浙江省杭州市萧山区2023-2024学年七年级下学期月考数学试卷（5月份）

2023-2024学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）时间单位阿秒是目前已知的最小的时间单位，它是根据量子力学中的光子运动规律定义的，可以用来描述光子和其他微观粒子的运动和相互作用．已知1阿秒＝1×10﹣18，则60阿秒用科学记数法可表示为（　　） A．6×10﹣17 B．6×10﹣18 C．0.6×10﹣17 D．6×10﹣19 2．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．xy＝3 B．3x﹣y＝2z C． D． 3．（3分）如图，下列说法正确的是（　　） A．∠1和∠B是同位角 B．∠2和∠3是内错角 C．∠3和∠4是对顶角 D．∠B和∠4是同旁内角 4．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．﹣ax2+4ax﹣4a＝﹣a（x﹣2）2 C．x2+2xy+4y2＝（x+2y）2 D．﹣m2+n2＝（﹣m+n）（﹣m﹣n） 5．（3分）已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　） A．4 B．9x2 C．9x D．9 7．（3分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠1＝36°，则∠2的度数为（　　） A．36° B．54° C．82° D．72° 8．（3分）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有x只，则下列各值中x不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 9．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…．若250＝x用含x的式子表示；250+251+252+…+299+2100，结果是（　　） A．x2﹣2x B．2x2﹣2 C．2x2﹣x D．x2﹣2 10．（3分）如图，AB∥CD，PG平分∠FPE，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：　 　． 12．（3分）计算：＝　 　． 13．（3分）下表中每一对x，y的值都是二元一次方程ax﹣by＝2的一个解，则t的值为 　 　． x 1 ﹣2 3 … y 0 2 t … 14．（3分）已知，则分式的值为 　 　． 15．（3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝45°，∠BCE＝10°，则∠CEF的度数为 　 　． 16．（3分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“成功分解”．例如，因为575＝23×25，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”． （1）最小的“幸运数”是 　 　； （2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即M＝A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若能被9整除，则M的值为 　 　． 三.解答题（共8个小题，共72分） 17．（6分）如图，点P是∠ABC内一点． （1）过点P画直线a平行AB，画直线b平行于BC； （2）若∠ABC＝α°，请直接写出直线a，b的夹角度数． 18．（6分）先化简，然后从﹣1，1，﹣2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19．（8分）把下列各式分解因式： （1）16x2﹣1； （2）4a2+12ab+9b2； （3）﹣ab+2a2b﹣a3b； （4）（x2+4）2﹣16x2． 20．（8分）解方程或方程组 （1）； （2）． 21．（10分）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）＝　 　； （2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝　 　； （3）对于有理数x、y，若x+y＝10，x＝22，求的值． 22．（10分）如图，已知CD⊥AB，FH⊥AB，若∠FHC与∠EDC互补． （1）请判断DE与BC的位置关系？并说明理由； （2）若∠ADE＝2∠BHF，求∠DCB的度数． 23．（12分）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若a＝18，b＝30，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 24．（12分）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°． （1）若将三角尺△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，判断∠DFE与∠MFE的数量关系，并说明理由； （2）若将三角尺△DEF和三角尺△ABC如图②摆放，△DEF的顶点D恰好在直线PQ上，三角尺△ABC的一边在直线MN上，且边EF与边AC在同一直线上，作∠QDF和∠DFA的平分线交于点H，求∠DHF的度数； （3）若图②中三角尺△EDF固定，将三角尺△ABC绕点B逆时针旋转（如图③），旋转到边BC与直线MN首次重合时停止，在这旋转的过程中，请求出当三角尺△ABC的一边与三角尺△DEF的一边平行时∠ABN的度数． 2023-2024学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）月考数学试卷（5月份） 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：60阿秒＝60×10﹣18＝6×10﹣17（秒）， 故选：A． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．【分析】根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程”判断即可． 【解答】解：根据二元一次方程的定义，C是二元一次方程． 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程，掌握其定义是解题的关键． 3．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义及对顶角和邻补角的定义，结合图形进行判断即可． 【解答】解：A．∠1和∠B不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意； B．∠2和∠3是内错角，原说法正确，故此选项符合题意； C．∠3和∠4是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意； D．∠B和∠4不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角和邻补角的定义，理解同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提． 4．【分析】分别化简2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x）＝2ax（x﹣2），x2+2xy+4y2不是完全平方公式，﹣m2+n2＝﹣（m+n）（m﹣n），即可求解． 【解答】解：2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x）＝2ax（x﹣2）， x2+2xy+4y2不是完全平方公式， ﹣m2+n2＝﹣（m+n）（m﹣n）， 故选：B． 【点评】本题考查因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 5．【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：方程﹣＝5， 去分母得：3x﹣2y＝30， 移项得：﹣2y＝30﹣3x， 解得：y＝x﹣15， 故选：B． 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 6．【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：当■表示4时，＝，它的值与原分式的值相等，则A不符合题意； 当■表示9x2时，＝，它的值是原分式的值的4倍，则B不符合题意； 当■表示9x时，＝，它的值是原分式的值的2倍，则C符合题意； 当■表示9时，＝，它的值与原分式的值相等，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．【分析】由平行线的性质推出∠ADC＝∠1＝36°，∠2＝∠BDE，由折叠的性质得到∠ADB＝∠BDE，由邻补角的性质得到∠ADE＝144°，求出∠BDE＝∠ADE＝72°，即可得到∠2＝72°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ADC＝∠1＝36°，∠2＝∠BDE， 由折叠的性质得到：∠ADB＝∠BDE， ∵∠ADE＝180°＝36°＝144°， ∴∠BDE＝∠ADE＝72°， ∴∠2＝72°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠ADC＝∠1＝36°，∠2＝∠BDE，由折叠的性质得到∠ADB＝∠BDE． 8．【分析】设公鸡x只，母鸡y只，则小鸡（100﹣x﹣y）只，由题意可得5x+3y+＝100，即求7x+4y＝100的正整数解即可． 【解答】解：设公鸡x只，母鸡y只，则小鸡（100﹣x﹣y）只，由题意得， 5x+3y+＝100， 即7x+4y＝100， 由于x，y，100﹣x﹣y均为正整数， 所以方程7x+4y＝100的正整数解只有或或， 故选：D． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义，二元一次方程的正整数解的意义是正确解答的关键． 9．【分析】根据题中的等式，找到规律，再根据幂的运算法则求解． 【解答】解：∵：2+22＝23﹣2， 2+22+23＝24﹣2， 22+22+23+24＝25﹣2． …． ∴2+22+23+24+……+2n＝2n+1﹣2， ∴250+251+252+⋯⋯+299+2100 ＝2+22+……2100﹣（2+22+⋯⋯+249） ＝2101﹣2﹣（250﹣2） ＝2101﹣250 ＝2×（250）2﹣250 ＝2x2﹣x， 故选：C． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 10．【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°， ∴PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PH，故①正确； ∴AB∥CD∥PH， ∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 又∵PG平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确； ∵∠GPH与∠FPH不一定相等， ∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误： ∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG ＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG ＝∠A+∠PHG， ∵AB∥PH， ∴∠A+∠PHG＝180°， 即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，故④正确； ∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝∠GPH+∠GPH＝2∠GPH， ∴＝2为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．【分析】由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【解答】解：用三角尺和直尺画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 12．【分析】利用零指数幂，负整数指数幂计算即可． 【解答】解：原式＝1﹣＝， 故答案为：． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．【分析】将x＝1，y＝0和x＝﹣2，y＝2分别代入ax﹣by＝2，求出该二元一次方程；将x＝3，y＝t代入该二元一次方程，求出t的值即可． 【解答】解：将x＝1，y＝0和x＝﹣2，y＝2分别代入ax﹣by＝2， 得， 解得， ∴该二元一次方程是2x+3y＝2， 将x＝3，y＝t代入2x+3y＝2， 得6+3t＝2， 解得t＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 14．【分析】先由题意得x+y＝3xy，再将该代数式变形后整体代入求解． 【解答】解：∵＝＝3， ∴x+y＝3xy， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了分式加减运算和求分式值的能力，关键是能准确理解并运用对应知识和整体思想进行计算． 15．【分析】由平行线的性质推出∠BCD＝∠ABC＝45°，∠CEF+∠DCE＝180°，求出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝35°，即可得到∠CEF＝145°． 【解答】解：∵AB∥EF∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∠CEF+∠DCE＝180°， ∵∠BCE＝10°， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝35°， ∴∠CEF＝145°． 故答案为：145°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠ABC＝45°，∠CEF+∠DCE＝180°． 16．【分析】（1）根据“幸运数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为8﹣n，且m为1至9的自然数，从而可得A＝10m+n，B＝10m+8﹣n，再P（M）＝A+B＝20m+8，Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8，，根据A≥B，自然数M的个位数字不为0，以及Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8≠0，可得n为7或6或5，然后根据能被9整除，分别求出m、n的值，由此可得． 【解答】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，12×16＝192，13×15＝195，14×14＝196，当两个数的和一定时，差越大积越小， 所以根据“幸运数”的定义，可得最小的“幸运数”为M＝11×17＝187， 故答案为：187． （2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为（8﹣n），且m为1至9的自然数， ∴A＝10m+n，B＝10m+8﹣n， ∴P（M）＝A+B＝20m+8， Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8， ∵A≥B，自然数M的个位数字不为0， ∴n为7、6、5或者4． ∵Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8≠0， ∴n为7或6或5， ∴， ∵能被9整除． ∴当n＝7时， ＝， 即能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时A＝57，B＝51， M＝57×51＝2907； 当n＝6时， ， 即5m+2能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时A＝56，B＝52， M＝56×52＝2912； 当n＝5时， ， 即10m+4能被9整除，因为m为1至9的自然数， 满足条件的整数m只能是5． 此时A＝55，B＝53， M＝55×53＝2915； 故答案为：2907或2912或2915． 【点评】本题考查了整式加减的应用等知识点，正确理解“幸运数”的定义是解题关键． 三.解答题（共8个小题，共72分） 17．【分析】（1）把B点先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到格点M，则过点M、P的直线为直线a；把B点向上平移2个单位，则过点N、P的直线为直线b； （2）直线b交BA于E点，如图，根据平行线的性质，由BC∥b得到∠AEP＝∠ABC＝α°，然后由BA∥a得到∠NPM＝∠AEP＝α°，从而得到直线a，b的夹角度数． 【解答】解：（1）如图，直线a、b为所作； （2）直线b交BA于E点，如图， ∵BC∥b， ∴∠AEP＝∠ABC＝α°， ∵BA∥a， ∴∠NPM＝∠AEP＝α°， 即直线a，b的夹角度数为α°． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了对顶角、邻补角和平行线的性质． 18．【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件确定x＝﹣1，最后把x＝﹣1代入计算即可． 【解答】解：原式＝• ＝• ＝， ∵x﹣2≠0且x+2≠0且x﹣1≠0， ∴在﹣1，1，﹣2，2中x只能取﹣1， 当x＝﹣1时，原式＝＝﹣． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 19．【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4x+1）（4x﹣1）； （2）原式＝（2a+3b）2； （3）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2） ＝﹣ab（1﹣a）2； （4）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x） ＝（x+2）2（x﹣2）2． 【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）方程组整理得：， ②﹣①×2得：x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①得：﹣6+5y＝0， 解得：y＝， 则方程组的解为； （2）去分母得：x﹣2（x﹣3）＝3， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0， ∴x＝3是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 21．【分析】（1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则，可得x2﹣kxy+16y2，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简求值即可． 【解答】解：（1）根据新运算法则，可得： ＝12+（﹣1）2﹣2×3＝1+1﹣6＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）＝x2+（4y）2﹣kxy＝x2﹣kxy+16y2， ∵是一个完全平方式， ∴（x﹣4y）2＝x2﹣8xy+16y2，或（x+4y）2＝x2+8xy+16y2， ∴k＝8，或k＝﹣8 故答案为：8或﹣8； （3）∵x+y＝10，x＝22， ∴y＝﹣12， ∴ ＝（2x﹣y）2+y2﹣（3x﹣y）（x﹣y） ＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣（3x2﹣4xy+y2） ＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣3x2+4xy﹣y2 ＝x2+y2 ＝222+（﹣12）2 ＝628． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 22．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）结合平行线的性质、直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下： ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴∠CDB＝∠HFB＝90°， ∴CD∥FH， ∴∠FHC+∠HCD＝180°， ∵∠FHC与∠EDC互补， 即∠FHC+∠EDC＝180°， ∴∠EDC＝∠HCD， ∴DE∥BC； （2）∵CD∥FH，DE∥BC， ∴∠BHF＝∠DCB，∠ADE＝∠B， ∵∠ADE＝2∠BHF， ∴∠B＝2∠DCB， ∵∠CDB＝90°， ∴∠B+∠DCB＝90°， ∴∠DCB＝30°． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 23．【分析】（1）根据素材计算； （2）根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； （3）根据作差法求解． 【解答】解：任务1：＝27（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； （2）若加A种糖x千克，则＝27﹣1， 解得：x＝5， 经检验：x＝5是这个方程的解； 若加B种y千克，则＝27﹣1， 解得：y＝﹣10， 经检验：y＝﹣10是原分式方程的解，当时y＝﹣10不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； （3）甲糖的价格为：， 乙糖果的价格为：＝， ∴﹣＝≥0，只有当a＝b时取等号， ∴当a≠b时，甲种糖果的价格高，当a＝b时，两种糖果的价格一样． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和作差法是解题的关键． 24．【分析】（1）根据得ED平分∠PEF得∠PEF＝120°，再根据PQ∥MN得∠MFE＝60°，然后根据∠DFE＝30°即可得出∠DFE与∠MFE的数量关系； （2）过点H作HR∥PQ交DF于R，过点F作FL∥MN，设∠QDH＝α，∠HFL＝β，根据角平分线定义得∠QDH＝∠FDH＝α，∠QDF＝2∠QDH＝2α，证明PQ∥HR∥FL∥MN，则∠DHR＝∠QDH＝α，∠RHF＝∠HFL＝β，∠LFA＝∠BAC＝45°，∠QDF+∠DFL＝180°，进而得∠HFA＝β+45°，∠DHF＝α+β，再根据FH平分∠DFA得∠DFH＝∠HFA＝β+45°，则∠DFL＝∠DFH+∠HFL＝2β+45°，由此得2α+2β+45°＝180°，则α+β＝67.5°，由此可得∠DHF的度数； （3）设EF的延长线交MN于K，根据在原始状态下，边EF与边AC在同一直线上得∠EKB＝∠BAC＝45°，依题意有以下四种情况：①AC∥DE时，设AB交EF于点J，AC交EF于S，则∠ASJ＝∠DEF＝60°，根据三角形内角和定理得∠BJK＝∠AJS＝75°，进而可得∠ABN的度数；②当BC∥EF时，则∠CBN＝180°﹣∠EKB＝135°，再根据∠ABN＝∠CBN﹣∠ABC可得∠ABN的度数；③当AB∥DF时，沿DF交MN于T，则∠ABN＝∠FTK，根据三角形内角和定理得∠FTK＝180°﹣（∠EKB+∠TFK）＝105°，进而可得∠ABN的度数；④当AB∥EF时，则∠ABN+∠EKB＝180°，由此可得∠ABN的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∠DFE与∠MFE的数量关系是：∠DFE＝∠MFE，理由如下： ∵ED平分∠PEF， ∴∠PED＝∠DEF＝60°， ∴∠PEF＝∠PED+∠DEF＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°， ∵∠DFE＝30°， ∴∠DFE＝∠MFE； （2）过点H作HR∥PQ交DF于R，过点F作FL∥MN，如图2所示： 设∠QDH＝α，∠HFL＝β， ∵DH平分∠QDF， ∴∠QDH＝∠FDH＝α，∠QDF＝2∠QDH＝2α， ∵PQ∥MN，HR∥PQ，FL∥MN， ∴PQ∥HR∥FL∥MN， ∴∠DHR＝∠QDH＝α，∠RHF＝∠HFL＝β，∠LFA＝∠BAC＝45°，∠QDF+∠DFL＝180°， ∴∠HFA＝∠HFL+∠LFA＝β+45°， ∴∠DHF＝∠DHR+∠RHF＝α+β， ∵FH平分∠DFA， ∴∠DFH＝∠HFA＝β+45°， ∴∠DFL＝∠DFH+∠HFL＝β+45°+β＝2β+45°， ∴2α+2β+45°＝180°， ∴α+β＝67.5°， ∴∠DHF＝α+β＝67.5°； （3）设EF的延长线交MN于K， ∵在原始状态下，边EF与边AC在同一直线上， ∴∠EKB＝∠BAC＝45°， 依题意，在旋转的过程中，△ABC的一边与三角尺△DEF的一边平行时，有以下四种情况： ①AC∥DE时，设AB交EF于点J，AC交EF于S，如图3①所示： 则∠ASJ＝∠DEF＝60°， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠BJK＝∠AJS＝180°﹣（∠ASJ+∠BAC）＝180°﹣（60°+45°）＝75°， ∴∠ABN＝180°﹣（∠BJK+∠EKB）＝180°﹣（75°+45°）＝60°； ②当BC∥EF时，如图3②所示： 则∠CBN+∠EKB＝180°， ∵∠EKB＝45°， ∴∠CBN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABN＝∠CBN﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°； ③当AB∥DF时，沿DF交MN于T，如图3③所示： 则∠ABN＝∠FTK， ∵∠EKB＝45°，∠TFK＝∠DFE＝30°， ∴∠FTK＝180°﹣（∠EKB+∠TFK）＝180°﹣（45°+30°）＝105°， ∴∠ABN＝∠FTK＝105°； ④当AB∥EF时，如图3④所示： 则∠ABN+∠EKB＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°， 综上所述：∠ABN的度数为60°或90°或105°或135°． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，平行线的性质，三角形内角和定理，理解图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 学科网（北京）股份有限公司 $$