算公式列式计算，计算时应该注意，组数应为正整数，若计算得到的组数为小数，则应将小数部分进位． 【详解】解：∵， ∴应分成5组． 故答案为：5． 11. 如图在矩形中，对角线与交于点，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，然后求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：10． 12. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含有红球”是______事件．（填“必然”或“不可能”） 【答案】必然 【解析】 【分析】根据必然事件和不可能事件的概念进行判断即可．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：盒子中装有3个红球，2个黄球， 从中随机摸出3个小球，必定含有红球， 则事件“所摸3个球中必含红球”是必然事件， 故答案为：必然． 【点睛】本题考查了必然事件和不可能事件的概念，能区分必然事件和不可能事件是解题关键． 13. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，是线段上的任意一点（点不与点，重合），过点作于点，于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球． 【答案】20. 【解析】 【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【详解】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 设口袋中大约有个白球，则， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系． 15. 在菱形ABCD中，周长为20，对角线AC＝6，那么这个菱形的面积是_________. 【答案】24 【解析】 【分析】作出图形，根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理列式求出，然后求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，菱形的周长为20， 菱形的边长，， 对角线的长为6， ， 由勾股定理得，， ， 菱形的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的周长，菱形的对角线互相垂直平分的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据平行四边形的性质得出，，即可求出点D的坐标． 详解】解：∵点，点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的纵坐标为2，横坐标为， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，求出，． 17. 以正方形的边为一边作等边，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论；当点E在正方形内部，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；当点E在正方形的外部时， 根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点E在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点E在正方形的外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 18. 如图，在中，、、，P为边上一动点，于E，于F，连接，则的最小值为_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接PC， ∵AB=10cm、AC=8cm、BC=6cm， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠C=90°， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF=PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∴PC的最小值为：cm， ∴线段EF长的最小值为4.8cm． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，垂线段最短等知识．解题的关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分） 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴，即． ∴且． ∴四边形是平行四边形 20. 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 345 560 700 发芽的频率 （1）完成上述表格： ， ； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值为 ； （3）如果这种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】（1）136，； （2） （3）6300 【解析】 【分析】（1）利用数据占比=目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用样本占比等于总量占比进行估算即可． 【小问1详解】 ，； 故答案为：136；0.70 【小问2详解】 因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为0.70，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：0.70 【小问3详解】 （棵）， 答：在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 【点睛】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． 21. 如图，E是正方形边延长线上的一点，且． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质先求出，得出，根据等腰三角形的性质求出即可； （2）根据正方形的性质结合勾股定理求出，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，数形结合． 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2． （2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标________； （3）已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标________； 【答案】（1）见详解；（2）（0，2）；（3）（−1，0）或（−5，0） 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2； （2）连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心，进而即可得到坐标； （3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t＋3|×3＝3，然后解得P点坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作； （2）如图，△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，Q点的坐标为（0，2）， 故答案为（0，2）； （3）设P点坐标为（t，0）， ∵△ABP的面积为3， ∴×|t＋3|×3＝3，解得t1＝－1，t2＝－5， ∴P点坐标为（－1，0）或（－5，0）． 故答案为（－1，0）或（－5，0）． 【点睛】本题考查了图形与坐标−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 四、解答题：（本大题共3小题，每题各8分，共24分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 23. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示， 阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 24. 已知：如图，在正方形中，点、在上，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；连接交于O，由正方形的性质可得四边形是平行四边形；再证明，得，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接交于O， 正方形，，； ， ， 即； ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 四边形是菱形． 25. 如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． （1）求证：线段、互相平分； （2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． （1）连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形，根据菱形的性质定理证明即可． 【小问1详解】 证明：连接、、、， ∵点E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵点G、H分别是线段、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴线段、互相平分； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下：∵点G、F分别是线段、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 五、解答题：（本大题共2小题，每题各10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 26. 在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD＝AF； （2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形 ADCF 为正方形； ②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形． 【答案】（1）见解析；（2）①45；②30 【解析】 【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； (2)①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得∠DCF=90°，于是得到结论； ②根据平行四边形的性质得到CD=CF，推出△DCF是等边三角形，得到DF=BD，于是得到结论． 【详解】(1)∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， ∵AD=CD=BD， ∵点E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)， ∴AF=BD， ∴AD=AF； (2)①当∠ACB=45°时，四边形ADCF为正方形； ∵AD=AF， ∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是菱形， 要使四边形ADCF是正方形， 则∠DCF=90°， ∴∠ACD=∠ACF=45°； ②当∠ACB=30°时，四边形ABDF为菱形； 由(1)得AF=BD，AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， 要使四边形ABDF为菱形， ∴AB=BD， 又∵AD =BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∴∠ACB=30°． 故答案为：45，30． 【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 27. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中的结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 【答案】（1） （2）时，，仍然成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 时，，仍然成立，理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线． 在和中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$