第一讲分数的计算-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

PUECPOWHEN ★#"★ 暋 暋160暋 暋暋暋暋暋暋 参 考 答 案 第1讲暋分数的计算 1.原式=19819-8 8 19- 5 1 5+4.( )8 =11-10 =1。 2.原式=2灡35暳1灡25+1灡44暳1灡25+0灡21暳 1灡25=1灡25暳(2灡35+1灡44+0灡21)=1灡25暳 4=5。 3.(1)原式= 1- 1( )2012 暳2010=2010- 2010 2012 =2010-10051006=2009 1 1006 ; (2)原式= 56+64( )63 暳 1 8 =56暳 1 8 + 64 63暳 1 8=7 8 63 。 4.原式= 23+ 2 9+ 2 27+ 2 81+ 2 243+ 2 729+ 1( )729 - 1 729=1- 1 729= 728 729 。 5.(1)原式=0灡92暳3灡6暳5灡44灡6暳2灡7暳1灡8= 4灡6暳2灡7暳1灡8暳0灡2暳2暳2 4灡6暳2灡7暳1灡8 =0灡8 ; (2)原式=2011+ (2011+1)暳2010 2011暳2012-1 = 2011+2011暳2010+2011-1 2011暳2012-1 = 2011暳2012-1 2011暳2012-1=1 。 6.原 式 =1暳2暳3暳 (1+23+33+…+103) 2暳3暳4暳(1+23+33+…+103)= 1暳2暳3 2暳3暳4= 1 4 。 7.记a=1+ 12 + 1 3 + …+ 19 ,b=1+ 12 + 1 3 +…+110 ,则原式=a暳(b-1)-b暳(a-1) =ab-a-ab+b=b-a=110 。 8.原式=53暳 7 5暳 9 7 暳 11 9 暳 …暳20132011= 2013 3 =671。 9.原式=12 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6+ 1 6- 1 7 + 1 7 - 1 8 + 1 8 - 1 9 = 1 2 - 1 9 =718 。 10.原 式 = 12 1-( ) 1 3 + 1 2 1 3-( ) 1 5 + 1 2 1 5-( ) 1 7 + …+12 1 2009- 1( )2011 =12 1- 1 3+ 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7( + …+ 12009- 1 )2011 = 1 2 1- 1( )2011 =10052011. 11.原式=2暳 1-( )12 +2暳 1 2-( ) 1 3 +2暳 1 3-( ) 1 4 + … +2暳 110- 1( )11 =2暳 1-1( )11 =1 9 11 。 12.原式 =1+ 12+( ) 2 2 + 1 3+ 2 3+( ) 3 3 + 1 4+ 2 4+ 3 4+( ) 4 4 + …+ 150+ 2 50+ 3( 50 +…+50)50 =1+ 3 2+ 4 2+ 5 2+ …+512 暋暋=1+12暳 (3+4+5+…+51)=66212 。 第2讲暋分数和百分数应用题 1.解:大书架现在有书 (24+6+6)暵(1-60%)=90(本), 原有90-6=84(本)。 答:原来大书架上有84本书。 2.解:12暵(25%-5%)=60(米)。 答:原来的绳子长60米。 3.解:设甲班人数为x人,则乙班有(x+3)人, " ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " # $ % 暋暋暋暋暋暋 1暋 暋 暋 三 人 行 氋 必 有 我 师 焉 氌 氞 孔 子 氠 第一讲暋分数的计算 数学离不开计算,计算能力是一项基本的数学能力,是一种复杂的智力活动, 也是学生综合能力的具体体现。综合计算一直是各种考试、竞赛的热门考点。 在进行计算时,除了遵循四则混合运算的运算顺序外,有时还需运用拆分、合 并、添项或者整体替换等思想方法,整体分析、局部着手,巧妙、灵活地运用定律和 方法,对处理一些貌似复杂的计算题常常有事半功倍的效果。 经 典 范 例 例1暋计算:12.25-917-54 8 17+1 æ è ç ö ø ÷ 1 4 点 拨暋先去掉小括号,再运用减法的性质:a-b-c=a-(b+c),使5917 和 4817 相加凑整,12.25和114 相减凑整,简化运算过程。 详 解暋原式=12.25-5917-4 8 17-1 1 4 = 12.25-1æ è ç ö ø ÷ 1 4 - 5 9 17+4 8æ è ç ö ø ÷ 17 =11-10 =1 小 结暋如果不假思索的直接按运算顺序进行计算,不仅要进行通分运算,加 大了计算量,还容易计算错误。所以在计算前,先要整体观察,看是否有可以凑整 的数,然后再进行计算。常见的有两个或者多个数相加凑整,两个数相减凑整。 例2暋计算:20.12暵524+201 1 5暳0.52 点 拨暋先将除法变为乘法,再将分数化为小数,不难发现20.12和201.2只 是小数点位置不同,变形后可运用乘法结合律。 详 解暋原式=201.2暳0.48+201.2暳0.52 =201.2暳(0.48+0.52) 分 数 的 算， 学能力， 杂的智力活动， 体体现。综合计算一直是各种考试、竞赛的热门考点。 ， 算顺序外， 需运用拆分、 添 方法， ， 灵活 ，对 半功倍的效果。 三人行;必有我师焉。(孔子) ① 算：12.25-1-54+14 先去 ，再运用减法的性质：a-b—c=a—(b+c ，12 2 ， 过程。 式=12.25-59-4i-14 = 12.25-149-51+4 =11-10 如果不假思索的直接按运算顺序进行计算，不仅要进行通分运算， ，还 ， ， ， 或者多个数相加凑整，两个数相减凑整。 例② 计算：20.12÷24+201号×0.52 先将除法变为乘法， 小数， . 201 2 置不同， 用乘法结合律。 =201.2×0.48+201.2×0.52 =201.2× 0.48+0.52) ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 2暋 暋暋暋暋暋暋 =201.2暳1 =201.2 小 结暋该题主要考查学生乘法结合律的运用,但又不是简单的运用,需要对 算式进行适当的变形,才能简化计算。运用乘法结合律的关键在于:找出相同的 数,当算式中没有相同的数时,对算式进行适当变形,凑出相同的数。 例3暋计算:(1)119暳20112012 ;(2)2011暳1962012 点 拨暋(1)20112012 与1很接近,故可用1- 12012 代替2011 2012 ; (2)196与2011换个位置就跟(1)中的形式一样了,也可以用2012-1代替 2011。 详 解暋(1)原式=119暳 1- 1æ è ç ö ø ÷ 2012 =119- 119 2012=118 1893 2012 (2)原式=(2012-1)暳1962012=196- 196 2012=195 1816 2012 小 结暋这类问题中的分数很接近整数,可以将分数拆分成一个整数和一个 简单的分数,再利用乘法分配律进行计算。 例4暋计算:12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+ 1 128 点 拨暋观察发现,从第二个数开始,每一个数都是前一个数的12 ,如果多加 一个 1 128 ,再减去 1 128 ,不但算式的值保持不变,计算也会变得简便。因为 1 128+ 1 128 =164 ,1 64+ 1 64= 1 32 ,… 详 解暋原式= 12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+ 1 128+ 1æ è ç ö ø ÷ 128 - 1 128 = 12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+ 1æ è ç ö ø ÷ 64 - 1 128 = 12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1æ è ç ö ø ÷ 32 - 1 128 … =1- 1128 =127128 E HOPE =201.2×1 =201.2 该题主要考查学生乘法结合律的运用，但又不是简单的运用， ， 键在于： ，当算 时， 适当变形， 相同的数。 例3计算：(1)19×201;(2)2011×2012 (1)2012 很 ，故可用1-2012 2012; 2 196 2011换个位 (1)中的形式一 ， 2012—1 2011。 详 解(1)原式=119×1-20128=119-2012=1182892 (2) =(2012-1)×2012=196-2092=195 2812 这类问题中的分数很接近整数， ， 进行计算。 +4+g+1+2 64+124 计算： 12 观察发现， ， , 一个128 128, 128+128, 不变， 会变得简便。因为： =64,64+64=32,⋯ =营1+4+g+16+3+64+12+1288-128 =营2+4+g+16+3+64+646-128 =营2+4+g+16+32+328-128⋯ =1-1 =128 ! " # $ % 暋暋暋暋暋暋 3暋 暋 暋 尽 信 书 氋 则 不 如 无 书 氌 氞氭 孟 子 氱氠 小 结暋添项的方法在竞赛中比较常见,有时是加上一个数再减去这个数,有 时是乘以一个数再除以这个数。添项的目的是为了凑整或使式子能反复使用某 一公式,从而简化计算过程,加快计算速度。 例5暋计算:135+1 5 7+3 æ è ç ö ø ÷ 1 3 暵 6 7+ 4 5+1 æ è ç ö ø ÷ 2 3 点 拨暋观察发现,两个括号里的分数分母都是3、5、7,且都是三个分数,进 一步发现,前一个括号里的分数是后一个括号里相应分数的2倍。 详 解暋原式= 85+ 12 7+ 10æ è ç ö ø ÷ 3 暵 6 7+ 4 5+ æ è ç ö ø ÷ 5 3 =2暳 67+ 4 5+ æ è ç ö ø ÷ 5 3 暵 6 7+ 4 5+ æ è ç ö ø ÷ 5 3 =2 小 结暋这类题目有时以繁分数的形式出现,考查学生的整体思想。如果分 别将两个括号内的结果算出来再做除法,无疑加大了计算量,在数据较大时,整体 思想显得尤为重要。 例6暋 计 算:1+12+ 1 3+ æ è ç ö ø ÷ 1 4 暳 1 2+ 1 3+ 1 4+ æ è ç ö ø ÷ 1 5 - 1+ 1 2+ æ è ç 1 3 + 1 4+ ö ø ÷ 1 5 暳 1 2+ 1 3+ æ è ç ö ø ÷ 1 4 点 拨暋四个括号中都含有12+ 1 3+ 1 4 ,可整体替换为a,这样书写和计算都 很方便。 详 解暋设a=12+ 1 3+ 1 4 ,原式=(a+1)暳 a+æ è ç ö ø ÷ 1 5 - 1+a+ æ è ç ö ø ÷ 1 5 暳a =a2+65a+ 1 5-a 2-65a =15 小 结暋“不识庐山真面目,只缘身在此山中。暠有时一个巧妙的替换就能让我 们看清问题的本质。本题也可设a=1+12+ 1 3+ 1 4 ,b=1+12+ 1 3+ 1 4+ 1 5 ,同学 们可自行尝试。 分 ● 数 ● 的 夏 添项的方法在竞赛中比较常见， 时是加上一个数再减去这个数， ， 过程， 算速度。 13+1号+3 8÷7+4+13 计算： 观察发现， 里的分数分母都是3、5、 , 是三个分数， ，前一 倍。 =营号+7+36÷7+专+5 原式 =2×+4+5÷号+青+3 =2 这类题目有时以繁分数的形式出现， 算出来再做除法， 大了计算量， 较大时， 尤为重要。 L 尽信书;则不如无书。《孟子》 +2+3+48×营 亏8-6计算： + 。×1+g+4 +3+4, 四个括号中都含 , a 方便。 2 3+4,, =(a+1)×a+亏8-1+a+亏8×a =a2+号a+5-a2-5a 亏 “不识庐山真面目，只缘身在此山中。”有 2 3+4,b=1+1+3+4 亏， , 行尝试。 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 4暋 暋暋暋暋暋暋 例7暋计算:1+æ è ç ö ø ÷ 1 2 暳 1- æ è ç ö ø ÷ 1 2 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 1 3 暳 …暳 1+1æ è ç ö ø ÷ 99 暳 1- 1æ è ç ö ø ÷ 99 点 拨暋项数太多,难以逐一计算,尝试将括号内是加法的分为一组,是减法 的分为另一组,先观察都是加法的一组,3 2暳 4 3暳 5 4暳 6 5暳 …暳9998暳 100 99 ,可以错 位相约,同样都是减法的一组也可以。 详 解暋 原式 = 1+æ è ç ö ø ÷ 1 2 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 1 3 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 1 4 暳 … 暳 1+1æ è ç ö ø ÷ 99 暳 1- æ è ç ö ø ÷ 1 2 暳 1-æ è ç ö ø ÷ 1 3 暳 1- æ è ç ö ø ÷ 1 4 暳 …暳 1-1æ è ç ö ø ÷ 99 =32暳 4 3暳 5 4暳 …暳10099暳 1 2暳 2 3暳 3 4暳 …暳9899 = 1002暳99 =5099 小 结暋该题的特点是项数较多,规律较为隐蔽,不易发现,对学生的要求较 高,巧妙的分组使计算变得极为简便。 例8暋计算:12暳3+ 1 3暳4+ 1 4暳5+ …+ 199暳100 点 拨暋一般地,形如 1k暳(k+1) 的分数可以拆分为1 k- 1 k+1 ,如 1 2暳3= 1 2- 1 3 ,1 3暳4= 1 3- 1 4 ,从第二项开始,依次每两项的和为0,最后只剩首尾两项。 详 解暋原式=12- 1 3+ 1 3- 1 4+ 1 4- 1 5+ …+199- 1 100 =12- 1 100 =49100 小 结暋要是通分后再计算,计算量就相当大,难以完成。而题中将每个分数 拆成两个数的差,再两两相消,从而大大的简化了计算过程,真是“山重水复疑无 路,柳暗花明又一村暠。裂项法求和是根据题目的运算符号及数字特点,把题中的 项分解,然后重新组合,使大部分的项相互抵消,只剩有限的几项,最终达到求和 的目的。 EW HOPE 1+28×1-18×+ ×⋯×1+1×1-97 计算： 项数太多， ， 分为一组， ,3×4×5×号×⋯×98×19,组， 加法的一组， ， 组也可以。 =1+18×1+38×8+49×⋯×1+18×1-18× 1-38×1-4?×⋯×1-1 2×4×5×⋯×××3×3×⋯×99 =2×99 =59 该题的特点是项数较多，规律较为隐蔽， ， ，巧妙 极为简便。 2×3+3×4+4×5+⋯+99×1008 计算： kX k+1 k-k+1,如2×3=2- 一般地， 3,3×4=3-4, , ，依 , 后只剩首尾两项。 1 3+3-4+4-+⋯+9-100 原 2-100 400 要是通分后再计算， 当大， ， ，从 过程， ，柳暗 ”。裂项法求和是根 字特点， ， ，使大部分 ， ， 的。 % $ # " ! 暋暋暋暋暋暋 5暋 暋 暋 莫 等 闲 氋 白 了 少 年 头 氋 空 悲 切 氜 氞 岳 飞 氠 挑 战 自 我 计算下列各题 1.19819- 5 1 5+8 8æ è ç ö ø ÷ 19 -4.8 2.2.35暳114+1.44暳125%+0.21暵0.8 3.(1)20112012暳2010 ;暋暋(2)57163暳 1 8 3 9 4 2 5.(1) 0. 4.2+2+2 2 7+8 2 1+2 2 3+7 2 9 92暳335暳5 2 5 435暳2.7暳1 4 5 ;暋暋(2)2011+2010暳20122011暳2012-1 分 ● 数 ● 的 1.1 9-5 +88-4.8 2.2.35×11+1. 4×125?.21÷0. 莫等闲;白了少年头，空悲切!(岳飞) 3.(1)201×2010 (2)57×g .3+9 2 8+43+729 ×,× (2)20201+×02022012 PUECPOWHEN ★#"★ 暋 暋 6暋 暋暋暋暋 6.1暳2暳3+2暳4暳6+ …+10暳20暳30 2暳3暳4+4暳6暳8+…+20暳30暳40 7.1+12+ 1 3+ …+æ è ç ö ø ÷ 1 9 暳 1 2+ 1 3+ …+1æ è ç ö ø ÷ 10 - 1+ 1 2+ 1 3+ …+1æ è ç ö ø ÷ 10 暳 1 2+ 1 3+ …+æ è ç ö ø ÷ 1 9 8.1+æ è ç ö ø ÷ 2 3 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 2 5 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 2 7 暳 1+ æ è ç ö ø ÷ 2 9 暳 …暳 1+ 2æ è ç ö ø ÷ 2011 9.16+ 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72 10.11暳3+ 1 3暳5+ 1 5暳7+ …+ 12009暳2011 NEW HOPE 6.Z×3×3+4×6×8+⋯+20×30×40 7.1+1+ +⋯+18× + +⋯+ 08-1+1+ +⋯+0× +3+⋯ 8.3+ ×+号8×1+-×d+9×⋯×3+2 8 6+1+20+3+4+56+ 10.文3+3×5+5x?+⋯+2009×2011 % $ # " ! 暋暋暋暋 7暋 暋 暋 宝 剑 锋 从 磨 砺 出 氋 梅 花 香 自 苦 寒 来 氌 氞 朱 熹 氠 暋暋11.1+ 11+2+ 1 1+2+3+ …+ 11+2+3+…+10 12.11+ 1 2+ 1 3+ …+1æ è ç ö ø ÷ 50 + 2 2+ 2 3+ 2 4+ …+2æ è ç ö ø ÷ 50 + 3 3+ 3 4+ 3 5+ …+3æ è ç ö ø ÷ 50 +…+ 4949+ 49æ è ç ö ø ÷ 50 + 50 50 分 数 的 11.1+1+2+1+ +⋯+ 3+⋯+1 12. 1+2+3+⋯+38+2+3+ +⋯+38+ +3+号+⋯+0 +⋯++396+5 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。(朱喜)