第四讲浓度问题-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " # $ 暋暋暋 23暋 暋 暋 磨 而 不 磷 氋 涅 而 不 缁 氌 氭 论 语 · 阳 货 氱 第四讲暋浓度问题 一则有趣的故事:狐狸卖一杯豆浆给黑熊四兄弟,熊四喝了1 6 杯,熊三加满水 后喝了1 3 杯,熊二加满水后喝了1 2 杯,熊大把剩下的半杯喝完了。喝完后,狐狸说 一杯豆浆3元,要求熊四付3暳16=0.5 (元),熊三付3暳13=1 (元),熊二和熊大各 付3暳12=1.5 (元)。黑熊四兄弟合计了下,共需4.5元,于是找狐狸算账。一杯 豆浆不是3元吗? 为什么要多付1.5元呢? 同学们,你们知道为什么吗? 我们知道,将糖溶于水就得到了糖水,其中糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。 如果水的量不变,那么糖加得越多,糖水就越甜,也就是说糖水甜的程度是由糖 (溶质)与糖水(溶液=糖+水)质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量 或糖含量,即浓度= 溶质 溶液暳100%= 溶质 溶质+溶剂暳100% 。 解决浓度问题,熟记公式,找准相应的量是关键,对于一些复杂的浓度问题, 列方程解题通常较为简单。 经 典 范 例 例1暋在含蜂蜜6%的500克蜂蜜水中,加入多少克水,能使蜂蜜水的浓 度变成2%? 点 拨暋把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在 这种稀释过程中,溶质的质量是不变的,再由“溶质暵浓度=溶液暠算出加水后的 蜂蜜水的质量。 详 解暋蜂蜜水中含蜂蜜500暳6%=30(克), 稀释后的蜂蜜水为30暵2%=1500(克), 加入的水为1500-500=1000(克)。 答:加入的水为1000克。 小 结暋这是一类“稀释问题暠,特点是增加溶剂,从而达到稀释溶液的目的, 但是不管加入多少溶剂,溶质的量是不变的。与之相对的是“浓缩问题暠,减少溶 浓 度 ： ，熊四喝了6 ， 后喝了言 12， ， 了。喝完后， 元， 求熊四付3×1 . ( ), 3×1=1(元),熊二和 3×1=1.5(元)。黑熊四兄弟合计了下， . 元， 3 为什么要多付1.5元呢?同学们，你们知 道， 得到了糖水， 中糖叫溶质，水叫溶剂， 水叫溶液。 ， ，糖 ，也就是说糖 ( = 十 ) ，即浓度=溶履×100??? 溶 ×100?? ， ，找 ， 浓度问题， 通常较为简单。 磨而不磷;涅而不缁。《论语·阳货》 1 ??500克蜂蜜水中，加入多少克水， 2% 把浓度高的溶液经添加溶剂变 ， ， 溶质÷浓度= ” 水的质量。 含蜂蜜500×6?0(克), 蜂蜜水为30÷2?50 (克), — =10 (克)。 ： 克。 这是一类“稀释问题” 加溶剂， 稀释溶液的目的， ， 之相对的是“ 问题” 23 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 24暋 暋暋暋 剂的量以达到提高浓度的目的,同样的,溶质的量是不变的。计算公式:溶质暵浓 度=溶液。 例2暋要把600克含糖为8%的糖水含糖量提高到20%,需要再加入多 少克糖? 点 拨暋在原有糖水中加糖,糖的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水的 质量并没有改变,可以“水的含量暠为突破口,求出最后溶液的质量,两次溶液的质 量差就是加入的糖的质量。 详 解暋糖水中含有水600暳(1-8%)=552(克), 最后溶液为552暵(1-20%)=690(克), 加入的糖为690-552=138(克)。 答:需要加入138克糖。 小 结暋这是一类“加浓问题暠,特点是增加溶质,解题的关键是找到“不变量暠 溶剂,再根据公式:溶剂暵(1-浓度)=溶液,即可快速解题。本题的巧妙之处在 于“含水量暠的运用,同学们可多加体会。 例3暋将浓度为10%的盐水和浓度为15%的盐水混合制成500克浓度 为13%的盐水,两种盐水应分别取多少克? 点 拨暋根据题意,混合前两种盐水中盐的质量之和=混合后盐水中盐的质 量,即10%盐水的盐+15%盐水的盐=13%盐水的盐。 详 解暋设需要10%的盐水x克,则15%的盐水为(500-x)克, 10%x+15%(500-x)=13%暳500 暋 暋暋暋暋75-5%x=65 暋暋暋暋暋暋 暋5%x=10 暋 暋 暋 暋暋暋暋暋x=200 15%的盐水为500-200=300(克)。 答:需要10%的盐水200克,15%的盐水300克。 小 结暋配制问题:是指将两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新 的溶液(成品),所取溶液的溶质之和不变以及溶液总和前后不变,找到两个相等 的量建立方程,问题就迎刃而解。 例4暋使用甲种农药每千克要兑水20千克,使用乙种农药每千克要兑水 E OPE 浓度的目的， ， 式： ÷ =溶液。 00 克含糖为8?? 提高到20需要再加入 在原有糖水中加糖， 增加了， 加了， 改变， ”为突破 ，求出最后 ， 入的糖的质量。 含有水600×(1-8?5 2(克), 液为552÷(1-20?690(克), 690—552=138(克)。 ：需 克糖。 这是一类“加浓问题”,特点是增加溶质，解题的关键是找到“不变量” ，再根据公式：溶剂÷(1—浓度)= ，即可快 含 ”的 ，同 体会。 将浓 ??盐水和浓度为15??盐水混合制成50 克 13??盐水，两种盐水应 根据题 ， 两种盐水中盐的质量之和= ，即 10??水的盐+15??水 1 ??水的盐。 10??盐水x克，则15??盐水为(500—x)克， 0?15?00—x) ?50 5-5?=6 ?10 =2 15??盐水为500—200=300(克)。 ：需要10?? 克，15??盐水30 克。 配制问题： 溶液总和前后不变， 程， 而解。 4 要兑水 千克， 24 ! " # $ 暋暋暋暋 25暋 暋 暋 蓬 生 麻 中 氋 不 扶 自 直 氌 氭 荀 子 · 劝 学 氱 40千克,根据农科院专家的意见,把两种农药混合起来用可以提高药效。现有两 种农药共5千克,要配药水140千克,则其中甲种农药需多少千克? (2006年北京市“数学解题能力展示暠读者评选活动) 点 拨暋与例3类似,只不过给出的是溶质与溶剂的比,根据两种农药每千克 的兑水量,以及配制前后的溶液质量相等建立等量关系。 详 解暋设甲种农药x千克,则乙种农药(5-x)千克, x(1+20)+(5-x)(1+40)=140 21x+205-41x=140 20x=65 x=3.25暋暋暋暋暋暋暋暋 暋暋暋暋暋暋暋 暋暋答:需要甲种农药3.25千克。 小 结暋这是一道与生活实际问题有关的浓度问题,题目未直接给出药水浓 度,但是给出了农药与水的比例关系,相当于间接给出了浓度。 例5暋现有一个装满100克浓度为40%的盐水的杯子,称如下过程为一 次操作:从中倒出40克盐水,再用水将杯子加满。三次操作后,杯中盐水的浓度 是多少? 点 拨暋要求盐水的浓度就需要知道盐的质量和盐水(或水)的质量,审题后 发现盐水的质量不变,每次操作后,杯中盐的质量就变成原来的60%,所以浓度变 为原来的60%。 详 解暋每次操作后,盐水的浓度就变成原来的1-40100暳100%=60% , 故三次操作后,杯中盐水的浓度40%暳60%暳60%暳60%=8.64%, 答:杯中盐水的浓度为8.64%。 小 结暋重复操作问题是浓度问题的难点,解决此类问题需要仔细分析每次 操作,把握溶质(或溶剂)的变化规律,局部观察,整体把握,灵活运用浓度公式。 例6暋现有甲、乙两个容器(足够大),其中甲容器装了800克纯酒精,乙 容器装了640克纯净水。将甲容器中的纯酒精倒一半到乙容器中,混合后,再将 乙容器中的溶液倒一半到甲容器中,这样视为一次操作。连续三次操作后,甲容 器中的溶液有多少克? 其中含有纯酒精多少克? 浓 ● 度 题 千克， ，把两种农药混合 千克， 千克， 2006年北京市“ 力展示” ) 与例3类似，只不过给出的是溶质与溶剂的比， ， 等建立等量关系。 设甲种农药x千克，则乙种农药(5—x)千克， 1+ +(5— ) +4 )=1 1x 2 — x 20x=65 =3. ： 3.25 千克。 蓬生麻中;不扶自直。《荀子·劝学》 这是一道与生活实际问题有关的浓度问题， ，但 关系， 给出了浓度。 5 100 40??盐水的杯子，称如下过程为 ：从中倒出 40克 ，再用水将杯子 ， 要求盐水的浓度就需要知道盐的质量和盐水(或水)的质量， ，每次操作后，杯中盐的质量就变成原来的60 60?? 00×100? , 每次操作后， 1 次操作后，杯中盐水的浓度40?60?60?60?. , ：杯中盐水的浓度为8.64?? 重复操作问题是浓度问题的难点， ， ( 剂)的变化规律，局部观察， 体把握， 用浓度公式。 现有甲、 ( ), 800克纯酒精， 纯酒精倒一半到乙容器中，混合后， ， 三次操作后， ? ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 26暋 暋暋暋 点 拨暋题中操作次数较多,每次操作两个容器中纯酒精和纯净水都有变化, 如第一次操作过程为:甲容器倒800暵2=400克纯酒精到乙容器中,乙容器倒400 暵2=200克纯酒精和640暵2=320克纯净水到甲容器中。用列表的方法可以很 好的理清每次操作后酒精和纯净水的数量关系。 详 解暋列表如下:(单位:克) 开始 第一次 第二次 第三次 甲—乙 乙—甲 甲—乙 乙—甲 甲—乙 乙—甲 甲 酒精 800 400 600 300 550 275 537.5 纯净水 0 0 320 160 400 200 420 乙 酒精 0 400 200 500 250 525 262.5 纯净水 640 640 320 480 240 440 220 暋暋三次操作后甲容器中的溶液为537.5+420=957.5(克)。 答:三次操作后甲容器中的溶液有957.5克,其中含有纯酒精537.5克。 小 结暋列表法是解决重复操作问题的重要方法之一,表格能清晰的表示各 个量的数量关系,有助于分析、解题。列表法还能培养条理性和思维的严密性,需 多加运用,并熟练掌握。 挑 战 自 我 1.在含盐5%的盐水中蒸去144克水,盐水的浓度就变成了12.5%,原来盐水 有多少克? 2.某种浓度为30%的商品农药,兑水稀释到2%时,治虫最有效。配制180千 克浓度为2%的农药需要该种商品农药多少千克? 3.甲、乙两种酒精浓度分别为25%和40%,要配制800克浓度为34%的酒 精,应当从这两种酒精中各取多少克? EW HOPE 题中操作次数较多， 容器中纯酒精和纯净水都有变化， ：甲容器倒8 0÷2= 0 容器中， ÷2=200克纯酒精 640÷2=320克纯净水到甲容器中。用 酒精和纯净水的数量关系。 列表如下：(单位： 一 0 00 0 5 0 00 0 2 0 40 320 0 240 440 537.5+420=957.5(克)。 ：三次操作 . 克， 537.5克。 列表法是解决重复操作问题的重要方法之一， ， 解题。列表 维的严密性， 用， 练掌握。 1 5??盐水中蒸去14 ，盐水的浓度就变成了12.5原来 2 30??商品农药， 2??，治 2??农药需要该种商品农药多 3 乙两种酒精浓度分别为25? 40要配制 00 浓度为34?? ，应当从这 26 ! " # $ 暋暋暋暋 27暋 暋 暋 真 者 氋 精 诚 之 至 也 氋 不 精 不 诚 氋 不 能 动 人 氌 氞 庄 周 氠 暋暋4.现有300克浓度为10%的硫酸溶液,要配制浓度为12%的硫酸溶液,需加 入多少克浓度为15%的硫酸溶液? 5.仓库运来含水量为90%的水果150千克,一星期后再测发现含水量变成了 85%,现在这批水果的总重量是多少千克? 6.甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把10克某种浓度的酒 精倒入甲试管中,混合后取10克倒入乙试管中,混合后从乙试管中取出10克倒入 丙试管中。现在丙管中的酒精的浓度为1.5%。最早倒入甲试管中的酒精浓度是 多少? 7.甲、乙两个容器分别装有800克浓度为50%、30%的酒精,称如下过程为一 次操作:从甲、乙两个容器中各取出200克酒精,再分别放入乙、甲两个容器中,并 充分混合。 (1)第一次操作后,甲、乙两个容器中酒精的浓度各是多少? (2)第四次操作后,甲容器中含有多少克纯酒精? 8.有甲、乙两个容器,分别装了若干纯酒精和水。第一次将甲的一半倒给乙, 混合后再把乙的一半倒给甲。这样再做一次后,甲中有22%的酒精溶液300克, 最初甲中有多少克酒精? 乙中有多少克水? 度 浓 ● 3 0 为10??硫酸溶液， 12??硫酸溶液， 度为15??硫酸 5 90??水果150千克，一星期后再测发现 现在这批水果的总重量是多少千 ? 6. 乙、丙3 10克、20 30 克水。把10 ，混合 10 管中， 10 管中的酒精的浓度为1.5??最早倒 7. 乙两个容器分别装有 800克浓度为50??30??酒精， ： 乙两个 200 ， 、 器中， 混合。 1 后， 乙两个容 ? 2 ， ? 8 乙 ，分别装了若干纯 一半倒给乙， ，甲中有 22?? 300克， ? 真者。精诚之至也;不精不诚;不能动人。(庄周) 27 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 28暋 暋暋暋暋 暋暋9.浓度为16%,18%,20%三种盐水,混合后得到100克18.4%的盐水。如果 18%的盐水比16%的盐水多20克,每种盐水各多少克? 10.瓶子里装有浓度为12%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和 400克的A、B 两种酒精溶液,瓶子里的酒精浓度变为10%。已知A 种酒精溶液 的浓度是B 种酒精溶液的2倍。A 种酒精溶液的浓度是多少? 11.现有A、B、C三根管子,A 管每秒流出4克含盐20%的盐水,B 管每秒流 出6克含盐15%的盐水,C管每秒流出10克水。C管打开后,开始2秒不流,接着 流5秒,然后又停2秒,再流5秒,……三管同时打开,1分钟后都关上,这时得到 的混合液中含盐百分之几? 12.现有A、B、C三种盐水,按A 与B 质量之比为2暶1混合,得到浓度为13% 的盐水;按A 与B 质量之比为1暶2混合,得到浓度为14%的盐水。如果A,B,C 质量之比为1暶2暶2,混合成的盐水浓度为15.6%,盐水C的浓度是多少? EW HOPE 9 为16?8?0??种盐水，混合后得到10 克18.4??盐水。如 18??盐水比16??盐水多20克，每种盐水各多少 ? 10 ??酒精溶液1000 克，现在又分别倒入 100 400 A B ，瓶子里的酒精浓度变为10?? A B种酒 倍。A种酒精溶液的浓度是 ? 11. A、B C ，A 4 克含盐 20?? ，B 6克 15??盐水，C管每秒流出10克水。C管打开后，开始2秒不流， 秒， 秒， 秒，⋯⋯ 打开，1 都关上， 12 B C 种盐水，按A与B 2: 混合， 13% ；按 A与B质量之比为1:2 ，得到浓度为14?? 如果A B C 为1:2: , 浓度为15.6盐水C的浓度是多 ? PUECPOWHEN ★#"★ 暋 暋162暋 暋暋暋暋 550元的稿费是5000元。 7.解:设学生有x人,原价为每人1元, 则2+70%x=(x+2)暳80%暳(1-10%), 解得x=28。 答:学生有28人。 8.解:设新设备的价格为x元, 购买新设备花费(1+2%)x元, 销售货物得到1+2% 1-3%x 元, 则1+2% 1-3%x暳3%+2%x=200 , 解得x=3880, 3880暳(1+2%)=3957.6(元)。 答:所购置的新设备花费了3957.6元。 9.解:第一次和第二次分开买共需 14暵5%=280(元), 易知三次一起买,优惠了10%, 则第三次优惠了 41.2-280暳10% =13.2 (元), 第三次单独买需 13.2暵(10%-5%)=264(元), 第二次花了280-264暳13=192 (元)。 答:这位顾客第二次买了192元钱的书。 10.解:设成本为单位“1暠,则定价为1暳(1+ 40%)=1.4, 打折后的售价为1.4暳85%=1.19, 3400暵(0.19暳3-0.4)暳1.4=28000(元)。 答:原来每天的销售额是28000元。 11.解:设桃子总数为1吨,成本为4.5暳1000+ 3暳400=5700(元), 桃子的售价为5700暳(1+20%)暵(1000暳 90%)=7.6(元)。 答:桃子的售价应定为每千克7.6元。 12.解:设每个显示器降价10x 元,则销售商多 订购了4x个, 电子厂的总利润为(2000-1400-10x)(120 +4x)=40(60-x)(30+x), 60-x+30+x=90为定值,则当60-x=30 +x,即x=15时,利润最大, 此时每个显示器售价为 2000-15暳10= 1850(元), 最大利润为452暳40=81000(元)。 答:电子厂每个显示器售价为1850时利润 最大,最大利润是81000元。 第4讲暋浓度问题 1.解:设原来盐水为x克, 则5%x=12.5%(x-144), 解得x=240。 答:原来盐水有240克。 2.解:180暳2%=3.6(千克), 3.6暵30%=12(千克)。 答:需要该种商品农药12千克。 3.解:设需甲种酒精x克,则乙种酒精为(800- x)克, 25%x+40%(800-x)=800暳34%, 解得x=320, 则乙种酒精为800-320=480(克)。 答:甲种酒精320克,乙种酒精480克。 4.解:设需要x克浓度为15%的硫酸溶液, 则300暳10%+15%x=12%(300+x), 解得x=200。 答:需加入200克浓度为15%的硫酸溶液。 5.解:150暳(1-90%)暵(1-85%)=100(千 克), 答:现在这批水果的总重量是100千克。 6.解:设最早加入甲试管的酒精浓度为x, 则 10x暳 1010+10暳 10 10+20 ( )= 10+30 暳 1.5%, 解得x=36%。 答:最早倒入甲试管中的酒精浓度是36%。 7.解:根据两个容器中纯酒精的含量列表如下: (单位:克) 开始 第一次 第二次 第三次 第四次 甲 400 360 340 330 325 乙 240 280 300 310 315 (1)甲容器中酒精浓度为360暵800暳100%= 45%,乙容器中酒精浓度为280暵800暳100% =35%; ! " # $ 暋暋暋163暋 暋 暋 一 年 之 计 在 于 春 氋 一 日 之 计 在 于 晨 氌 氞 萧 绎 氠 (2)由表中可看出第四次操作后甲容器中含 纯酒精325克。 答:略。 8.解:最后甲中含酒精300暳22%=66(克),含 水300-66=234(克), 最初 甲 中 有 酒 精 66暵 1-12+( ) 1 4 =88 (克),乙中有234暳2=468克水。 答:最初甲中有88克酒精,乙中有468克水。 9.解:设16%的盐水为x克,则18%的盐水为 (x+20)克,20%的盐水为(80-2x)克, 16%x+18%(x+20)+20%(80-2x)=100 暳18.4%, 解得x=20,20+20=40(克),80―40=40 (克), 答:16%的 盐 水 为 20 克,18% 的 盐 水 为 40 克,20%的盐水为40克。 10.解:设B的浓度为x,则A 的浓度为2x, 1000暳12%+100暳2x+400暳x=(1000+ 100+400)暳10%, 解得x=5%,5%暳2=10%, 答:A 种酒精溶液的浓度是10%。 11.解:A 管共流出4暳60=240克盐水,其中盐 为240暳20%=48(克), B管共流出6暳60=360克盐水,其中盐为 360暳15%=54(克), 60暵(2+5)=8……4,最后停2秒再流2 秒,C管共有5暳8+2=42秒流水,共流出 10暳42=420(克), 混合液中盐的含量为(48+54)暵(240+360 +420)暳100%=10%。 答:得到的混合液中含盐10%。 12.解:设A,B的浓度分别为x,y,单位质量为 1,则 2x+y=(2+1)暳13% x+2y=(1+2){ 暳14%,解得 x=12% y{ =15%, C的浓度为 (1+2+2)暳15.6%-1暳13%-2暳15% 2 = 17灡5%。 答:盐水C的浓度是17灡5%。 第5讲暋工程问题 1.解:甲队做4+20-12=12天相当于乙队做 12-4=8天, 所以乙队单独做需12+8=20(天), 甲队单独做需20暳128=30 (天)。 答:甲队单独完成需30天,乙队单独完成需 20天。 2.解:设全部工作量为120,甲每天完成4,乙每 天完成3。 两队休息期间未做的工作量是 (4+3)暳20-120=20, 因此乙休息了(20-4暳2)暵3=4(天)。 答:乙休息了4天。 3.解:军军7-4=3天完成了1330- 4 12= 1 10 , 完成全部需要1暵110暳3=30 (天)。 答:军军单独完成整个网站工程需要30天。 4.解:设总工作量为30,则甲每天完成3,乙每 天完成2, 因为两人合作天数要尽可能少,所以独做的 应是工作效率较高的甲, 甲做8天剩下30-3暳8=6, 乙做了6暵2=3(天), 答:两人最少合作了3天。 5.解:李明做甲工作的工作效率较高,张亮做乙 工作的工作效率较高, 因此让李明先做甲工作,张亮先做乙工作, 设乙工作的工作量为60,张亮每天完成4,李 明每天完成3, 8天后,李明完成甲工作,此时张亮还余下乙 工作60-4暳8=28, 由两人合作需要28暵(4+3)=4(天), 8+4=12(天)。 答:完成这两项工作最少需要12天。 6.解:刘军和王强的工作效率之和为 13 暵6= 1 18 , 王强和李明的工作效率之和为 1-( )13 暳 1 4