第11章 数的开方（10类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第11章 数的开方知识归纳与题型突破（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 一．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 二．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 三．算术平方根的非负数 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 四．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 五．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 六．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 七．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 八．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 九．实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 一十．估算无理数的大 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 一十一．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． ( 03 题型归纳 ) 题型一　平方根 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是_______． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则_____． 题型二　算术平方根 例题：（23-24七年级下·陕西安康·期末）49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为__________． 题型三　非负数的性质：算术平方根 例题：（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．－1 C．13 D．1 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 2．（20-21八年级上·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 题型四　立方根 例题：（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是0， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 巩固训练 1．（2024·山东济南·模拟预测）的立方根是（　 　） A．4 B． C．2 D．8 2．（23-24八年级下·上海·期末）方程 的根是________． 3．（23-24七年级下·吉林·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数. (1)求、、的值； (2)求的平方根． 题型五　无理数及实数 例题：（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）在下列实数①，②，③，④，⑤，⑥…（两个3之间依次多一个0），⑦中，无理数有_________（填序号）． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）在，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（　　 ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．两直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行 C．平移前后的两个图形中，对应点所连线段平行且相等 D．无理数一定是无限小数 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）实数，，，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．上面8个数中无理数有_______个． 题型六　实数的性质 例题：（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则x的值是（   ） A．4 B． C． D． 巩固训练 1．（2024·河南新乡·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C．1 D．不存在 2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期末）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 题型七　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知两个实数在数轴上的对应点如图所示，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 2．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是________． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 题型八　实数大小比较 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）比较大小：与 巩固训练 1．（18-19九年级上·全国·课后作业）比较4－与2＋的大小． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； (2)和． 3．（19-20七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小 （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 题型九　估算无理数的大小 例题：（23-24八年级上·山西运城·期中）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1)______，______． (2)如果，，求的平方根． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京东城·期末）一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 3．（19-20七年级上·全国·课后作业）观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 题型十　实数的运算 例题：（2024春•沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定＄．则2＄　　 A．32 B．36 C．68 D．64 巩固训练 1．（2024春•长沙期末）计算：． 2．（2024春•西城区期末）（1）计算：；（2）求等式中的值：． 3．（2024春•谷城县校级月考）计算题： （1）； （2）． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 数的开方知识归纳与题型突破（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 一．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 二．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 三．算术平方根的非负数 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 四．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 五．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 六．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 七．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 八．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 九．实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 一十．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 一十一．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． ( 03 题型归纳 ) 题型一　平方根 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，正数的平方根为一正一负互为相反数的两个数，0的平方根为0，负数没有平方根． 由平方根的概念解答即可． 【详解】A．4的平方根为，故A错误；     B．负数没有平方根，故B错误；     C．40的平方根是，故C错误； D．负数没有平方根，故D正确． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．即一个非负数a的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：表示16的平方根是， 故选：B． 2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是_______． 【答案】2024 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是， ∴它的另一个平方根是2024， 故答案为：2024． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，由一个数的平方根互为相反数得，求出即可求解；理解平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 题型二　算术平方根 例题：（23-24七年级下·陕西安康·期末）49的算术平方根为（    ） A． B． C．7 D．-7 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据题意计算即可． 【详解】解：， 故选C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握并深刻理解算术平方根的定义是解题的关键． 先求得的值，再继续求它的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：， 而的算术平方根是， 的算术平方根是， 故选：C． 3．（2024·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为__________． 【答案】0或1 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性． 根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1， ∴或1， ∴或1， 故答案为：0或1． 题型三　非负数的性质：算术平方根 例题：（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．－1 C．13 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代入即可求出． 【详解】解： ， ， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 2．（20-21八年级上·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：． 3．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 【答案】2027 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得，，， ． 题型四　立方根 例题：（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是0， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根，解题的关键是理解和掌握平方根和立方根的定义．据此分析即可． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是，，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．是的立方根，原说法不正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； D．当时，，此时有平方根，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·山东济南·模拟预测）的立方根是（　 　） A．4 B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念和算术平方根的概念，根据立方根的概念和算术平方根的概念即可求解，正确理解立方根的概念和算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由， ∴的立方根是，即的立方根是， 故选：． 2．（23-24八年级下·上海·期末）方程 的根是________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题关键．根据立方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数. (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 题型五　无理数及实数 例题：（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）在下列实数①，②，③，④，⑤，⑥…（两个3之间依次多一个0），⑦中，无理数有_________（填序号）． 【答案】③⑥⑦ 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥…（两个3之间依次多一个0），⑦中， ①，②，④，⑤，是有理数，③，⑥…（两个3之间依次多一个0），⑦是无理数， 故答案为：③⑥⑦ 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）在，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，无理数的有，一共2个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（　　 ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．两直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行 C．平移前后的两个图形中，对应点所连线段平行且相等 D．无理数一定是无限小数 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，无理数，平移的性质，能根据知识点进行判断是解此题的关键，题目比较好，难度适中．根据平行线的判定，无理数，平移的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、无理数就是无限不循环小数，包含开方开不尽的数，故原说法错误，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故原说法错误，不符合题意； C、平移前后的两个图形中，对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故原说法错误，不符合题意； D、无理数就是无限不循环小数，所以无理数一定是无限小数，故原说法正确，符合题意， 故选：D 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）实数，，，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．上面8个数中无理数有_______个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求立方根，无理数就是无限不循环小数．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴无理数有，，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），共4个． 故答案为：4． 题型六　实数的性质 例题：（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则x的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，由利用绝对值的性质分类讨论即可. 【详解】解：∵， ∴，故选：D． 巩固训练 1．（2024·河南新乡·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C．1 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查实数的性质，涉及绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）的相反数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期末）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数和相反数，解题的关键是掌握相反数的定义，根据相反数的定义，求一个数的相反数应在这个数的前面加一个负号，再化简，即可． 【详解】∵实数的相反数：， 故选：D． 题型七　实数与数轴 例题：（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知两个实数在数轴上的对应点如图所示，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴表示实数的大小和不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 先确定a，b的大小，再根据不等式的性质逐项判断． 【详解】解：根据图示，可得． ∵， ∴，选项A不正确，不符合题意； ∵， ∴，选项B不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，选项C正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，选项D不正确，不符合题意． 故选C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为，故选：D． 2．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上点A表示的实数是，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴滚动1周，圆上的点A到达点B处，则点B表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴此圆的周长， ∵从点A沿数轴滚动1周， ∴， ∵点A表示的实数是， ∴向右滚动，点B表示的数是，向左滚动，点B表示的数是．故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【答案】(1)2；；(2) 【分析】本题考查无理数、实数与数轴，先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解； （2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 则格点正方形的面积为，则， ∴． 题型八　实数大小比较 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）比较大小：与 【答案】 【分析】此题考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键． 比较与的平方的大小即可； 【详解】解：， ， ． 巩固训练 1．（18-19九年级上·全国·课后作业）比较4－与2＋的大小． 【答案】< 【分析】由两数小于0，可用作商法比较大小，即1，则ab；1，则ab. 【详解】解：∵＝(4－)(2－)＝11－6，6≈10.39， ∴11－6＜1，又∵4－>0，2＋>0，∴4－＜2＋. 【点睛】此题主要考查实数的大小比较. 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）算出两个数的平方，比较两个数平方的大小，即可得出结果； （2）比较与1的大小，即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ∵，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键． 3．（19-20七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小 （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）根据算术平方根的定义，然后比较被开方数即可； （2）利用实数比较大小，分别求出各自的取值范围，然后比较大小即可； （3）利用实数比较大小，求出的取值范围，即可比较大小； （4）先找到介于与的中间值，然后利用中间值比较大小即可． 【详解】解：（1）， ， 即． （2） ， ． （3） ． （4） ． ， ， ． 【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握实数的比较大小的方法是解决此题的关键． 题型九　估算无理数的大小 例题：（23-24八年级上·山西运城·期中）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1)______，______． (2)如果，，求的平方根． 【答案】(1)3，；(2)． 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵9＜10＜16， ， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京东城·期末）一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1)，且x为整数；(2)；(3)22、23 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，且x为整数； （2） ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∵x为整数 ∴，23． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 3．（19-20七年级上·全国·课后作业）观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】（1）1；（2）±4 【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1） 即 ， 的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是， ， ； （2） 即 的整数部分为1，的小数部分为 ， ， 的平方根为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． 题型十　实数的运算 例题：（2024春•沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定＄．则2＄　　 A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】 【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2＄， 故选：． 【点睛】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 巩固训练 1．（2024春•长沙期末）计算：． 【答案】． 【分析】利用有理数的乘方，立方根，绝对值计算即可． 【解答】解：原式． 【点睛】本题考查实数的运算，有理数的乘方，立方根，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2024春•西城区期末）（1）计算：；（2）求等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减；（2）通过开平方进行求解． 【解答】解：（1） ； （2）开平方，得， 解得或． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 3．（2024春•谷城县校级月考）计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）1． 【分析】（1）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可计算出答案即可； （2）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可计算出答案即可． 【解答】解：（1） ； ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$