第22章 二次函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十二章 二次函数 小结与复习 人教版九年级（上） 1 实际问题 归纳 抽象 二次函数 y = ax2 + bx + c 实际问题的答案 利用二次函数的图象和性质求解 图象 目标 性质 单元结构图 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 【注意】(1) 等号右边必须是整式； (2)自变量的最高次数是 2； (3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 知识回顾 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 2. 二次函数的图象与性质： a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗ y最小= y最大= 3. 二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移，自变量左加右减 上、下平移，常数项上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿 x 轴对称 4. 二次函数解析式的求法 (1) 一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) (2) 顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 ) (3) 交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 ) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac) 有两个公共点 有两个不同的实数根 b2 - 4ac ＞ 0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2 - 4ac ＜ 0 6. 二次函数的应用 (1) 二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． (2) 一般步骤： ① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； ② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； ③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； ④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义． 考点讲练 例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 (　　) A．−2 B．2 C．±2 D．0 B 分析：根据二次函数定义可知 m + 2≠0 且 | m | = 2，则 m = 2. 考点一 二次函数的概念、图象与性质 1. 已知函数：① y = 2x − 1；② y = −2x2 − 1； ③ y = 3x3 − 2x2；④ y = 2x2 − x − 1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B 练一练 例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( ) A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3 C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小 C 分析：可画出草图来判断. x y O (3，2) x＝3 x＝3 练一练 2. 关于抛物线 y = −x2 + 2x − 3 的判断，下列说法正确的是 (　　) A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线 x = -1 C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的 D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2 D 例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 B 分析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大． ∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. O 1 x y 3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 D x y O b 1 练一练 分析： ∵二次项系数为－1＜0， 对称轴为 ，画出草图. ∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小， ∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. ∴ b≤1. 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 【分析】①化为顶点式：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ② 根据平移性质：向上平移 2 个单位长度→常数项＋2 向右平移 1 个单位长度后→自变量－1 ③ 写解析式：y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. B 4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 练一练 例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式． 解：∵ 当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2. ∴ 顶点为 (1，2). 设二次函数解析式为 y = a(x − 1)2 + 2， 把 (−2，−16) 代入得 −16 = 9a + 2，解得 a = −2. ∴ y = −2(x − 1)2 + 2. ∴ 二次函数解析式为 y = −2x2 + 4x. 顶点式 ∴ 对称轴为直线 . 练一练 5. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A (−1，0)、 B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3)． (1) 求二次函数的解析式； 解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x − 3)， 将点(0，−3)代入，得 −3 = a(0 + 1)(0 − 3). 解得 a = 1. ∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x − 3) = x2 − 2x − 3. 交点式 x y O C A B (2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标． 解：设 Q (x，y)， ∴ y = ±4． 则 Q 的坐标为 ② 当 y = -4 时，即 x2 − 2x − 3 = −4. 解得 x3 = x4 = 1. 则 Q 点的坐标为(1，−4). ① 当 y = 4 时， 即 x2 − 2x − 3 = 4. x y O C A B 则 S△QAB = AB • | y | = 2| y | = 8. 考点二 二次函数与一元二次方程 例6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2 − 1( m 为常数). 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 分析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程 x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可. 证明：(−2m)2 − 4(m2 − 1) = 4＞0， 故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 6. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c − 2 = 0 的根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不正确 B x y O 3 练一练 例7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) C 方法归纳：①建立合适的平面直角坐标系， ② 抽象出函数模型，求解析式→ y＝-0.5x2 ③ 解决相关问题.→ 当 y＝-10，x＝ 考点三 二次函数的应用 (5，-12.5) 10 O C D A B y x 例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45. (1) 求一次函数的解析式； 故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120. 解得 k = -1，b = 120. 解：根据题意，得 (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900， ∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值， 此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891. 7. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的菜园，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的菜园. (1)请你求出张大伯矩形菜园的面积； 25 m 解：(1) 由题意得菜园的长为 25 m， 宽为(40 - 25)÷2 = 7.5 (m). 故菜园的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 ) 练一练 (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. (2) 设菜园与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，菜园的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200 (7.5≤x＜20). ∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时， S 有最大值，此时 S = 200. 故张大伯的设计不合理.菜园与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为 (40 - 2x) m = 20 m. 25 m 8. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1) 求该抛物线对应的二次函数解析式； 解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y = ax2 + bx，由图象的点的含义，得 故所求二次函数的解析式为 y = −x2 + 14x. 解得 a = −1，b = 14. (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析. (2) y = −x2 + 14x = −(x − 7)2 + 49. 即当 x = 7 时，利润最大，y = 49. (3) 没有利润，即 y = −x2 +14x = 0. 解得 x1 = 0 (舍去)，或 x2 = 14， 而这时利润为滑坡状态，所以第 15 个月，公司亏损. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 $$