第10讲 弧长及扇形面积（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第10讲 弧长及扇形面积（核心考点讲与练） 【知识梳理】 一．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 二．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【核心考点精讲】 一．弧长的计算（共5小题） 1．（2022•瑞安市校级开学）已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为 　2π　． 【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：扇形的弧长＝＝2π， 故答案为：2π． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键． 2．（2022•浦江县模拟）75°的圆心角所对的弧长是10πcm，则此弧所在圆的半径是 　24　cm． 【分析】根据弧长公式L＝，将n＝75，L＝10πcm代入即可求得半径长． 【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是10πcm， 由L＝， ∴10π＝， 解得r＝24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式L＝是解答本题的关键． 3．（2021秋•长兴县月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F． （1）求证：AC是直径； （2）若⊙O的半径为1，∠E＝40°，求的长度． 【分析】（1）连接AC，根据已知条件得到∠ADC＝∠ABC，推出∠ADC＝∠ABC＝90°，根据圆周角定理得到AC是直径； （2）连接OB，OD，根据三角形的内角和定理得到∠EAB＝50°，求得∠DOB＝2∠EAB＝100°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵∠E＝∠F，∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠E， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴AC是直径； （2）解：连接OB，OD， ∵∠E＝40°， ∴∠EAB＝50°， ∴∠DOB＝2∠EAB＝100°， ∵⊙O的半径为1， ∴的长度＝＝． 【点评】本题考查了弧长公式：弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了圆内接四边形的性质． 4．（2021秋•淳安县期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E． （1）求证：BD＝DC； （2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧BE的长． 【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接OE，根据圆周角定理求出∠BOE＝80°，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB， ∴BD＝CD， （2）解：连接OE， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOE＝80°， ∵AB＝8， ∴OB＝4， ∴弧BE的长为：＝π． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半． 5．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，△ABC中，CA＝CB，以AB为直径的⊙O分别交CA，CB于点D，E． （1）求证：＝； （2）若∠C＝50°，半径OA＝3，求的长． 【分析】（1）由CA＝CB，推出∠A＝∠B，推出＝，可得结论； （2）求出圆心角∠DOE＝80°，再利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝． （2）解：∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝65°， ∵OA＝OD＝OB＝OE， ∴∠ADO＝∠A＝65°，∠B＝∠OEB＝65°． ∴∠AOD＝∠EOB＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠DOE＝180°﹣2×50°＝80°， ∴的长＝＝π． 【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，记住弧长公式l＝． 二．扇形面积的计算（共7小题