2.5 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

*2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根. 复习导入 解下列方程： (1) x2 - 2x + 1 = 0； (2) x2 - 2 x - 1 = 0； (3) 2x2 - 3x + 1 = 0. 探究新知 探索一元二次方程的根与系数的关系 1 做一做 思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 - 2x + 1 = 0 x2 - 2 x - 1 = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 1 1 1 x1 + x2 = 2 x1·x2 = 1 x1 + x2 = x1·x2 = 1 将二次项系数化为 1 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流. （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 证一证 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？ 一元二次函数 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 当 b2 - 4ac≥0 时有两个根： 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 归纳总结 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0； 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25 ＞ 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6 . 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 （2）2x2 - 3x - 2 = 0； x1 + x2 = ， x1 x2 = -1 . 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2 – 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k² + 120，则 k 是任意数.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 常见的代数式求值如下： 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 方法总结 13 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 ，那么 应 用 …… 当堂小结 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 课堂练习 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. (1)求 k 的值；(2)求 (x1 - x2)2 的值. (1)根据根与系数的关系，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2)∵ k = -7，∴ 则 解：依题意有 Δ = (2k)2 - 8(k - 1)≥0，则 k 是任意实数. $$