2.1 第1课时 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

null2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 复习导入 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.① 一元二次方程的相关概念 1 探究新知 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ② 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m， 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 6 (x + 6) (x + 6)2 + 72 = 102.③ 10 m 8 m 1 m x m 2x2 - 13x + 11 = 0 ① x2 - 8x - 20＝0 ② x2 + 12 x - 15 = 0 ③ 1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是 2； 3.整式方程． 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点： ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ① x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ② (x + 6)2 + 72 = 102 ③ 议一议 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 知识要点 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a ≠ 0， b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0， c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 -1 = 12x + 9 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；若是，则进一步化简整理再做判断. 总结 典例精析 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3 + x2 = 36 (3) x + 3y = 36 (5) x + 1 = 0  × × × ×  × × (1) x2 + x = 36 注意：未限定 a ≠ 0 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 10 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程. 方法总结：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解． 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax + b = 0 (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 一元二次方程一般式 点击视频开始播放 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2. 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件 当堂小结 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 课堂练习 2. 关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0， 当 k 　　时，是一元二次方程． 当 k 　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝−1 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 17 4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）； 解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意，得 200 cm 150 cm $$