2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 九年级上册数学（北师版） 问1：一元二次方程有哪些特点？ ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③整式方程 问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0) 复习导入 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个解(根). 一元二次方程的根 1 探究新知 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0， 即 4a = -9. 1.已知方程 5x² + mx - 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为 _______． 练一练 问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？ (1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由． 不能，因为 x 代表宽度，小于 0不符合实际. 一元二次方程解的估算 2 x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？ 说说你的理由. 8 - 2x 5 - 2x 不可能，地毯宽度不能小于 0. （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8 - 2x)(5 - 2x) （4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 4 10 18 28 （2）你能确定 x 的大致范围吗？ 8 - 2x＞0，5 - 2x＞0， 解得 x＜4，x＜2.5， 所以 0＜x＜2.5 x = 1 (1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？ 可能是 3 m 吗？为什么？ 问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是 x2 + 12x - 15 = 0. 10 m 8 m 1 m x m 做一做 12 + 12×1 - 15 = -2 22 + 12×2 - 15 = 13 32 + 12×3 - 15 = 30 10 m 8 m 1 m x m (3) 你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？ x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0； x 1 2 3 x2 + 12x - 15 -2 13 30 x 1 2 3 (x + 6)2 + 72 98 113 130 1＜x＜2 (4) x 的整数部分是几？十分位是几？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5. 进一步计算： 故 1.1＜x＜1.2，因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 x ≈ 1.1 你的结果怎样呢？ 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值； ②根据题意所列的具体情况再次进行排除； ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想 归纳总结 例1 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误. 假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系：h＝10＋2.5t－5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？ 5 ＝ 10＋2.5t－5t2. 2t2－t－2 ＝ 0. 即 解：根据题意得 典例精析 由此看出，可以使 2t2 - t - 2 的值为 0 的 t 的范围是1.2＜t＜1.3 .故可知运动员完成规定动作最多有 1.3 s. t … 1.1 1.2 1.3 1.4 … 2t2 - t - 2 … … -0.68 -0.32 0.08 0.52 t … 0 1 2 3 … 2t2 - t - 2 … … 所以 1＜t＜2.进一步列表如下： -2 -1 4 13 列表如下： 解一元二次方程 （“两边夹”方法） 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹” …… 求得近似解 当堂小结 1. 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）. 解：（1）列表.依次取 x = 0，1，2，3… x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … 课堂练习 由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2； （2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5… 由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25； x 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 … （3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025. ∴2.4＜x＜2.45. ∴x ≈ 2.4. 2.根据题意，列出方程，并估算方程的解： 一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意得： x·(x + 2) = 120. 即 x2 + 2x - 120 = 0. 120 m2 (x + 2) m x m 根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近): x … … x2 + 2x – 120 … … 8 9 10 11 -40 -21 0 23 所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米. 3.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. 综上所述：m = 2. 18 $$