第15讲 弧长及扇形面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第15讲 弧长及扇形面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【例1】（2023秋•萧山区月考）若扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的弧长是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•镇海区校级一模）若半径为8的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 　　． 【变式2】（2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为0.8米，圆心角，则长度为 　　． 【变式3】（2023秋•下城区校级月考）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）若点是弧中点，求的长． （2）若，求弧的长． 【变式4】（2023•浙江二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结、，，． （1）求的长； （2）求证：平分的外角． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【例2】（2024•钱塘区二模）如图，在正方形中，为对角线，以点为圆心，为半径画弧，再以为直径画半圆．若，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 【变式1】（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•拱墅区校级二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为　　 A．24 B．36 C．12 D．6 【变式3】（2022秋•江干区校级期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分弓形的面积． 【变式4】（2023秋•杭州期末）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大约为． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图，材料总长度仍为，利用图2，解答下列问题： （1）当时，求此时窗户的透光面积； （2）与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．取 经典题型汇编 题型一、求弧长 1．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点，点，点，以点A和点为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为半径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 题型二、求扇形半径 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 5．（浙江·一模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm． 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 题型三、求圆心角 7．（2020·浙江温州·模拟预测）若扇形的弧长是，半径是，则该扇形的圆心角是（  ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江温州·一模）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 9．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+8ax(a>0)与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴与x轴交于H，与过O，A，M三点的⊙Q交于点B，⊙Q的半径为5，点C从点B出发，沿着圆周顺时针向点M运动，射线MC与x轴交于D，与抛物线交于E，过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)当点C的运动路径长为 时，求证：HD=2HA． (3)在点C运动过程中．是否存在这样的位置，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在，求出此位置时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 题型四、求某点的弧形运动路径长度 10．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·浙江·周测）如图，扇形中，，将此扇形依顺时针方向进行无滑动沿直线旋转到扇形的位置，且垂直于直线停止，则运动过程中点运动的路经长为 ．    12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得． (1)求点扫过的弧的长； (2)求线段扫过的面积． 题型五、求扇形面积 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江温州·三模）若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为 ． 15．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 题型六、求弓形面积 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 17．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面中有水部分水面宽米，半径为12米，则积水部分面积为 ． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 试题练习 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 4．（2022九年级上·浙江·专题练习）把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，图中的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，，是弧上两点．若，，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，为直角，，，是的外接圆，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 ． 12．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度． 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 ． 14．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ． 15．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的一条弦，将翻折落于外，的中垂线分别交和折弧于点D，E．若，且点D与点E的距离为，则阴影部分的周长为 ． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，．绕点O逆时针旋转后得到． (1)在网格中作出，并标上字母； (2)写出点的坐标：（_____，_____），（_____，_____）； (3)在旋转过程中，点B经过的路径为，那么的长为__________． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 19．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知是的直径，点C是上一点，连接，半径，垂足为点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接，，. (1)求证：； (2)若cm，求的值及阴影部分的面积. 21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是点，，，它们互相连结，如果， (1)求曲线的长； (2)求整个图形的面积． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形． (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，在图2上作出这条． （注：所有作图都要求用尽规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕着点顺时针旋转． (1)画出旋转后的三角形； (2)求点经过的路线长．（结果保留） 24．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点对称的； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，请直接写出点运动的路径长度（结果保留）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 弧长及扇形面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【例1】（2023秋•萧山区月考）若扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的弧长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直接求解即可得到答案． 【解答】解：扇形的半径为3，圆心角为， ， 故选：． 【点评】本题考查考查扇形的弧长公式，正确记忆弧长公式是解题关键． 【变式1】（2024•镇海区校级一模）若半径为8的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 　　． 【分析】利用弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆心角为． 由题意，， 解得， 该扇形的圆心角度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 【变式2】（2024•湖州一模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为0.8米，圆心角，则长度为 　米　． 【分析】由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算． 【解答】解：圆心角， 的长， 米， （米， 的长（米， 故答案为：米． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 【变式3】（2023秋•下城区校级月考）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）若点是弧中点，求的长． （2）若，求弧的长． 【分析】（1）连接，，由圆周角定理得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，推出，由，，因此，由弧长公式即可求出弧的长． 【解答】解：（1）如图，连接，， 为直径，点是弧中点， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出，从而求出的度数． 【变式4】（2023•浙江二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结、，，． （1）求的长； （2）求证：平分的外角． 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得，再根据弧长公式计算即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，等量代换得到答案． 【解答】（1）解：如图，连接，， ， ， 的长为； （2）证明：， ， ， ， ，， ， ， 平分的外角． 【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【例2】（2024•钱塘区二模）如图，在正方形中，为对角线，以点为圆心，为半径画弧，再以为直径画半圆．若，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 【分析】连接，根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，根据面积差可得答案． 【解答】解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正方形和扇形面积计算，掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【变式1】（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出，进而得出的面积等于的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形的面积相等，据此可解决问题． 【解答】解：连接，， ， ． 又， 是等边三角形， ． 又， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积及熟知扇形的面积公式是解题的关键． 【变式2】（2024•拱墅区校级二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为　　 A．24 B．36 C．12 D．6 【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可． 【解答】解：，即， 解得． 故选：． 【点评】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 【变式3】（2022秋•江干区校级期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分弓形的面积． 【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，根据等腰三角形的三线合一可知，再根据四点共圆可得，进而得到，则，以此即可证明； （2）易得为等边三角形，为等边三角形，则，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）如图，连接， 以腰为直径画半圆， ，即， 又为等腰三角形， ，， 、、、四点共圆， ， ， ， ； （2）如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 【点评】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：（1）根据直径所对圆周角为得到，再根据四点共圆性质即可解决问题；（2）熟练掌握扇形的面积公式． 【变式4】（2023秋•杭州期末）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大约为． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图，材料总长度仍为，利用图2，解答下列问题： （1）当时，求此时窗户的透光面积； （2）与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．取 【分析】（1）根据的长度以及制作窗框的材料总长为，可以求出的长度，结合长方形的面积计算公式可求出透光面积； （2）设的长度为，可用含的式子表示出的长度，进而可根据面积公式列出关于的二次函数，结合的取值范围，根据二次函数最值的计算方法求出此时的最大值，此时的最大值与例题中的最大值相比，得出答案即可． 【解答】解：（1）由已知可得：， 则 ； （2）在窗户透光面积的最大值变大了，理由如下： 设 ，则， ， ， 设窗户面积为，由已知得： ， 当时，且在的范围内，此时， ， 与所给的例题相比，现在窗户透光面积的最大值变大了． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用以及面积的计算，求出的长度是解答本题的关键． 经典题型汇编 题型一、求弧长 1．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点，点，点，以点A和点为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接．先证明为直径，得到为所在圆的圆心，再根据勾股定理得到，，进而依次得到，，，求出，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵， ∴为直径， ∴为所在圆的圆心， 由勾股定理得，， ， ． ， ， ∵， 的长． 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与图形性质，，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，熟知相关知识，添加辅助线，确定圆心，求出是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为半径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 ． 题型二、求扇形半径 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 5．（浙江·一模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm． 【答案】4 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】解：扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】8.5m 【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可 【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）． ∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 题型三、求圆心角 7．（2020·浙江温州·模拟预测）若扇形的弧长是，半径是，则该扇形的圆心角是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由弧长公式可直接得到答案． 【详解】由弧长公式：得： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，属基础题． 8．（2024·浙江温州·一模）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了弧长公式． 设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解． 【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为． 故答案为：． 9．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+8ax(a>0)与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴与x轴交于H，与过O，A，M三点的⊙Q交于点B，⊙Q的半径为5，点C从点B出发，沿着圆周顺时针向点M运动，射线MC与x轴交于D，与抛物线交于E，过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)当点C的运动路径长为 时，求证：HD=2HA． (3)在点C运动过程中．是否存在这样的位置，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在，求出此位置时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=x2+4x；(2)证明见解析；(3)存在，E(， )或E(， ) 【分析】(1)利用函数解析式，由y=0可求出抛物线与x轴的两交点坐标，利用垂径定理求出AH的长，再在Rt△AHQ中，利用勾股定理求出HQ的长，由半径为5，可求出点M的坐标，然后将点M的坐标的函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值. (2)利用弧长公式求出n的值，根据圆周角定理求出∠BMC的度数，在Rt△HMD中，利用勾股定理求出HD的长，再根据MH=2AH，可证得结论. (3)分情况讨论：①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标；②当∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标，即可得到符合题意的点E的坐标. 【详解】解：(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0， ∴A(-8，0) 由垂径定理,得AH=AO=4, 在Rt△AHQ中, HQ=， ∴HM=HQ+QM=3+5=8， ∴M(-4，-8) 把M(-4,-8)代入抛物线得， 解得a=， ∴抛物线的解析式为y=x2+4x (2)∵点C的路径为, ∴，解得n=120°， ∴∠BMC==60°, 在Rt△HMD中, HD==MH ∵MH=8,AH=4,即MH=2HA ∴HD=2HA (3)存在，E点坐标为(， )或(， )，理由如下： 已知∠FEM=∠AHQ=90°， ①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA, 此时△MHD∽△QHA, ∴,即 解得HD=， ∴OD= ∴D(0)， 设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(0)代入得， ，解得， ∴直线MD的解析式为y=x-5, 将直线MD与抛物线联立得， ，解得或 此时E点坐标为(，)； ②当∠EMF=∠QAH时，△MEF∽△AHQ, 此时△MHD∽△AHQ, ∴，即 解得HD=6， ∴OD=6-4=2 ∴D(2,0), 设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(2，0)代入得， ，解得， ∴直线MD的解析式为 将直线MD与抛物线联立得， ，解得或 此时E点坐标为(，)； 综上所述，E点坐标为(， )或(， ). 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合问题，属于中考压轴题型，难度较大，需要熟练掌握二次函数的图像与性质，垂径定理，弧长公式，以及相似三角形的判定和性质. 题型四、求某点的弧形运动路径长度 10．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长． 【详解】解：在中，，， ， ， 绕直角顶点逆时针旋转得△， ， 弧的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 11．（22-23九年级上·浙江·周测）如图，扇形中，，将此扇形依顺时针方向进行无滑动沿直线旋转到扇形的位置，且垂直于直线停止，则运动过程中点运动的路经长为 ．    【答案】 【分析】O点运动的路径是：点O先绕点A，以为半径旋转到经过点B时，运动路径为，再运动到，运动路径为长，然后点O再绕点，以为半径从旋转到，运动路径为，根据点运动的路经长为计算即可． 【详解】解：如图，点O先绕点A，以为半径旋转到经过点B时，运动路径为，再运动到，运动路径为长，然后点O再绕点，以为半径从旋转到，运动路径为，    ∴的长是：， ∵， ∴ ∴的长为：， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为， ∴运动过程中点运动的路经长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，旋转的性质，熟练掌握弧长公式． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得． (1)求点扫过的弧的长； (2)求线段扫过的面积． 【答案】(1)点扫过的弧长是 (2)阴影的面积 【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积扇形的面积扇形的面积． （1）由旋转的性质得到：，，由弧长公式即可求出的长； （2）由旋转的性质，得到阴影的面积扇形的面积扇形的面积，由此即可计算． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，， 的长， 点扫过的弧长是； （2）由旋转的性质得到：，， 的面积的面积， 阴影的面积扇形的面积扇形的面积扇形的面积扇形的面积， 阴影的面积． 题型五、求扇形面积 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：．据此计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴扇形的面积为． 故选：D． 14．（2024·浙江温州·三模）若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个圆心角所对的弧的长度是，这个扇形的面积弧长． 形的面积弧长与半径积的一半，根据以上内容求出答案即可． 【详解】解：扇形的弧长为，半径为， 扇形的面积， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【答案】(1)扇形的面积等于 (2)圆锥的底面半径为 【分析】本题考查了扇形的面积及求弧长： （1）利用扇形的面积公式即可求解； （2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解； 熟练掌握扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的面积为：． （2）扇形的圆心角为，半径为， ， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径为：． 题型六、求弓形面积 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面中有水部分水面宽米，半径为12米，则积水部分面积为 ． 【答案】平方米 【分析】连接OA，OB，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，根据垂径定理求出OC，得到∠AOB的度数，再利用S扇形OAB-S△AOB计算出积水部分的面积． 【详解】解：如图，连接OA，OB， 由题意可知：AB=，OA=12， 过O作OC⊥AB交AB于C，交圆于D， 则OD=12， ∴AC=BC=， ∴OC===6， ∴∠AOC=60°， ∴∠AOB=120°， ∴积水部分面积为S扇形OAB-S△AOB==平方米， 故答案为：平方米． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，扇形的面积，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【详解】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 试题练习 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：C. 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角的计算，利用圆的周角等于，根据“黄金扇形”的定义列算式求解即可． 【详解】解：“黄金扇形”的圆心角约为， 故选C． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式直接解答即可． 【详解】解：扇形面积为：， 故选：C． 4．（2022九年级上·浙江·专题练习）把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设半径为R，利用弧长公式构建方程求出R即可． 【详解】解：设半径为R． 由题意，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，图中的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：折扇的骨柄的长为，折扇张开的为， 的长为： ， 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，．以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在矩形中，，， ， 故选：C． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，，是弧上两点．若，，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，为直角，，，是的外接圆，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，则是等边三角形，，，由勾股定理得，，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由题意知，，， 又∵， ∴是等边三角形，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，等边三角形的判定与性质，扇形面积，勾股定理等知识．明确阴影部分面积的表示是解题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 10．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定的运动轨迹是以B为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由对称的性质可知，， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， 当若从运动到，如图，的运动轨迹为， ∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，弧长，勾股定理，含的直角三角形．根据题意确定的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】设扇形的半径为，由题意可得：，求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意可得： 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式，列出方程． 12．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度． 【答案】60 【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为， ， 扇形的半径为6， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ． 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点，，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】连接、，根据C，D是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般． 【详解】解：连接、．    ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，得到为等边三角形，求得扇形的面积减去的面积即可． 【详解】解：连接、，如下图： ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB ∴，， ∴ 又∵AE⊥BC，AE经过圆心O ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∴ 在中，，，∴ 由勾股定理得 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及扇形的弧长．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理先后求得的长，以及和的度数，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ，， ∴，，    ∴点翻滚到位置时共走过的路径长为：， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的一条弦，将翻折落于外，的中垂线分别交和折弧于点D，E．若，且点D与点E的距离为，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，交于，则，由翻折的性质可得，，，进而可得阴影部分的周长为的周长，设的半径为，，则，，解得，，由勾股定理得，，求半径，进而可求周长． 【详解】解：如图，连接，交于，交于， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴，即阴影部分的周长为的周长， 设的半径为，，则，， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴阴影部分的周长为的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，中垂线，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，中垂线，勾股定理，弧长是解题的关键． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，．绕点O逆时针旋转后得到． (1)在网格中作出，并标上字母； (2)写出点的坐标：（_____，_____），（_____，_____）； (3)在旋转过程中，点B经过的路径为，那么的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)；3；；1 (3) 【分析】此题主要考查了图形的旋转、点的坐标确定以及弧长公式应用，根据题意得出对应点坐标是解题关键． （1）利用旋转的性质得出，的位置，即可得出所要作的图形； （2）利用（1）中图形得出点，的坐标； （3）利用弧长公式求出的长． 【详解】（1）解：先利用旋转的性质得出，的位置，再连接，，，如图所示： （2）解：点A，B的坐标分别为，， 点A、B关于O点中心对称的点，的坐标为：，； （3）解：点， ， ． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 19．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知是的直径，点C是上一点，连接，半径，垂足为点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了弧长的计算，平行线的判定和性质，熟练掌握圆的性质和弧长公式是解题的关键． （1）根据圆的性质，证明，即可得到； （2）利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是的直径，， ∴的半径为 ， ∴． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接，，. (1)求证：； (2)若cm，求的值及阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，特殊角三角函数，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键． （1）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：和的两个角相等，从而证得两个三角形相似； （2）根据中位线定理和角的正弦求出，然后求出是等边三角形，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴点F是AC的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是点，，，它们互相连结，如果， (1)求曲线的长； (2)求整个图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是正三角形，可得，，则，，根据曲线的长为，计算求解即可； （2）如图，作于，则，由勾股定理得，根据整个图形的面积为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是正三角形， ∴，， ∴，， ∴曲线的长为， ∴曲线的长为； （2）解：如图，作于， ∴， 由勾股定理得， ∴整个图形的面积为， ∴整个图形的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形，弧长．熟练掌握扇形，弧长的计算公式是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形． (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，在图2上作出这条． （注：所有作图都要求用尽规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题主要考查了扇形面积计算，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等： （1）作的角平分线交扇形于E，则直线即为所求； （2）先作线段的垂直平分线交于H，再以H为圆心，的长为半径画弧交线段的垂直平分线于G，再以O为圆心，的长为半径画弧分别交于C、D，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线交扇形于E，则直线即为所求； 由角平分线的定义可得，由于扇形和扇形的圆心角度数相同，半径也相同，则扇形和扇形的面积相同； （2）解：如图所示，先作线段的垂直平分线交于H，再以H为圆心，的长为半径画弧交线段的垂直平分线于G，再以O为圆心，的长为半径画弧分别交于C、D，则即为所求． 由扇形面积计算公式可得，，则， 由作图可知，则． 23．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将绕着点顺时针旋转． (1)画出旋转后的三角形； (2)求点经过的路线长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了作图—旋转变换、以及弧长计算，解题关键是正确作图． （1）根据题意分别作出点、点的对应点，依次连接各点即可； （2）点经过的路线就是以点为圆心，为半径，圆心角是的弧，求出弧的长度即可． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）由题意得，，， ， 点经过的路线长为． 24．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点对称的； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，请直接写出点运动的路径长度（结果保留）． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】本题考查了在坐标系中画已知图形关于原点对称的图形，画旋转图形，以及求某点的弧形运动路径长度，熟练掌握相关图形的画法是解题的关键． （1）作一点关于原点的对称点的作法是先连结再延长一倍，所以先分别画出A，B，C三点关于原点的对称点，，，连结，，，即得所求图形； （2）先分别画出，，三点绕点顺时针旋转所得的对称点，，，连结，，，即得所求图形； （3）先求出的长及的度数，再根据弧长公式计算，即得答案． 【详解】（1）如图，就是所求的三角形； （2）如图，就是所求的三角形； （3），， 点运动的路径长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$