精品解析：青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 注意事项 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题需要用2B铅笔涂卡，如需改动，请用橡皮擦干净后再涂选其他答案标号，写在试卷上无效. 一、单选题（每题只有一个选项正确，每题5分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数乘法法则化简复数，然后根据几何意义得结论. 【详解】，对应点坐标为在第二象限， 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A 3. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【详解】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 4. 高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（ ）种. A. 6 B. 12 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】排列问题，捆绑法解决 【详解】先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有种排列方式， 再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有种排列方式， 总数为种 故选：C 5. 10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按由小到大重新排序，根据不是整数，则取第7位数． 【详解】先将数据按由小到大重新排序10，12，16，18，20，22，26，28，共8个数据，， 不是整数，所以第分位数是第7个数26. 故选：D 6. 某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，从中随机取出两个球，则两个球同色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型结合组合数运算化简求解. 【详解】两个球同色的概率是. 故选：A. 7. 某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（ ） A. 87.5 B. 85 C. 82.5 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】由中位数的定义，列出方程计算可得到结果. 【详解】成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 因为，， 所以中位数落在内， 设中位数为，则，解得， 故选：C. 8. 已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A. 171 B. 190 C. 342 D. 380 【答案】A 【解析】 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 二、多选题（每题至少有一个选项正确，每题6分） 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质可得的性质，故可得正确的选项. 【详解】因为，故，故A错误； 而，故不是偶函数，故B错误； 而， 故，故的图象关于点中心对称，故C正确； 设，则即， 故是上的增函数，故D正确； 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上有3个零点 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上既有极大值点，也有极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义验证是否成立，即可判断A；令，当时，求出的值，即可判断B；当时，令，构造函数，判断在上的单调性及的正负，即在上的正负，即可判断C；当时，令，构造函数，判断在上的单调性，及的值，再结合零点存在性定理，即可判断在上的零点个数，进而判断极值点的个数，即可判断D. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因为， 令，解得或. 当时，由解得；由解得或， 所以在上共有3个零点，故B正确； 对于C，， 当时，令，所以， 所以当时，函数单调递减，且，， 所以存在，使得，即在上有正有负， 所以在区间上不单调，故C错误； 对于D，因为， 当时，令，所以， 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增. 且，，， 所以，， 所以在上有两个变号零点，即在上有两个变号零点， 即在区间上既有极大值点，也有极小值点，故D正确. 故选：BD 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接令进行求解即可；对于B，可以将二项式转化为，然后再根据二项式定理的通式进行求解即可；对于C，先令求出，再令求出的值，由即可求出的值；对于D，首先分别令与后得到两个方程，然后通过联立方程进行求解即可. 【详解】对于A，令，得：，故A正确； 对于B，由 由二项式定理可得：，故B正确； 对于C，令，得：， 再令，得：， 由此可得：，故C错误； 对于D，令，得：， 再令，得：， 由此可得：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分） 12. 曲线在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数解析式求出的值，然后求出，再根据导数的几何意义求出切线斜率，进而利用点斜式求解切线方程. 【详解】已知，所以，得切点为. 又， 则切线斜率， 由此可得切线方程为，即：. 故答案为： 13. 已知随机变量服从二项分布且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式进行求解即可. 【详解】由题意可知，随机变量服从二项分布， 因为，可得：，解得：. 故答案为：. 14. 已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率， 得. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 西宁市第十四中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，共青团委员会的工作人员为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联.她随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析.并绘制了下列列联表. 喜欢烘焙社 不喜欢烘焙社 合计 男生 45 m 100 女生 n 35 100 合计 x y 200 （1）求m，n，x，y的值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 . 【答案】（1）； （2）能. 【解析】 【分析】（1）根据列表列式计算求解； （2）先设零假设再计算卡方与临界值比较判断. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 零假设：假设性别与喜欢烘焙社无关. ， 根据小概率值的独立性检验，可认为零假设不成立. 故认为性别与喜欢烘焙社有关. 16. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【答案】（1）单调递减为和，单调递增为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导数符号即可得单调区间； （2）分离参数，结合函数单调性、极值情况即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 所以在和上单调递减；在上单调递增； 【小问2详解】 原方程等价于， ， 时，，时，， 所以x轴和y轴均为的渐近线， ①当时，方程没有根； ②当时，方程有一个根； ③当时，方程有两个根； ④当时，方程有三个根. 17. 传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 11 13 18 21 27 （1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； （2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望． 参考公式： 对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】（1），年 （2）分布列见解析，期望. 【解析】 【分析】（1）利用给定的数据求出相关量，再利用最小二乘法求出回归直线方程，解不等式估算即可. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程， 依题意，，， ，， 因此，， 则关于的线性回归方程为， 令，解得，，取， 所以该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆． 【小问2详解】 依题意，按1:3分层抽样知，12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车， 所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 期望. 18. 已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. （1）求的值，并求二项式系数的最大值； （2）求第四项的二项式系数与系数； （3）的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 【答案】（1），最大值为 （2）二项式系数：，系数： （3）第项的系数最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值； （2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可； （3）首先由，得：，进而可知时，，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值. 【小问1详解】 记展开式的第项为的二项式系数为， 因为第三项二项式系数与第九项的二项式系数相等， 即，故 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为 【小问2详解】 ，故， 所以第四项的二项式系数为， 系数为. 【小问3详解】 因为，故 因为，令， 得： 因为是正整数，故时，； 时，. 所以第8项的系数最大，最大值为. 19. 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求出甲得0~3分概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率. 【小问1详解】 由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. 【小问2详解】 由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 注意事项 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题需要用2B铅笔涂卡，如需改动，请用橡皮擦干净后再涂选其他答案标号，写在试卷上无效. 一、单选题（每题只有一个选项正确，每题5分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的极小值是（ ） A. B. C. D. 4. 高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（ ）种. A. 6 B. 12 C. 36 D. 72 5. 10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（ ） A 22 B. 24 C. 25 D. 26 6. 某不透明的袋子中装有质地、大小相同的黑球5个，红球3个，从中随机取出两个球，则两个球同色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（ ） A 87.5 B. 85 C. 82.5 D. 80 8. 已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A. 171 B. 190 C. 342 D. 380 二、多选题（每题至少有一个选项正确，每题6分） 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上有3个零点 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上既有极大值点，也有极小值点 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分） 12. 曲线在点处的切线方程是______. 13. 已知随机变量服从二项分布且，则______. 14. 已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 西宁市第十四中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，共青团委员会的工作人员为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联.她随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析.并绘制了下列列联表. 喜欢烘焙社 不喜欢烘焙社 合计 男生 45 m 100 女生 n 35 100 合计 x y 200 （1）求m，n，x，y的值； （2）根据小概率值独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？ 附： 0.15 0.10 005 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 . 16. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）分析关于的方程的根的个数并说明理由. 17. 传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 11 13 18 21 27 （1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； （2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望． 参考公式： 对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 18. 已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. （1）求的值，并求二项式系数的最大值； （2）求第四项的二项式系数与系数； （3）的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 19. 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$