精品解析：江苏省镇江市实验高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023—2024学年度第二学期高一年级 期中考试数学试卷 2024.3 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故选：C． 2. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 3. （ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C 4. 在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得， 又，所以. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【详解】. 故选：B. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）三角形 A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【详解】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 7. 如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由题意：. 故选：B 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例给分． 9. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A. z的虚部为i B. C. 若是纯虚数，则实数 D. 若z是关于的方程的一个根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】化简复数分别判断虚部和共轭复数，可判断A,B项，计算，并根据纯虚数要求即可判断C项，利用实系数的一元二次方程的根的特征和韦达定理即可判断D项. 【详解】对于A项，由，即z虚部为1，不是i，故A项错误； 对于B项，由可知，故B项正确； 对于C项，由是纯虚数，可得，则，故C项错误； 对于D项，是关于的方程的一个根，故也是该方程的根， 于是由韦达定理可得，，即，故D项正确. 故选：AC. 10. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算其模，即可判断A；求出，从而得到，即可判断B；求出，即可求出，从而判断C；表示出，再根据向量模的坐标表示，三角恒等变换公式及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，，所以，故A正确； 对于B：当时， ，则，所以与共线，故B正确； 对于C：当时，，则， 所以不成立，故C错误； 对于D：因为， 所以 ，所以当， 即时取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 若，，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形重心的向量表示判断A；根据基底的概念判断B；根据投影向量的定义判断C，根据数量积的定义判断D. 【详解】对于A，由题意，取的中点为，并连接，作图如下： 由，即，则共线， 即所在直线经过中点，与边的中线共线， 同理可得，分别与，边的中线共线， 是三角形中三条中线的交点，为的重心，故A正确； 对于B，由，所以， 即与共线，所以与不能作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C：向量在向量上的投影向量可表示为，故C错误； 对于D：作角的内角平分线与边交于点， 因为为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴等边三角形，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为的垂心，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为为的垂心，则，即， 又，所以. 故答案为： 13. 设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积与向量夹角的关系，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，且与不平行， 则，且，得，且， 故答案为： 14. 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向前进． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据题意画出图形，求出∠CAB与∠B的度数，设出追上乙船的时间，表示出BC与AC，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，即可求出方向角θ的度数． 【详解】根据题意得：∠CAB＝60°﹣θ，∠B＝120°， 设追上乙船的时间为x，则有BC＝x，AC＝x， 在△ABC中，利用正弦定理， 即， ∴＝sin（60°﹣θ），即sin（60°﹣θ）＝， ，即θ＝30°． 故答案为：30° 【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查． 三、解答题（共77分） 15. 设，为两个不共线的向量，若，. （1）若与共线，求实数值； （2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与共线，设，由，可得且，即可求得结果； （2）由已知可得，化简计算即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意，，为两个不共线的向量，且，； 若与共线，则存在实数k，使得 则有， 则有且，解可得； 【小问2详解】 ，为互相垂直的单位向量， 若，则有， 变形可得：，故. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求C的大小； （2）已知，求b的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的坐标运算化简可求得，进而得到； （2）由正弦定理可得. 【小问1详解】 ， ∴，. 【小问2详解】 ，， ∴ 17. 已知为锐角，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系直接求解即可； （2）根据二倍角的正切公式计算即可求解； （3）由（1）可得，结合和两角差的正切公式计算即可求解. 【小问1详解】 由都是锐角，得， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 由，得； 【小问3详解】 由（1）知，， 又， 所以. 18. 如图，，分别是矩形的边和的中点，是线段上的一动点. （1）若，求：的值(要有计算过程)； （2）设，试用，表示； （3）若，，是线段上的中点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据平面向量线性运算法则及基本定理得到方程组，计算可得； （2）根据平面向量线性运算法则计算可得； （3）用、作为一组基底表示出、，再根据数量积运算律计算可得. 【小问1详解】 因为是线段上的一动点，设， 则， 又，和不共线， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，又， ， 所以， 即， 所以，所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 又， ， 所以 . 19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，. （1）设单位向量，若与共线，且，求； （2）当时： （i）若，求； （ii）求的最小值. 【答案】（1）或 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解； （2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又与共线，， 则， 因为，则， 所以，整理得， 因为，所以， 则或，即或 【小问2详解】 （i）因为，即，， 所以， 则， 所以， 因为，则而，所以； （ii）由（i）知，，所以， 而，所以，即， 即有，同时有，即， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期高一年级 期中考试数学试卷 2024.3 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 1 B. C. D. -1 4. 在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）三角形 A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 7. 如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按比例给分． 9. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A. z虚部为i B. C. 若纯虚数，则实数 D. 若z是关于的方程的一个根，则 10. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 的最大值为3 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 若，，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为的垂心，，则________ 13. 设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________. 14. 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向前进． 三、解答题（共77分） 15. 设，为两个不共线的向量，若，. （1）若与共线，求实数值； （2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求C的大小； （2）已知，求b的值． 17. 已知为锐角，． （1）求值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，，分别是矩形的边和的中点，是线段上的一动点. （1）若，求：值(要有计算过程)； （2）设，试用，表示； （3）若，，是线段上的中点，求的值. 19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，. （1）设单位向量，若与共线，且，求； （2）当时： （i）若，求； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$