3.1方程学案2024-2025学年沪科版（2024）七年级数学上册

3.1方程 一、概念 方程中文一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”。“方”意为并列，“程”意为用算筹表示竖式。 方程也叫方程式。是指含有未知数的等式。 1、方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式； 2、方程式是等式，但等式不一定是方程。 使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程或说明方程无解的过程称为“解方程”。 一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得﹣1分，不做得0分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 面对这个问题，我们需要逆向思考：某同学得了70分。 答对17题只能得68分；从题目中得知，所有题目都做了，如果答对的是17题，那么没有答对的就是8题；错一题得―1分，那总分只有60分。 所以至少还需要多对2题：答对19题；答对19题，得76分；有6题答错了，减去6分；总分70分。 经过这样思维过程，确定答案是C。 二、方程概念的运用 方程概念有两个要素：未知数和等式。 上面这道题中有未知数——做对题数；等式的产生需要有等量关系，题目中试题对错得分与总得分构成等量关系。 对一道题得4分，错一道得﹣1分： 假设做对题数是x，做对题得分4x； 做完全部25题，做对x题，做错的题就是25―x，得(25―x)(―1)分。 作对题得分和做错题得分加在一起是70分，即 4x +(25―x)(―1) = 70 这样，借用未知数，我们把上面的问题用算式表示出来。 4x +(25―x)(―1) = 70就是关于上面这个问题的方程或方程式。 通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。 用型和型机器生产同样的产品，已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，每台型机器比型机器一天多生产个产品，求每箱装多少个产品？ 题目中有两个等量关系： 一是每台型机器比型机器一天多生产个产品。设每箱装x个产品，则每台A型机器一天生产个产品，每台B型机器一天生产个产品。因此列出方程： ―=1 解方程求出的结果是每箱装的产品的个数。 另一个等量关系是每箱装产品个数是相同的。设型机器一天生产x个产品，则型机器一天生产个产品，由题意得， = 解方程求出的结果是型机器一天生产的产品个数。 三、方程的形式 1、根据未知数的个数及未知数的最大次数来划分： 方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。 “一元”指含一个未知数； “次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数的指数。而指数最高的项的指数，就是方程的次数。 方程4x +(25―x)(―1) = 70，有一个未知数，未知数的指数是1，这是一元一次方程。 甲队有x人，乙队有人，现在从乙队抽调人到甲队，使甲队人数正好是乙队人数的倍，根据题意，列出方程:x +3 = 2(―3)；等式中有两个未知数，每个未知数的指数都是1；这是一个二元一次方程。 单项式2x nm-n与单项式3x 32n的和是5x n2n 。求m、n的值。 单项式（2x nm-n）与单项式3x 32n是同类项，因此两项中x的指数和的指数是相等的： n = 3 m―n =2 n 两个等式，两个未知数，组成一个二元一次方程组。 2、根据数式的形式来分： 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。 某中学组织七年级学生春游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位若租用同样数量的座客车，则多出一辆客车，且其余客车恰好坐满已知座客车每日租金为每辆元，座客车每日租金为每辆元． 七年级有多少人原计划租用座客车多少辆 设原计划租用座客车x辆， 由题意得 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 某工厂甲乙两车间生产汽车零件，四月份甲乙两车间生产零件数之比是4：7，五月份甲车间提高生产效率，比四月份提高了25%，乙车间却比四月份少生产50个，这样五月份共生产1150个零件．求四月份甲乙两车间生产零件个数各多少个。 设甲、乙两车间生产零件个数各x、y个，根据题意得 = (x+25% x) + y―50 = 1150 这是一个二元一次方程组。而且第一个方程是一个分数方程。 练习： 1、一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，现由甲先做天，乙再加入一起做．设完成这项工程共需天，根据题意，可列方程为 。 2、整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则可列方程为 。 3、如图所示，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，且剪下的两个长条的面积相等问这个正方形的边长应为多少设正方形的边长为，则可列方程为 。 4、某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是 。 5、有甲、乙两个参加训练的排球选手，甲对乙说：“把你的备用球给我一个，我的球数就是你的球数的倍”。乙回答说：“最好还是把你的球给我一个，我们球数就一样了”。甲、乙的球数各是多少。 答案： 1、 += 1 2、 +（+3）= 1 3、 4、12=4 5、+ 1 = 2（―1） ―1 = + 1 学科网（北京）股份有限公司 $$