专题10 锐角三角函数（4大考点22题）（上海专用）2026年中考数学二模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数(4大考点22题) ☆4大考点概览 考点01正弦、余弦和正切 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形的应用 考点04解直角三角形 9考点1 正弦、余弦和正切 一、 填空题 1.(2026上海闵行·二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好 AE 8 落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F,连接BF,如果AB15,那么 ∠FBE的正切值是 D 0 【答案】23 【分析】如图，过点F作FG⊥BC于点G,设AE=8x,AB=15x,得到BE=BA+AE=23x,利用勾股 定理表示出BC=AD=VAE+DE=17x,设FE=y,证明出 t△FGC≌Rt△FDC(HL) 得到 GC=CD=15x,利用勾股定理得到FE=10x,进而求解即可. 【详解】解：如图，过点F作FG⊥BC于点G F E D B G 1/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE8 :AB15 .设AE=8x,AB=15x ·BE=BA+AE=23x ,四边形ABCD是平行四边形 ..CD=AB=15x,AB//CD,BC=AD 根据题意得，DE=CD=15.x,∠CDE=90° .∠AFE=∠AED=90° BC=AD=A+DE=17x 设FE=y ,FG⊥BC,FC平分∠BCD FG=FD=FE+DE=y+15x 又：∠FGC=LFDC=90°，FC=FC RtAFGCS≌RtAFDC(HL) ∴.GC=CD=15x ·.BG=BC-GC=2x BG+FG-BF2=BE+FE (2x+0+15x=(23x}+y .y=10x ..FE=10x .∠AFE=90° tan∠FBE=FE-10x_10 BE23x23 10 ∠FBE的正切值是23： 二、解答题 2.(2026上海青浦二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，点D在BC边上，∠CAD=30°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且C-5 D (I)求线段BD的长： (②)求sin/BAD的值. 【答案】a)5-1 √6-V2 (2)4 【分析】(I)先得到△ABC为等腰直角三角形，再解Rt△ACD即可： (②)过点D作DMIB于点M,分别解 t△BMD,Rt△ACD DM,AD ，求出 ,再由正弦的定义求解即可. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°， A4BC AC=BC=3 为等腰直角三角形， .·∠CAD=30° CD=ACx tan∠CAD=V3xtan30°=1 BD=BC-CD=3-1 (2)解：过点D作DM⊥AB于点M, B .∠B=45°， :DM=BD×snB-(5-小k2-6-迈 22 3/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=90°，∠CAD=30°4C=V5 AD=- AC 5 =2 cos∠CAD cos.30° .在Rt△ADM中， sim∠BAD=DM=V6-5 AD 4 3.(2026上海崇明二模)如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，AC为⊙0的弦，且 8,点D为C的中点，连接OD,交1C于点E,DE=2. AC=8 E )求⊙0的半径： (2)连接BE,求cos∠BEO的值、 【答案】1)5 3W13 (2)13 【分折行1山根据季径完理得到ODL4C:E=CE=4C=4,设04-OD=r则 OE=OD-DE=r-2,利用勾股定理求出r=5,即可得到答案： (2)证明OE∥BC,得到 ∠BEO=∠CB ,求出BC=6.BE=2 即可求得答案。 【详解】（山解：“点D为C的中点， 六.OD⊥AC, AE=CB号4C=4 设OA=OD=r,则OE=OD-DE=r-2, .OA2=OE2+AE2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 r2=(r-2)2+42 解得r=5, ⊙0的半径为5： (②解：如图，由山)得01=0B=5,∠4B0=90,CE=4C=4, 21 .AB=10 :AB是OO的直径， ∠C=90°， ∴.∠AEO=∠C, ,OE‖BC .∠BEO=∠CBE, 在Rt△ACB中， BC=AB2-AC2=6 BE =CE+BC2=213 ∴.cos∠BEO=cos∠CBE= BC 6 313 BE2√1313. 4.(2026上海奉贤·二模)在平面直角坐标系x0y中（如图），正比例函数y=2x的图像与反比例函数 y=x>0)的图像相交于点A化，m): 5/30 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3 2 -1 5+43-2-10 2 3 45x 2 3 (1)求反比例函数的表达式： ②如果将正比例函数y=2x的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数"-(x>0)图 像相交于点B,求∠ABO的余弦值. 2 【答案】)y= V10 2)∠ABO的余弦值为10 【分析】(1)先求得 A02), 再利用待定系数法求解即可： 3 (2)利用平移的性质求得平移后函数的表达式为y=2x-3,联立求得点B(2,1),再求得S40=2,作 AD⊥OB于点D,求得△OAB各边的长以及OB边上的高，据此求解即可. (1,n) 【详解】(4)解：：正比例函数'=2x的图像经过点 .n=2, (1,2) 点 :反比例函数y=(x>0)的图像经过点AL,2), X .k=1×2=2 ∴反比例函数的表达式为y= x: (2)解：将正比例函数y=2x的图像向下平移3个单位，则平移后函数的表达式为y=2x-3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 联立得23 2 解得x=2或x=-} 2 当x=2时，y=1, 点 (2,1) 设直线AB交x轴于点C,直线AB的表达式为y=ar+b, a+b=2 .2a+b=1, a=-1 解得b=3, .直线AB的表达式为y=-x+3, 令y=0,则-x+3=0, 解得x=3, C(3,0) 点 SAOB =S.40C-SB0C-2x3x2 7×3x1=3 2 21 作AD LOB于点D, 0B=V2+P=V504=2+P=5AB=V2-+(2-=2 3 .S△A0B= -xOBX AD= 2 D36 5, 7130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OD=04-AD 45 BD=OB-OD-5 , √5 的余弦值-BD5-O ∠ABO AB 2 10 5.(2026上海黄浦二模)如图，D、E是△ABC边AC、AB上的点，BD、CE交于点G.已知 DG EG 1 BGCG2· E D AD )求AC的值： (②)如果AB=AC,∠BCE=∠A,求tan∠ABC的值. 1 【答案】1)2 g吟 DE DG 1 【分析】(1)如图：连接DE,证明ADGEABGC可得∠GDE=∠GBC,BCBG2,再证明 △ADE∽△ACB,最后利用相似三角形的性质列比例式即可解答： (2②)由(L)知DEC,利用平行线分线段成比刻以及线段的和差可得BE-B ，利用等边对等角可 BE BC BC- -AB 得∠ABC=∠ACB,易证△BCE△BAC可得BCAB，,进而得到 2 ;如图：过点A作 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 it= 4AB AH= 4 -AB AH⊥BC于点H.利用等腰三角形三线合一的性质、勾股定理进而得 最后 根据正切的定义求解即可。 【详解】(1)解：如图：连接DE, B DG EG 1 :BG-CG2:LDGE=∠BGC ∴.△DGEABGC, DE DG 1 :.∠GDE=∠GBC，BC BG-2 DE∥BC, .△ADE∽A△ACB」 AD DE 1 ∴.ACBC2· (2)解：由(1)知DE∥BC, AE AD 1 ABAC2’ :B距=AB-AE= .AB=AC, .∠ABC=∠ACB 在△BCE和△ACB中，∠BCE=∠A,∠CBE=∠ACB, .△3CEA△BAC BE BC ·BCAB, ac=8E=4404 BC=2 AB ,即1 9/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图：过点A作AH⊥BC于点H, D B H .AB=AC. BH-1BC-1A B= AB 2 22 4 AH =AB2 -BH2 (2 14 AB 4 AB v14 AB :tan∠ABC= AH 4 =√7 BH 4 2 6. (2026上海宝山二模)如图，在平面直角坐标系xO中，反比例函数'=元与直线y=x+k交于点 A(1,n) 、点B,点C和点A关于原点对称. 2H -3-2-10123六 -2 -3引 (I)求k与n的值： (②)求tan∠BAC的值. 【答案】I)k=1,n=2 )3 【分析】(1)由待定系数法求解即可： 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)先联立一次函数与反比例函数的解析式求解点B,然后由关于原点对称的点的坐标特征求解点C, 再根据勾股定理及其逆定理证明△ABC是直角三角形，最后根据正切的定义求解， 【f解】四解，由短意得，把4化网代入=子得.n子-2， 1 :402) 把402 f代入y=x+k,则2=1+k 解得k=1; (2)解：由(1)知一次函数解析式为y=x+1, y=x+1 2 .y=- x =-2,x2=1 解得 B(-2,-1) A(L,2) ,点C和点A关于原点对称， ÷C1-2 ,如图： 3 2 3-2才0123x B -3A :BC=V(-2+1)2+(-1+2)}=2 AC=2V5,AB=3V2 同理可求 ..BC2+AB2=AC2, 11/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，tan∠BAC= BC 1 AB3· 7.(2026上海金山二模)如图，在00中，弦4B的长为d,∠01B=a(a>0) 令m=cosa ()用含d和m的代数式表示O0的半径： 3 2)过点B作BC1A0,交A0的延长线于点C,当m=4时，求∠0BC的正切值. 【答案】)2m 万 (2)21 【分析】(1)过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函 数表示： (2)先由m=4得出AC,AB的比，再利用直角三角形边角关系设边长、求线段比，最终得到an∠OBC值. 【详解】(1)解：如图，作OM⊥AB于M, O M B 则4M=BM=2 AM .cosa= AO 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ..AO= AM d d cosa m 2m d :.⊙0的半径为2m: (2)解：如图： M B .BC⊥AO AC 3 .∴.c0sa= AB4· .设AC=3t,则AB=4t, .BC=AB2-AC2 =1612-912=7t ..A0=AC-OC=31-0C. ..BO=AO=31-OC ..O0C2 BC2 BO2 .0C2+7t2=(3t-0C)2 0C2+72=9t2-6t.0C+0C2 2t2=6t.0C ∴.OC=5t 3, 1 ∴.tan∠OBC= 0c3万 BC 7t 21 ①考点2 特殊角的三角函数 13130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026:上海闵行·二模)计算： 【答案】3 【详解】解： 2+V3 =2+ 2-2+ 5--2 =2+2+5-(N3-1）-2 =2+2+V3-V3+1-2 =3」 9.(25-26九年级下·上海长宁·期中)计算： +-p--6em60 【答案】2+V5 【分析】先计算负整数指数幂、绝对值和特殊的三角函数值，再化简二次根式，最后计算加减法即可. 【详解】解： +[p-同-6c =23+4-(2-3)-6x1 tan60° =25+4-245-6方 =25+4-2+5-6x5 =2V3+4-2+V5-2√5 =2+V5 10.(2026上海黄浦二模)计算： p--g 2 1-cot30° 【答案】 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 【分析】根据绝对值的性质，零次幂，特殊三角函数值，依次计算即可. 【相1解：原式2-5+153-520 -2 =3-5+1+5=4 11. (2026-上海浦东新二模)计算：（π-Vi0°+(2-V3)+27+cos30° 33 【答案】2 【详解】解：（ -而+-+5万+os3r=1++-(39-39 2 考点3 解直角三角形的应用 一、 填空题 12.(2026上海奉贤·二模)如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距 离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面.排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA,当该射线与 水平方向所成的夹角为6°时，球恰好擦网而过.此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为 米. (结果保留一位小数，参考数据：sin60°≈0.28，cos16°≈0.96，ta16°≈0.29) 16工 B 【答案】1.9 【分析】过点A作AE⊥CD于点E,构造矩形ABDE和直角三角形ACE,利用矩形的性质求出CE的长， 再在RtAACE中利用锐角三角函数求出AE的长，即可得到BD的长 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E, 15130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D 由题意可知，CD⊥BD,AB⊥BD, .∠CDB=∠ABD=∠AED=90°， .四边形ABDE为矩形， .AE BD,DE=AB=2.24, ∴.CE=CD-DE=2.8-2.24=0.56. 在RtAACE中，∠CAE=16°， tan/CAE=CE AE=_ CE0.56 ≈1.9 an16°0.29 .BD≈1.9 13.(25-26九年级下·上海嘉定·期中)如图，在地面上离旗杆BC底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角 为 60,那么旗杆8C的高度约为米(51,73，精确到01米). BC 【答案】13.8 【分析】利用正切进行求解， 【详解】解：：∠BAC=60,∠ABC=90°，AB=8, BC=AB.tan∠BAC=8×V3≈8×1.73=13.84≈13.8 (米)， 二、解答题 14.(2026·上海虹口二模)根据以下素材，完成任务 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 如图1，如果EF⊥平面镜AB,入射光线 素材 CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD, Aviiiiiii7i77777777B 那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE,即 F 图1 ∠DFE=∠CFE 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大 镜子 镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”. 素材 意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来， 在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能 (从水盆里)看见周围邻居（的景象），如 图2 图2所示. 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作 点B,墙角记为点P,邻居记作点A,镜子 (平面镜)记作MN,OD⊥MN于点O, 入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射 0 EM宋N 素材 光线OB,BE⊥AB于点B,OB又作为入射 三 光线通过水盆B反射得到反射光线BC,进 7777777 B 入观察者的眼中（抽象为点C),已知 图3 OP⊥AB于点P,∠AOD=45°， ∠CBE=37°，水盆到墙角的距离BP=1.8 米 素材 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75 四 问题解决： (I)任务一：求邻居A到墙角P的距离： (②)任务二：如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B 看到邻居A,那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【答案】1)3.2m 2)水盆B应向左平移，且平移1.4m 17130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)先求出∠BA0=90°-53°=37°，∠BOP=∠OBE=37°，再解直角三角形得出OP=2.4m, 再根据an∠BAO=OP AP,求出AP=2.4×tan37°=2.4×0.75=1.8(m)即可： 先证正明此时0D与OP重合，解直角三角形得出BPP。=242四.求出结理 -tan37°-0.75 【详解】(1)解：根据题意可得：∠BOD=∠AOD=45°，∠OBE=∠CBE=37°， .∠A0B=2×45°=90°，∠A0N=90°-45°=45°， ,EB⊥BP, ∠EBP=90°， .∠0BP=90°-37°=53°， .∠BA0=90°-53°=37°， ,OP⊥AB, .∠OPA=90°， ∴.∠OPA=∠EBP, ∴OP∥BE, .∠BOP=∠OBE=37°， .tan370= BP OP，∠AOP=90°-37°=53°， 即0.75=1.8 OP' 解得：OP=2.4m, :an∠BA0=OP ' an37°=2.4 AP· .AP= OP 2.4 tan37°0.75 =3.2(m) 即邻居A到墙角P的距离为3.2m: (2)解：当镜子MN绕点O顺时针旋转8°后，如图所示： 77777777777777777777 P(D) A 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时∠AOW=45°-8°=37°， .∠B0D=∠AOD=90°-37°=53° 根据解析(1)可得：∠AOP=53°， .此时OD与OP重合， ∴.此时∠0BP=90°-53°=37°， .BP= OP 2.4 =tan37°0.75 3.2(m), 3.2-1.8=1.4(m) ,点B向左移动，且移动距离为： 考点4 解直角三角形 一、 填空题 15.(2026上海徐汇二模)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点0在边AB上，如果⊙0与 △ABC的一边所在的直线相切，且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是 A 25120 【答案】8或49 【分析】分两种情况讨论，当⊙O与BC相切于点D时，则OD⊥BC,设OB=x,则OA=OD=5-x 根据sin∠ABC=ODAE OB=AB列出比例式，求得x的值：当⊙O与AC相切于点F时，则OF⊥AC,过点B作 BG⊥AC于点G,证明△AOF∽aABG,进而求得x的值，即可求解. 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E, 当⊙O与BC相切于点D时，则OD⊥BC B E AB=AC=5,BC=8 19130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BE-BC=4 、AE=VAB2-BE2=V5-4=3 设OB=x,则OA=OD=5-x ·OD⊥BC,AE⊥BC :sin∠ABC=OD-AE 5-x_3 OB=AB,即x=5 25 .x= 8 当⊙O与AC相切于点F时，则OF⊥AC,过点B作BG⊥AC于点G, G 入F .AB=AC .∠ABC=∠C 324 .BG=BC·sinC=8x= 55 设OB=x,则OF=OB=x,OA=AB-OB=5-x, OF∥BG .△AOFn△ABG OF OA BG AB x 5-x 5 5 解得：x120 49 25120 综上所述，OB的长是8或49 16.(2026上海普陀·二模)如图，己知G是△ABC的重心，点E在边AB上，EG∥BC,D是BC中点， 连接GD.如果GD:EG:AB=1:2:5,BC=12,那么点G到直线AC的距离是 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D 10 【答案】3 【分析】连接AG,过点G作GF⊥AC,可得AD=BD,即可证明∠BAC=90°，利用sin∠DAC=sinC, 解直角三角形即可求得GF的值 【详解】解：如图，连接AG,过点G作GF⊥AC, G是 的重心，D是 中点， B △ABC BC A,G,D三点共线，AG=2GD,DB=DC, GD:EG:AB=1:2:5, ..EG=2GD,AB=5GD ∴AG=EG, .∠AEG=∠EAG, ·EG∥BC, ∴.∠AEG=∠EAG=∠B, :AD=BD, DB=DC, :AD=BD=DC, .∠DAC=∠C, ∴.∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+∠C=180°× 1 =90° 2 .BC=12 ∴.AD=二BC=6 2 :GD=4D=2.4G=2AD=4 3 3 21130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=10 ..sinC=4B5 BC6 GF=AG-sin /DAC=AG.sinC=10 10 即点G到直线AC的距离是3： 17.(2026:上海青浦·二模)定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为 这个圆的同心正多边形.已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为5.设点P在圆上，点 在正六边形的边上，那么P、Q两点之间的最小距离为 1 【答案】2 【分析】连接OA,OB,过点O作OR⊥AB于点R,先解RtAOBR求出OR,再由PO≥O0-OP≥OR-OP 求解即可。 【详解】解：如图，连接OA,OB,过点O作OR⊥AB于点R A ROB 360° ∠AOB= =60° 由题意得，正六边形的中心角为 ··OA=OB :.△AOB为等边三角形， :∠OBA=60°0B=AB=V5 OR-OBxsin 2OBA=x33 22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :P0≥00-0P≥0R-Op=3-1=1 1 2 29 1 :P的最小值为2，当点P在线段O0上，且点Q与点R重合时，P吧取得最小值， 1 “.P、Q两点之间的最小距离为2. 18.(25-26九年级下上海杨浦期中)如图，在平行四边形4BCD中，AB=6,BC=5, sin B= 5,点E 是边CD上一点，EF∥AC,如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是一 A F > 【答案】3 【分析】过点C作CM⊥AB于点M,连接FG,EG,DG,过点G作GH⊥AD于点H,先求得 AC=BC=5,证明∠HAG=∠B=∠CAG=Q,设GH=4k,则AG=5k,AH=3k,,证明 △MHG≌aMKG(AAS)得出GK=GH=45,AK=AM=3次，KC=AC-K=5-3,在R△1DK Rt△CDK中，根据勾股定理求得k=5,即可求解. 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M,连接FG,EG,DG,过点G作GH⊥AD于点H, F H- D M ·BC=5, sin B=CM 4 .CM=4」 BM =BC:-MC=3 23130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AM=BM=3, AC=VAM2+MC2==5 ..CA=CB, 设∠B=a, .∠CAG=∠B=a&, ,四边形ABCD是平行四边形， ..AD /BC,AD=BC=5,CD=AB=6, ∴.∠HAG=∠B=∠CAG=a, GH=sin∠HAG=sinB=5, 4 :.A 设GH=4k,则AG=5k,AH=3k, :点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上， ∴DG⊥EF, 又：EF∥AC, ·DG⊥AC,设DG,AC交于点K, :∠HAG=∠KAG=a,∠H=∠AKG=90°，AG=AG △AHG≌△AKG(AAS) ..GK =GH=4k,AK=AH=3k .KC=AC-AK=5-3k. 在Rt△ADK中， KD2=AD2-AK2=52-(3k) 在Rt△CDK中， KD2=CD2-KC2=62-(5-3k)} :5-(3=62-5-3 7 解得：k= 15， ·4G=5k=5x7=7 153· 19.(2026上海杨浦二模)已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为c,那么sina= 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 【答案】 5 【分析】坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为x,水平直角边为2x,由勾股定理求出斜边，进而可求 出a的正弦值. 【详解】解：如图所示： 由题意，得：tana=i=} 2, 设竖直直角边为x,水平直角边为2x, 则斜边Vr+(2x=V5x 则inas x-5 V5x5. 5 故答案为5· a 【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键， 20.(2026:上海闵行·二模)已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面 积为 【答案】8V2 【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形， 通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积. 【详解】解：设正多边形的边数为n, (n-2)180°=3×360° 根据题意得， 解得n=8, “,该正多边形为正八边形，如图正八边形ABCDEFG,连接AE,BF,CG,DH交于点O,过点A作 AI⊥OH于1， 25130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B H ,半径为2 :0A=0H=2,∠A0H=360°÷8=45°， :AI⊥OH 4!=04m45°=2x5-N2 2 ..wox “正八边形1 BCDEFG的面积=8，心40m=8V2 二、解答题 21.(2026上海普陀·二模)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,点E在边BC上，∠AED=∠B, AE=ED,BE=10 (I)求CD的长： ②)如果AB=12: sinC=3 ,求tan∠DEC的值. 【答案】I)CD=10 2)tan∠DEC=3 【分析】(I)先证明∠CED=∠BAE,然后AAS根据证明△CED≌aBAE,进而可求出CD的长： 3 (②)由∠B=∠C可知sinB=亏，从而求出EH=6,利用勾股定理求出BH=8,然后结合∠DEC=∠BAB 求解即可 【详解】(I)解：，∠AEC=∠AED+∠CED=∠B+∠BAE,∠AED=∠B, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CED=∠BAE :∠B=∠C,AE=ED ACED≌△BAE(AAS) ∴.CD=BE=10 (2)解：如图，过点E作EH⊥AB于点H, E 3 :∠B=LC: sinC= 5 3 EH EH .sin B-5 BE10, .EH=6 BH=BE-EH-8 ∴.AH=AB-BH=4, .△CED≌△BAE, .∠DEC=∠BAE, .tan∠DBC=tan∠BAE=EH-6_3 AH42· 2.(2526九年级下上海杨浦期中)已知在平面直角坐标系0中，抛物线 =x2+bx+c 与x轴交于点 A(,0)和点B,与y轴交于点 (0,3) 顶点为点D 2 3210十234 -2 -3 (1)求该抛物线的表达式： 27130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作P№垂直抛物线的对称轴，垂足为点O,连接PD,设点P 的横坐标为. O求tan∠DPO的值（用含m的代数式表示）. DP ②过点Q作PD的平行线，交抛物线于点E(点E在对称轴右侧)，求QE的值： 【答案】0)y=r2-4x+3 5-1 (2)①m-2:②2 【分析】(1)由待定系数法求解即可： (2)①先求 D(2,-),则P(m,m2-4m+3).Q(2,m2-4m+3) 那么P№=m-2 DQ=m2-4m+3-（-1)=m2-4m+4 再由正切的定义求解即可： ②由平行可得m∠B0P=amDP0=m-2,过点E作EH1QP交OP的延长线于点H,设k-4+3) 则H,m-4m+3）,则EH=-4+3-(m2-4m+3)=(-2y-(m-2y,QH=t-2,在R△0EH中， tan∠EQH= EH(t-2)2-(m-2)2 6-2--2=m-2,解得？三2，再由 m-25-1 OH t-2 得到方程t-2 △EHQ∽△DQP 求解即可. 【详解】()解：：抛物线=r+r+C与x轴交于点4(L0),与y轴交于点C(03), A(1,0) 1+b+c=0 ∴.c=3 [b=-4 解得c=3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x2-4x+3 ∴该抛物线的表达式为 (2)解：①如图， D y=x2-4x+3=(x-2)}-1 .D(2,-1) .对称轴为直线x=2 设点P的横坐标为m,则 (m,m2-4m+3) ,过点P作PQ垂直抛物线的对称轴， :(2,m2-4m+3) :P0=m-2,D0=m-4m+3-(←)=m2-4m+4 ∴在Rt△PDQ中， tan∠DPe=D_-m2-4m+4 =m-2 PO m-2 ②QE∥DP, .∠EQP=∠DP. .tan∠EOP=tan∠DPQ=m-2, 过点E作EH LOP交QP的延长线于点H, 29130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 段E(-+到，则m-4m+3) :EH=-4+3-(m-4m+3)=-2y-(m-2y,Q1=t-2, 在Rt△QEH中， tan∠E0H=EA--2-(m-2} OH t-2 (-2)2-(m-2)2 =m-2 t-2 :m-2y+(m-20-2）--2}=0 .t>2 (m-2+m-2-1=0 .t-2 t-2 m-2_V5-1 解得1-2 2 (舍负) :∠EHQ=∠DQP=90°.∠EQP=∠DPQ △EHQ∽△DQP DP PO ..EO OH DP_m-2-5-1 .E0t-22. 专题10 锐角三角函数（4大考点22题） 4大考点概览 考点01正弦、余弦和正切 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形的应用 考点04解直角三角形 正弦、余弦和正切 考点1 一、填空题 1．（2026·上海闵行·二模）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 二、解答题 2．（2026·上海青浦·二模）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 3．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 4．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 5．（2026·上海黄浦·二模）如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 6．（2026·上海宝山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． (1)求k与n的值； (2)求的值． 7．（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 特殊角的三角函数 考点2 8．（2026·上海闵行·二模）计算：． 9．（25-26九年级下·上海长宁·期中）计算：． 10．（2026·上海黄浦·二模）计算：． 11．（2026·上海浦东新·二模）计算：． 解直角三角形的应用 考点3 一、填空题 12．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 13．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在地面上离旗杆底部8米的A处测得旗杆顶端C的仰角为，那么旗杆的高度约为______米（，精确到米）． 二、解答题 14．（2026·上海虹口·二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： (1)任务一：求邻居到墙角的距离； (2)任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 解直角三角形 考点4 一、填空题 15．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 16．（2026·上海普陀·二模）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． 17．（2026·上海青浦·二模）定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为__________． 18．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，，，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是______． 19．（2026·上海杨浦·二模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________． 20．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 二、解答题 21．（2026·上海普陀·二模）如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 22．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作垂直抛物线的对称轴，垂足为点Q，连接，设点P的横坐标为m． ①求的值（用含m的代数式表示）． ②过点Q作的平行线，交抛物线于点E（点E在对称轴右侧），求的值； / 学科网（北京）股份有限公司 $