4.5 相似三角形判定定理的证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

第四章 图形的相似 *4.5 相似三角形判定定理的证明 九年级上册数学（北师版） 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 复习导入 2 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A =∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 探究新知 证明相似三角形的判定定理 1 3 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). A′ B′ C′ A B C 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C， (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). E D F 1 2 ∴ 4 ∴ △ADE ∽ △ABC. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ DE = CF . ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2 =∠ C， ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'， AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△ABC 的边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行线，交 AC 于点 E， 则∠B =∠ADE，∠C =∠AED， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' C' D E B A C 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两个三角形相似). 6 ∴ AE = A′C′ . ∵ AD = A′B′， ∴ ∴ B' A' C' D E B A C ∴ 而 ∠A = ∠A′， ∴ △ADE ≌△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B ∴ C′ B′ A′ 证明：在 △ABC 的边 AB，AC (或它们的延长线)，上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C'，连接 DE. ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'. B C A D E 而 ∠BAC = ∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ . ∴ C′ B′ A′ ∴ DE = B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ . B C A D E 又 ，AD = A'B'， ∴ 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 相似三角形判定定理的运用 2 典例精析 例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ∴ ② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : = AB : ，解得 AB = ． ① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3； C A B D 2 ∴ 当 AB 的长为 3 或 时， 这两个直角三角形相似． 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： . 相似 相似 相似 练一练 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 当堂小结 1.如下图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ ①③ 课堂练习 2.如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长. 解：∵ AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ∴ 又∠B = ∠ACD， ∴ △ABC∽△DCA. ∴ ∴ AD = A B C D $$