精品解析：青海省西宁市第五中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年第二学期高二年级期末数学试卷 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请把选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ） （参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） A. 17 B. 23 C. 90 D. 159 3. 将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为 A. B. C. D. 4. 长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么 A. B. C. D. 5. 在二项展开式中，常数项是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 6. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，4) D. (0，4) 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题 6 分，共计18分.每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中是错误命题的是（ ） A. 若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4]. B. 函数的单调递减区间是 C. 若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数. D. 、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数. 10. (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 11. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ） A. 变量x与y具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 去除后y的估计值增加速度变快 D. 去除后相应于样本点的残差为0.05 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________． 13. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 14. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 16. 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知，在与处都取得极值. （1）求实数，的值； （2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围. 18. 某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p. (1)求p(用m表示)； (2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p和m的值； (3)在(2)的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高二年级期末数学试卷 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请把选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式需被开方数大于等于零，可得选项. 【详解】函数，令，得，解得， 所以的定义域为，． 故选：B. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，熟练掌握常见函数的定义域是关键，属于基础题. 2. 某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ） （参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） A. 17 B. 23 C. 90 D. 159 【答案】D 【解析】 【分析】先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数. 【详解】由题得，， 所以， 所以， 所以用电量在210度以上的居民户数为． 【点睛】（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解. 3. 将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算. 4. 长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知， 利用条件概率的计算公式，可得，故选B. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 在二项展开式中，常数项是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项公式是， 当时，，，故C正确. 故选：C. 6. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，4) D. (0，4) 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的单调性解不等式． 【详解】∵函数是减函数， ∴由得，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的单调性，由单调性解函数不等式是基本方法． 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断为偶函数，排除，由，排除D，由时，，排除，可得. 【详解】因为，所以为偶函数，排除， 因为，排除D，因为当时，，所以排除， 故选：A 8. 已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，然后令，可得出关于的等式，求出的值，进而可求出函数的图象在点处的切线斜率 【详解】∵，∴，∴，解得，∴，因此，函数的图象在点处的切线斜率为 故选C 【点睛】本题考查函数的切线斜率的求解，考查计算能力，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题 6 分，共计18分.每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中是错误命题的是（ ） A. 若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4]. B. 函数的单调递减区间是 C. 若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数. D. 、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由于的定义域为[0，2]，则由可求出的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可 【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误； 对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误； 对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然， 所以C错误； 对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC 10. (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据超几何分布的定义可以得出答案. 【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 故选：ABD 11. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ） A. 变量x与y具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 去除后y的估计值增加速度变快 D. 去除后相应于样本点的残差为0.05 【答案】AB 【解析】 【分析】 A. 根据回归直线方程的x系数的正负判断.B. 根据去除前后样本点不变判断.C. 根据去除前后x的系数大小判断.D.根据残差的计算公式判断. 【详解】因为回归直线方程为，， 所以变量x与y具有正相关关系.故A正确. 当时，， 样本点为，去掉两个数据点和后，样本点还是， 又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2， 所以， 解得， 所以去除后的回归方程为，故B正确. 因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误. 因为， 所以，故D错误. 故选：AB 【点睛】本题主要考查回归分析的理解，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为. 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 14. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 【答案】0.087 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为 所以． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 连接EC，设与AC相交于点O，如图， 因为，且，， 所以四边形为矩形， 所以O为的中点，又因为G为PB的中点， 所以OG为的中位线，即， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面GAC，平面GAC，， 所以平面平面GAC. 【小问2详解】 因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，，因为， 所以两两互相垂直， 以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）79.325万 （2） 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 200 400 600 外地游客 100 300 400 合计 300 700 1000 ，能认为 【解析】 【分析】（1）计算出旅游费用支出不低于1500元的概率可得答案； （2）计算出，根据小概率值的独立性检验课做出判断. 【小问1详解】 因为， 所以旅游费用支出不低于1500元的概率为， 所以， 估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元； 【小问2详解】 假设：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联， 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 200 400 600 外地游客 100 300 400 合计 300 700 1000 ， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 17. 已知，在与处都取得极值. （1）求实数，的值； （2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）由题知，与是的两根，再利用韦达定理即可得解； （2）原问题可转化为；由（1）知，，令，则或，然后列表写出和随在，上的变化情况，求得最大值后，解关于的不等式即可. 【详解】解：（1），， 在与处都取得极值， 与是的两根，即， 解得，. （2）由（1）知，，， 令，则或， 和随在，上的变化情况如下表所示： ， ， ， 1 ， 0 0 极小值 极大值 ，极大值为（1）， 在，上的最大值为， 对任意，，都有成立， ，解得或. 故实数的取值范围为，，. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 18. 某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p. (1)求p(用m表示)； (2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p和m的值； (3)在(2)的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 【答案】(1)；(2)p，m的值分别为0.75，0.5；(3)48. 【解析】 【分析】(1)求出每位学生射击两次都不过关的概率，再利用对立事件的概率公式求解； (2)列出恰有9人通过射击过关测试的概率f(p)的表达式，利用导数求解而得； (3)列出一个大学生射击过关测试所得分数为随机变量X的分布列，再求出期望得解. 【详解】(1)每位大学生射击测试过关的概率： P＝1-(1-m)(1-0.5)＝0.5+0.5m. (2)f(p)=，(0<p<1)， ∴ ＝，(0<p<1)， 由=0，得p=0.75， 由>0，得0<p<0.75， 由<0，得0.75<p<1， ∴f(p)在(0，0.75)上是增函数，在(0.75，1)上是减函数， ∴p=0.75是f(p)的极大值点，也是f(p)的最大值点， 此时，由0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5. ∴f(p)取得最大值时，p，m的值分别为0.75，0.5. (3)设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X， 则X的可能取值分别为5，4，2， 则P(X=5)=0.5， P(X=4)=(1-0.5)0.5=0.25， P(X=2)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25， ∴一位大学生射击过关测试所得分数的平均数： E(X)=50.5+40.25+20.25=4， ∴该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为：124=48. 【点睛】某事件包含的情况较多，可以借助对立事件求出其概率，即“正难则反”. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，可得切线斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程. （2）求出导函数，把所求问题转化为在上有解，即有正零点，根据二次型函数零点分布列式求解即可. （3）由题意是的两个根，则，将所证不等式转化为，令，构造函数，综合导数的运用，求单调性和最值，即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根，则且， 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明，令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $