专题01 数与式（真题11个考点+模拟17个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题01 数与式(真题11个考点+模拟17个考点） 一．正负数的意义（共1小题） 1．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 二．绝对值的意义（共1小题） 2．（2021·安徽·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 三．求一个数的平方根和立方根（共2小题） 3．（2020·安徽·中考真题）计算： ． 4．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 四．代数式有意义的条件（共1小题） 5．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 五．无理数的大小估算（共1小题） 6．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 六．实数的大小比较（共2小题） 7．（2020·安徽·中考真题）下列各数中比小的数是（  ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 七．幂的运算（共5小题） 9．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 12．（2021·安徽·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 13．（2020·安徽·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 八．用科学计数法表示绝对值大于1的数（共5小题） 14．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 15．（2022·安徽·中考真题）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 16．（2021·安徽·中考真题）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（    ） A．89.9×106 B．8.99×107 C．8.99×108 D．0.899×109 17．（2020·安徽·中考真题）安徽省计划到2022年建成亩高标准农田，其中用科学记数法表示为（  ） A．0.547 B． C． D． 18．（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ． 九．实数的混合运算（共2小题） 19．（2021·安徽·中考真题）计算： ． 20．（2022·安徽·中考真题）计算：． 十．数字类规律探索（共3小题） 21．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 22．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 十一．图形类规律探索（共1小题） 24．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 一．正负数的意义（共4小题） 1．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2024·安徽六安·三模）下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）下列各数中，为负数的是（　　） A． B． C．0 D． 4．（2024·安徽宿州·一模）下列各数中，负数是（   ） A． B． C． D． 二．相反数的意义（共5小题） 5．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．（2024·安徽合肥·二模）的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 7．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 8．（2024·安徽合肥·一模）的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 9．（2024·安徽阜阳·一模）的相反数是（    ） A．4 B． C． D． 三．绝对值的意义（共4小题） 10．（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 11．（2024·安徽蚌埠·一模）的绝对值是（　　） A．5 B． C． D． 12．（2024·安徽滁州·一模）的绝对值等于（    ） A． B．2024 C． D． 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个实数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．0.6 D． 四．有理数的大小比较（共7小题） 14．（2024·安徽六安·模拟预测）下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）在实数1，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 16．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C．1 D．3 17．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 18．（2024·安徽淮北·三模）下列四个实数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 19．（2024·安徽马鞍山·三模）在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．4 20．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 五．用科学计数法表示绝对值大于1的数（共6小题） 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 22．（2024·安徽合肥·三模）2024年清明假期，“民俗文化”和“赏花踏春”引领的祭先烈祭英烈清明出行．根据文化和旅游部门统计，清明小长假全国出行人数达到亿人，将亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 23．（2024·安徽芜湖·三模）水是生命之源，节约用水是一种美德．一个人每天少浪费一滴水，全国一年就可以节约2445万升水，这些水可供9万人使用一年．数据2445万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·安徽阜阳·三模）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）大鹏一日同风起，扶摇直上九万里．国产大飞机自年月日开启首次商业航线以来，截至年月日，东航机队累计执飞商业航班共计班，累计商业运行小时，运输旅客约人次，其中数据用科学记数法表示为 ． 26．（2024·安徽淮北·三模）据统计，人工智能ChatGPT用户数量已超过17.6亿，其中17.6亿用科学记数法表示为 ． 六．用科学计数法表示绝对值小于1的数（共2小题） 27．（2024·安徽滁州·模拟预测）我国自主研发生产的电子芯片涵盖了手机、通信、人工智能等多个领域，某种芯片面积大约为．其中数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·安徽合肥·三模）纳米氧化锌应用于红外线检测，能有效吸收雷达波，应用于新型的隐身材料，其直径仅有20纳米，已知1纳米米，那么20纳米转化为米做单位，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 七．有理数的运算（共3小题） 29．（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 30．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 31．（2024·安徽合肥·一模）计算：． 八．求一个数的平方根（共2小题） 32．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 九．求一个数的立方根（共2小题） 34．（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 35．（2024·安徽合肥·一模）计算： 一十．幂的运算（共6小题） 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 37．（2024·安徽滁州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·安徽合肥·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2024·安徽合肥·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽六安·三模）下列计算错误的是（      ） A． B． C． D． 41．（2024·安徽合肥·三模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 一十一．实数的混合运算（共6小题） 42．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 43．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 44．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 45．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 46．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 47．（2024·安徽滁州·三模）计算：． 一十二．因式分解（共2小题） 48．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·安徽滁州·二模）下列因式分解正确的是（      ） A． B． C． D． 一十三．因式分解的应用（共2小题） 50．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 51．（2024·安徽池州·三模）已知非零实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 一十四．分式有意义的条件（共3小题） 52．（2024·安徽六安·三模）函数     自变量的取值范围为 ； 53．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 54．（2024·安徽·二模）函数的自变量的取值范围是 ． 一十五．分式化简（共4小题） 55．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 56．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中 57．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 58．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． 一十六．数字类规律探索（共4小题） 59．（2024·安徽亳州·二模）某同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是时，输出的数据是（    ） 输入 … … 输出 … … A． B． C． D． 60．（2024·安徽合肥·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)请写出第6个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 61．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为．    (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 62．（2024·安徽六安·二模）已知，实数（为正整数）满足： …… 则： ①_________ ②___________ ③__________ 一十七．图形类规律探索（共4小题） 63．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 64．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 65．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 66．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式(真题11个考点+模拟17个考点） 一．正负数的意义（共1小题） 1．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 二．绝对值的意义（共1小题） 2．（2021·安徽·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可 【详解】解：的绝对值是：9 故选:A 【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解定义是关键，熟记负数的绝对值是它的相反数是重点 三．求一个数的平方根和立方根（共2小题） 3．（2020·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根；先利用算术平方根的定义化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 4．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 四．代数式有意义的条件（共1小题） 5．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件． 五．无理数的大小估算（共1小题） 6．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】1 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 六．实数的大小比较（共2小题） 7．（2020·安徽·中考真题）下列各数中比小的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3． 【详解】∵|-3|=3，|-1|=1， 又0＜1＜2＜3， ∴-3＜-2， 所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 8．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 七．幂的运算（共5小题） 9．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 10．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 11．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意； B．，符合题意； C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意； D．，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键． 12．（2021·安徽·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，正确使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加是关键 13．（2020·安徽·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题考查的是乘方符号的处理，考查同底数幂的除法运算，掌握以上知识是解题的关键． 八．用科学计数法表示绝对值大于1的数（共5小题） 14．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 15．（2022·安徽·中考真题）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将万写成，保留1位整数，写成的形式即可，n为正整数． 【详解】解：万，保留1位整数为，小数点向左移动7位， 因此， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握中a的取值范围和n的取值方法是解题的关键． 16．（2021·安徽·中考真题）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（    ） A．89.9×106 B．8.99×107 C．8.99×108 D．0.899×109 【答案】B 【分析】将8990万还原为89900000后，直接利用科学记数法的定义即可求解． 【详解】解：8990万=89900000=， 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义及其应用，解决本题的关键是牢记其概念和公式，本题易错点是含有单位“万”，学生在转化时容易出现错误． 17．（2020·安徽·中考真题）安徽省计划到2022年建成亩高标准农田，其中用科学记数法表示为（  ） A．0.547 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示方法对数值进行表示即可． 【详解】解：54700000=5.47×107， 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 18．（2023·安徽·中考真题）据统计，年第一季度安徽省采矿业实现利润总额亿元，其中亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 九．实数的混合运算（共2小题） 19．（2021·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】先算算术平方根以及零指数幂，再算加法，即可． 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根以及零指数幂是解题的关键． 20．（2022·安徽·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果． 【详解】 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂，二次根式的化简和乘方的意义是解本题的关键． 十．数字类规律探索（共3小题） 21．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 22．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 十一．图形类规律探索（共1小题） 24．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 一．正负数的意义（共4小题） 1．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可． 【详解】解：A．是正数，不符合题意；     B．是正数，不符合题意；     C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．是负数，符合题意； 故选：D． 2．（2024·安徽六安·三模）下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查负数的认识，根据负数的定义判断即可． 【详解】 B，C均为正数 0既不是正数也不是负数， 是负数 故选：D． 3．（2024·安徽·模拟预测）下列各数中，为负数的是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可． 【详解】解：A．是正数，不符合题意；     B．是正数，不符合题意；     C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．是负数，符合题意； 故选：D． 4．（2024·安徽宿州·一模）下列各数中，负数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查正负数，零指数幂，乘方运算，以及化简多重符号和绝对值，先计算各数，根据负数是小于0的数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是负数的是； 故选D． 二．相反数的意义（共5小题） 5．（2024·安徽安庆·三模）已知代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先根据代数式和的值互为相反数，建立分式方程，然后 解分式方程的步骤进行解方程，注意要验根，即可作答． 【详解】解：根据题意，， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故x的值为． 故选：A． 6．（2024·安徽合肥·二模）的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是相反数，掌握其定义是解决此题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可； 【详解】解：的相反数是4． 故选：B． 7．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的判断和定义，根据相反数的判断和定义得出答案即可，理解“和为零的两数互为相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵与数4的和等于0， ∴该数是4的相反数，即为， 故选：B． 8．（2024·安徽合肥·一模）的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【详解】解： ∴的相反数是 故选：A 9．（2024·安徽阜阳·一模）的相反数是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查相反数的概念．根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”进行解答． 【详解】 解：的相反数是4， 故选：A． 三．绝对值的意义（共4小题） 10．（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据是正数，正数的绝对值是它本身，即可作答． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 11．（2024·安徽蚌埠·一模）的绝对值是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 12．（2024·安徽滁州·一模）的绝对值等于（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，据此即可作答． 【详解】解：的绝对值等于2024， 故选：B 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列四个实数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．0.6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小的比较问题，求一个数的绝对值，其中对于无理数的大小比较是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴绝对值最小的数是0， 故选B． 四．有理数的大小比较（共7小题） 14．（2024·安徽六安·模拟预测）下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于小于正数，排除B、C选项，结合负数的绝对值越大的数反而越小，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴排除B、C选项， ∵， ∴比小， 故选：A． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）在实数1，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据正数大于0，负数小于0，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B ． 16．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴在，，，四个数中，绝对值最大的数是． 故选：． 17．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据题意求出各个选项的绝对值，即可得；解题的关键是掌握绝对值． 【详解】解：A、，选项说法正确，符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、0的绝对值是0，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 18．（2024·安徽淮北·三模）下列四个实数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，实数的大小比较．熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 根据实数的大小比较求解作答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 19．（2024·安徽马鞍山·三模）在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴其中最小的数是， 故选：A． 20．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 五．用科学计数法表示绝对值大于1的数（共6小题） 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数绝对值小于1时，是负数．由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1150万． 故选：D． 22．（2024·安徽合肥·三模）2024年清明假期，“民俗文化”和“赏花踏春”引领的祭先烈祭英烈清明出行．根据文化和旅游部门统计，清明小长假全国出行人数达到亿人，将亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 23．（2024·安徽芜湖·三模）水是生命之源，节约用水是一种美德．一个人每天少浪费一滴水，全国一年就可以节约2445万升水，这些水可供9万人使用一年．数据2445万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2445万， 故选：C． 24．（2024·安徽阜阳·三模）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将384000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 25．（2024·安徽合肥·模拟预测）大鹏一日同风起，扶摇直上九万里．国产大飞机自年月日开启首次商业航线以来，截至年月日，东航机队累计执飞商业航班共计班，累计商业运行小时，运输旅客约人次，其中数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（2024·安徽淮北·三模）据统计，人工智能ChatGPT用户数量已超过17.6亿，其中17.6亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指把一个数写成 (其中，为整数)的形式，根据定义，将原数用科学记数法表示即可． 【详解】解：17.6亿． 故答案为：． 六．用科学计数法表示绝对值小于1的数（共2小题） 27．（2024·安徽滁州·模拟预测）我国自主研发生产的电子芯片涵盖了手机、通信、人工智能等多个领域，某种芯片面积大约为．其中数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，对于绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数不同的是其所用的是负指数幂，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题关键． 【详解】解： 故选A． 28．（2024·安徽合肥·三模）纳米氧化锌应用于红外线检测，能有效吸收雷达波，应用于新型的隐身材料，其直径仅有20纳米，已知1纳米米，那么20纳米转化为米做单位，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键. 【详解】解：由题意得 20纳米 ； 故选：A． 七．有理数的运算（共3小题） 29．（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行运算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B． 30．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据，再计算有理数加减即可． 【详解】原式． 故答案为：3． 31．（2024·安徽合肥·一模）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了实数的混合运算，先进行有理数的乘方，负整数次幂和化简绝对值，再计算乘法，最后加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 八．求一个数的平方根（共2小题） 32．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根，先计算零指数幂、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和零指数幂，先计算零指数幂和算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 九．求一个数的立方根（共2小题） 34．（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 35．（2024·安徽合肥·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根的定义运算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 一十．幂的运算（共6小题） 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项和幂的乘方与积的乘方法则进行逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能进行合并，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 37．（2024·安徽滁州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及完全平方公式，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 38．（2024·安徽合肥·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的运算，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的运算法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、计算正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意． 故选B． 39．（2024·安徽合肥·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法． 【详解】解： ， 故选：D． 40．（2024·安徽六安·三模）下列计算错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项进行判断． 【详解】A．，选项正确，不符合题意； B．，选项正确，不符合题意； C．，选项错误，符合题意； D．，选项正确，不符合题意． 故选：C． 41．（2024·安徽合肥·三模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断． 【详解】解：A、，原分解错误，本选项不符合题意； B、，原分解错误，本选项不符合题意； C、，，原分解错误，本选项不符合题意； D、，原分解正确，本选项符合题意； 故选：D． 一十一．实数的混合运算（共6小题） 42．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算二次根式、负整数指数幂和平方，再计算加减． 【详解】解： ． 43．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】7 【分析】题目主要考查实数的混合运算，零次幂、求算术平方根、绝对值化简，特殊角的三角函数，根据这几个运算先计算，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 44．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式，零次幂以及特殊的三角函数值，熟练掌握计算法则是解题的关键．根据计算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 45．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，算出各项，再加减，即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 46．（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算立方根、零指数幂，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 47．（2024·安徽滁州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算，即可求解． 【详解】解： ． 一十二．因式分解（共2小题） 48．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，将各项进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项分解正确； B、，原选项分解正确； C、，原选项分解错误； D、，原选项分解正确； 故选C． 49．（2024·安徽滁州·二模）下列因式分解正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是因式分解的概念．根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 一十三．因式分解的应用（共2小题） 50．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论正确，符合题意； 故选：D． 51．（2024·安徽池州·三模）已知非零实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式，非负数的性质进行变形求解即可． 【详解】∵非零实数a，b，c满足， ∴， ∴ ，故选项A不正确； 同理可得， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B不正确； ∵a，b，c均为非零实数，， ∴， ∴， 故选项D不正确． 故选：C 一十四．分式有意义的条件（共3小题） 52．（2024·安徽六安·三模）函数     自变量的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键．根据分母不能为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 53．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 54．（2024·安徽·二模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，确保分式有意义，二次根式有意义，是解题的关键．根据分式有意义的条件，得，根据二次根式有意义的条件，得，综合计算即可． 【详解】解：∵的分母不为零， ∴， ∵是二次根式，必须有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 一十五．分式化简（共4小题） 55．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法，掌握先把分式的分子、分母分解因式，转化除法为乘法进行约分是解题的关键． 【详解】解： ， 故选D． 56．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式 57．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解，分母有理化等知识．熟练掌握分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化是解题的关键． 先利用完全平方公式进行因式分解，然后计算乘法，最后进行减法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ； 将代入得，原式． 58．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 一十六．数字类规律探索（共4小题） 59．（2024·安徽亳州·二模）某同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是时，输出的数据是（    ） 输入 … … 输出 … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式中的数字规律，输出数的分子就是输入数，输出数的分母是输入数的平方加上，用规律完成计算即可，正确分析分子，分母与序号之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵输出数的分子就是输入数，输出数的分母是输入数的平方加上， ∴第个分数是， 故选：． 60．（2024·安徽合肥·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)请写出第6个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键． （1）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母、分子之间的关系发现：等式中分母为，等号左边分数分子为，等号右边分数分子为，即可解答； （2）左右两边分别计算，即可证明； 【详解】（1）解：将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母、分子之间的关系发现：等式中分母为，等号左边分数分子为，等号右边分数分子为， 故第n个等式为， 故第6个等式为， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：等式左边为， 等式右边为， 等式左边等于等式右边， 等式成立． 61．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为．    (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)45， (2)有66这个数，是第11个数，理由见解析． 【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程： （1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到的值； （2）当时，得一元二次方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ， ， ， …， ∴， ∴当时，， 故答案为：45；； （2）解：当时，即：， 整理得， 解得，（舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时． 62．（2024·安徽六安·二模）已知，实数（为正整数）满足： …… 则： ①_________ ②___________ ③__________ 【答案】①；②③ 【分析】①根据规律即可得出答案； ②根据，可得答案； ③根据②中的结果，可以计算出所求式子的值． 本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：① ， ； 故答案为：； ②， ， 即； 故答案为：； ③ ． 故答案为：． 一十七．图形类规律探索（共4小题） 63．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 64．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35；（2）；（3）该物体在第次测量时移动了195米 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图得出规律即可解答； （2）根据图得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解； 【详解】解：（1）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图⑤中共有个小正方形． 故答案为：35； （2）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图n中共有个小正方形． 故答案为：； （3）由题意得， 整理得，， 解得（舍去）， ． 答：该物体在第次测量时移动了195米． 65．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 【答案】(1)12， (2)1011 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知得出第个图形和第个图形的等边三角形的个数即可填表； （2）由（1）中的规律并结合题意得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， …， 第个图形有个等边三角形，第个图形有个等边三角形， 故填表为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 12 … （2）解：由题意得：， 解得 答：的值为1011． 66．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)10，27 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律． （1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可； （2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， …， ∴图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∴图4中有个“△”，图5中有个“★”； （2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∵设图中有个“△”，个“★”， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$