第十七讲染色问题-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋130暋 暋暋暋暋 第十七讲暋染色问题 1.染色问题 染色是分类的直观表现,在数学竞赛中有很多以染色为背景的问题,这类问 题的特点是知识点少,逻辑性强,技巧性强,其内部蕴藏着深刻的数学思想。 解答染色问题,并不需要具备很多的数学知识,只需要具有缜密的思考能力 和较强的分析能力。解决染色问题常用的方法有以下几种:奇偶分析、归纳法、抽 屉原理、构造法、组合计数等。 2.染色方法 像国际象棋的棋盘那样,将问题中的对象适当进行染色,有利于观察、分析对 象之间的关系,我们可以把被研究的对象染上不同的颜色,许多隐藏的关系会变 得明了,再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决,这种解题方法称为染色 法。常见的染色方式有:点染色、线段染色、小方格染色和区域染色。 经 典 范 例 例1暋教室里有5排椅子,每排5张,每张椅子上坐一个学生。如果一周 后,每个学生都必须与和他相邻(前、后、左、右)的某一个同学交换座位,能不能换 成? 为什么? 点 拨暋将25个座位相间染色,再利用奇偶性进行分析。 详 解暋如图,将25个座位相间染色: E OPE 1. ， 背景的问题， 识点少， ， ， 学思想。 ， ， 色问题常用的方法有以下几种：奇偶分析、归纳法、 、 、 数等。 2. 棋盘那样， 当进行染色， 于观察、 ，我们可以把被 ， ，再通过对染色图 ， 的染色方式有： 染色、 、 区域染色。 1 5排椅子， 张， ，每 邻(前、 左 右)的某一 ， 为什么? 将25个座位相间染色，再利用奇偶性进行分析。 如图， 25个座位相间染色： 0 ! " # $ 暋暋暋131暋 暋 暋 其 曲 弥 高 氋 其 和 弥 寡 氌 氞 宋 玉 氠 按照题目规定交换座位,就是将黑格与白格全部进行交换, 但黑格有13个,白格有12个,黑格比白格多一个, 这就是说,这种交换总有1人办不到,因此不能换成。 小 结暋解决染色问题常采用奇偶性进行分析,最后得出结论。 例2暋中国象棋盘的任意位置上有一只马,它跳了若干步正好回到原来 的位置。马所跳的步数是偶数还是奇数? 为什么? 点 拨暋马走“斜日暠,我们首先将棋盘上的各点按黑白色间隔染色之后再分 类分析。 详 解暋把棋盘上各点按黑白色间隔染色,如下图: 如果马从黑点出发,第一步只能跳到白点(马走“斜日暠),第二步再从白点跳 到黑点。因此马从起点位置相继经过:白、黑、白、黑、…要想回到黑点必须白、黑 成对,即跳偶数步。 同理,如果马从白点出发,要想回到白点也必须跳偶数步。 由此可见,马所跳的步数是偶数步。 小 结暋最常见的染色方法就是相间染色。 例3暋正方形的展览会场地被分割成16间相同的正方形房间,每个房间 都有门通向隔壁房间(如左图)。现在安排入口在右下角,出口在左上角。能不能 使参观的人不重复地走完所有房间? 点 拨暋将16个房间相间染色。 包 染 定交换座位， 白格全部进行交换， 13个，白格有12个，黑格比白格多一个， ， 1人办不到，因此不能换成。 解决染色问题常采用奇偶性进行分析，最后得出结论。 中国象棋盘的任意位置上有一只马， ? 马走“ ”,我们首先将 析。 把棋盘上各点按黑白色间隔染色，如下图： ， ( 走“ ”), 马从起点位置相继经过：白、黑、 ⋯要 须白、 ， 数步。 ， ， 跳偶数步。 ， 是偶数步。 最常见的染色方法就是相间染色。 3 16间相同的正方形房间， ， 出 出口 入口 入口 将16个房间相间染色。 其曲弥高;其和弥寡。(宋玉) 131 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋132暋 暋暋暋暋 详 解暋我们把16间房间如图黑白相间染色, 因为入口是黑格,接着进入的必定是白格,随后又从白格进入黑格, 房间一共16间,其中黑格和白格各8个, 由于黑、白格的房间数相等,线路又是黑白相间, 所以出口处应是白格,但现在的出口处是黑格, 因此不能使参观的人不重复地走完所有房间。 小 结暋染色方法是对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。利 用染色的方法能解决很多问题。 例4暋一批现成的木箱,尺寸是6暳6暳6,现有一批商品,每件都是长方 体形状,它们的尺寸是1暳2暳4,能不能用这样的商品将木箱填满? 点 拨暋如果用6暳6暳6暵(1暳2暳4)=27来算,说正好装27件商品,那就错 了。事实上这27件商品是无法全部装入木箱的,原因在哪里呢? 通过染色法可 找出原因。 详 解暋将6暳6暳6的木箱分成216个1暳1暳1的单位正方体,每8个单位 正方体可组成一个2暳2暳2的正方体,整个正方体一共有27个这种正方体。我们 相间地将其染成黑、白两色,其中14个染成黑色,13个染成白色。这样,一共有8 暳14=112个黑色单位正方体,8暳13=104个白色单位正方体。 把1暳2暳4的商品放入木箱,每件商品必须填充8个单位正方体,其中黑色和 白色的都是4个,保持相等的关系。但由于112曎104,所以商品不能填满木箱。 小 结暋染色的方法往往取决于“格子暠的形状,其在空间的位置特征决定了 方法的特殊性。 例5暋有一个4暳4的方格图形,将其中一些方格染成黑色,然后任意划 去两行、两列方格。如果要求剩下的方格里至少还有一个黑格,那么至少要将几 E OPE 我们把16间房间如图黑白相间染色， 黑格， 定是白格， 白格进入黑格， 16间， 8个， 等， 白相间， 处应是白格， 的出口处是黑格， 不重复地走完所有房间。 染色方法是对题目所研究的对象进行 解决很多问题。 4 一批现成的木箱，尺寸是6×6×6,现有一批商品， ，它们的尺寸 1×2×4 ? 如果用6×6×6÷(1×2×4)=27来算，说正好装27 件商品， 27 ， ? 原因。 6× × 的木 个1×1×1的单位正方体， 个 2×2×2的正方体， 27 ，其中14 ，13 成白色。这样， 有 ×14 11 个黑色单位正方体，8×13 104个白色单位正方体。 1×2×4的商品放入木箱， 8个单位正方体， 个， 112≠104,所以商品不能填满木箱。 染色的方法往 取决于“格子” ， 了 特殊性。 5 ×4的方格图形， 一些方格染成黑色， 两列方格。如果要求剩 ， 132 ! " # $ 暋暋暋133暋 暋 暋 略 翻 书 数 则 氋 便 不 愧 三 餐 氌 氞 陈 字 自 氠 个方格染成黑色? 点 拨暋先画图说明只染7个方格是可以的,再证明少于7个不行。 详 解暋如图,将图形中的7个小方格染成黑色, 不论划去哪两行和两列,都至少剩下一个黑格。 下面证明:将任意6个小方格染成黑色,总可以划去两行和两列,使得没有黑 格剩下。 若任意两行含有最多3个黑格,黑格总数最多2+1暳3=5个,矛盾, 所以存在两行含有至少4个黑格,将这两行划掉, 剩下的两个黑格可通过两列划掉。 答:至少要将7个方格染成黑色,才能满足题目条件。 小 结暋画出符合题意的图后,我们还要证明比染7个更少的都不符合题意, 这样才能得出至少要将7个方格染黑的结论。 例6暋将正方体的六个面涂上颜色,每个面涂红、黄、蓝色中的一种,正方 体有些顶点是三个颜色不同的面的交点。这样的顶点最多有多少个? 再把每一个 这样的顶点都装上红、黄、蓝三色灯泡之一,问:至少有几个灯泡的颜色是相同的? 点 拨暋要使由三种颜色都不同的面的交点形成的顶点尽可能多,只要把正 方体的三对相对的两个面分别涂成红色、黄色或蓝色即可。 详 解暋只要把正方体的三对相对的两个面分别涂成红色、黄色或蓝色,那么 每个顶点的三个面就互不相同了,即正方体的8个顶点都符合题目要求。 8暵3=2……2,根据抽屉原理,至少有3个灯泡的颜色是相同的。 小 结暋染色问题中经常用到抽屉原理,同时利用染色也是制造抽屉的常用 方法。 例7暋图1是4个1暳1的正方形组成的“L暠形,用若干个这种“L暠形硬 纸片无重叠地拼成一个m暳n(长为m 个单位,宽为n个单位)的矩形,如图2。试 染 色 向 题 先画图说明只染7个方格是可以的，再证明少于 7个不行。 如图， 7个小方格染成黑色， 哪两行和两列， 下一个黑格。 ：将任意6 色， 列， 下。 3个黑格， 2+1×3=5个，矛盾， 有至少4个黑格，将这两行划掉， 通过两列划掉。 ：至 7个方格染成黑色， 满足题目条件。 画出符合题意的图后，我们还要证明比染 7个更少的都不符合题意， 7个方格染黑的结论。 略翻书数则;便不愧三餐。(陈字自) 6 的六个面涂上颜色，每个面涂红、黄、 种， 色不同的面的交点。这样的顶点最多有多少个? 都装上红、 ， ：至少有几个灯泡 要使由三种颜色都 的面的交点形成的顶点尽可能多， 对的两个面分别涂成红色、黄色或蓝色即可。 只要把正方体的三对相对的两个面分别涂成红色、黄色或蓝色， ， 个顶点都符合题目要求。 8÷3 2⋯⋯2,根据抽屉原理， 个灯泡的颜色是相同的。 染色问题中经常用到抽屉原理， 法。 7 是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L” m×n( m个单位，宽为n个单位)的矩形，如图 2 1 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋134暋 暋暋暋暋 证明 mn必是8的倍数。 点 拨暋这个m暳n的矩形是用若干个“L暠形硬纸片无重叠拼成的,即可说明 mn必是4的倍数,再通过染色来证明 mn必是8的倍数。 详 解暋易知m暳n是4的倍数,曕m、n中必有一个是偶数,不妨设为m, 把m暳n矩形中的m 列按一列黑、一列白间隔染色(如图2), 则不论“L暠形在这矩形中的放置位置如何(“L暠形的放置,共有8种可能),“L暠 形或占有3白1黑四个单位正方形(第一种),或占有3黑1白四个单位正方形(第 二种)。 设第一种“L暠形共有p个,第二种“L暠形共有q个,则m暳n矩形中的白格单 位正方形数为3p+q,而它的黑格单位正方形数为p+3q。 曔m 为偶数,曕m暳n矩形中黑、白条数相同,黑、白单位正方形总数也必相 等。 故有3p+q=p+3q,从而p=q。 曕“L暠形的总数为2p个,即“L暠形总数为偶数, 所以m暳n一定是8的倍数。 小 结暋直接证明 mn是8的倍数不好证,所以我们先证 mn是2的倍数,由 此得出 mn中必有一个是偶数,再进一步证明 mn是8的倍数。 挑 战 自 我 1.音乐教室里有7排椅子,每排7把,每把椅子上坐着一个学生。老师每月都 要将座位调换一次,张明同学向老师建议,每个同学都必须与他相邻(前、后、左、 右)的某一个同学交换座位。老师告诉他,这样交换座位不可能做到。你知道为 什么吗? E OPE mn 8的倍数。 m n 图1 图2 这个m×n的矩形是用若干个“L”形硬纸片无重叠拼成的， 必是4的倍数，再通 m 必是8的倍数。 易知 ×n是4的倍数，∴m、 中必有一个是偶数， , × 矩形中的m列按一列黑、一列白 ), “L” 放置位置如何(“L” 的放置， 种可能),“L” 3 1黑四个单位正方 ( 3 1白四个单位正方 ( 种)。 L”形共有p ，第二种“L”形共有q个，则m×n +q,而它的黑格单位正方形数为 +3q。 ∵m为偶数，∴ × 矩形中黑、白条数相同， 白 。 p q=p+3q,从而 p=q。 ∴ L”形的 个，即“ ” 偶数， m×n 8的倍数。 直接证明 mn是8的倍数不好证，所以我们先证 mn是2 的倍数， mn ， mn 的倍数。 1. 7排椅子， 7把， 一次， 老师建议， 个同学都必须与他相邻(前、后、左、 ， 134 ! " # $ 暋暋暋暋135暋 暋 暋 读 书 如 行 路 氋 历 险 毋 惶 恐 氌 氞氭 清 诗 铎 · 读 书 氱氠 2.用三种颜色对下图进行染色,能不能使得相邻的区域颜色不同? 3.一个“马暠放在5暳5的棋盘上,它接连跳25次,能否跳遍棋盘上每一格并且 回到初始位置? 4.有一个8暳8的棋盘方格,请将每一个方格染成黑色或白色,使得每行每列 都有恰好6个方格同色,并且黑、白方格的总数都是32个。 5.证明:用15块大小是4暳1的矩形瓷砖和1块大小是2暳2的矩形瓷砖,不 能恰好铺盖8暳8矩形的地面。 6.8暳8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2暳2的正方形和9个4暳1的长 方形? 如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由。 7.如下图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中 有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体爬到与这个正方体相邻的6个小正方体。那 么甲虫能不重复地走遍所有的正方体吗? 色 向 染 ● 2 ， 3 马”放在5×5 ，它接连跳25 ， 4 × 的棋盘方格， 或白色， 6 格同色， 个。 5 ：用15 4×1 块大小是2×2 的矩形瓷砖， × 矩形的地面。 6 8×8 棋棋盘能不能被剪成7个2×2 形和9 × 如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。 7 ，把正方体分割成27 体， ，甲虫能从每个小正方体爬到与这个正方体相邻的6 ? 读书如行路;历险毋惶恐。《清诗铎·读书》 1 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋136暋 暋暋暋暋暋 暋暋8.平面上n(n曒2)个点A1、A2、A3、…An 顺次排在同一条直线上,每点涂上黑 白两色中的某一种颜色。已知A1 和An 涂上的颜色不同。证明:相邻两点间连接 的线段中,其两端点不同色的线段必为奇数条。 9.用黑、白两种颜色将一个5暳5的长方形中的小方格随意染色。求证:在这 个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形,它的四个角上的小方格同色。 10.能否用下图中各种形状的纸片(不能剪开)拼成一个边长为99的正方形 (图中每个小方格的边长为1)? 请说明理由。 11.如图由18块1暳1的正方形拼成,你能否用9块2暳1的长方形将图形盖 住。 12.能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹 着1个数,两个2之间夹着2个数,…,两个1986之间夹着1986个数? 请证明你 的结论。 EW HOPE 8 ( ≥2)个点A?、 ?、A? ⋯A, 线上， A? ,涂上的颜色不同。证明： ， 段必为奇数条。 9 白两种颜色将一个5×5 小方格随意染色。求证： 个由小方格组成的长方形， 四个角上的小方格同色。 10. ) 一个边长为 99 )?请说明理由。 11. 18 1×1的正方形 ， 能否用9 2×1的长方形 。 12 , , , , , ,⋯, , ，使得两个1 个数， 2 个数，⋯ 6 ? 论。 6 ! " # $ 暋暋暋179暋 暋 暋 怀 疑 并 不 是 缺 点 氌 总 是 疑 氋 而 并 不 下 断 语 氋 这 才 是 缺 点 氌 氞 鲁 迅 氠 答:AB两地相距1680米。 第17讲暋染色问题 1.解:因为每个同学只能换一次,只能是两人对 换。我们将椅子用方格表示,因为是对换,换 的位置只有两种,故用黑、白间隔开。如下 图,按张明的建议:黑曻白,白曻黑,那么黑格 和白格的数目应该相等。黑、白格总数应为 偶数,而7暳7=49是奇数。奇数曎偶数,故 张明的建议不能采用。 2.解:不能,因为每块都与其他三块相邻,所以 至少需四种颜色。 3.解:不能。对这个5暳5的棋盘进行黑、白相 间染色,“马暠第一步跳入与原位置不同颜色 的一格,第二步则回到与原来位置同色的一 格,第二步又与原位置不同色……跳了奇数 次后,“马暠跳入与原位置颜色不同的格,故跳 25次后,“马暠不可能回到原来的位置。 4.解:本题的解很多,下面给出两个,如图: 5.证明:如图,以黑白两种颜色将整个地面的方 格染色。 显然,地面上黑、白格各有32个。 每块4暳1的矩形砖不论是横放还是竖放,且 不论盖在何处,总是占据地面上的两个白格 和两个黑格,故15块4暳1的矩形砖铺盖后 还剩两个黑格和两个白格。但一块2暳2的 矩形砖,总是盖住三黑一白或一黑三白。这 说明剩下的一块2暳2矩形砖无论如何盖不 住剩下的二黑二白的地面。从而问题得证。 6.解:如下图,对8暳8的棋盘染色, 则每一个4暳1的长方形能盖住2白2黑小 方格,每一个2暳2的正方形能盖住1白3黑 或3白1黑小方格。推知7个2暳2的正方 形盖住的黑格总数是一个奇数,但图中的黑 格数为32,是一个偶数,故这种剪法是不存在 的。 7.解:甲虫不能走遍所有的正方体。将27个小 正方体,黑白相间染色,使得中心的小正方体 染成白色,且两个相邻的小正方体染上不同 的颜色。显然,在27个小正方体中,14个是 黑的,13个是白的。甲虫从中间的白色小正 方体出发,每走一步,方格就改变一种颜色。 故它走27步,应该经过14个白色的小正方 体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至 少有一个小正方体,甲虫进去过两次。由此 可见,甲虫不能不重复地走遍所有的小正方 体。 8.证明:赋予黑点以整数值1,白点以整数值2, 点Ai 以整数值为ai,当Ai 为黑点时,ai=1,当 Ai 为白点时,ai=2。再赋予线段AiAi+1以 整数值ai+ai+1,则两端同色的线段具有的整 数值为2或4,两端异色的线段具有的整数值 为3.所有线段对应的整数值的总和为 a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1 +an)=a1+an+2(a2+a3+…+an-1)=2+ 1+2(a2+a3+…+an-1)为奇数。 设具有整数值2、3、4的线段的条数依次为p、 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋180暋 暋暋暋暋暋 m、n,则2p+3m+4n为奇数。则m 为奇数。 9.解:第一行的5个小方格用黑、白两种颜色去 染,根据抽屉原理,至少有3个小方格同色。 不妨设第一行的前3个为白格。现在考虑位 于这3个白格下面的那个3暳4的长方形(如 下图),用黑、白两种颜色去染这个3暳4的长 方形,有以下两种情况: 白 白 白 栙若在某一行的3个方格中出现两个白格, 则它们与上方第一行相应的两个白格可组成 四角同为白色的长方形。 栚若任意一行的3个小方格中都不含两个白 格,也就是每一行的3个小方格所涂的颜色 只有一白二黑或三黑,则只有下面(1)、(2)、 (3)、(4)共4种可能。如果(4)出现在某一行 中,那么不管其他三行为(1)、(2)、(3)、(4)中 的哪种情况,必有一个四角为黑色小方格的 长方形。如果(4)未出现,则在这四行中只能 出现(1)、(2)、(3)这3种情况,由抽屉原理可 知,必有两行染色方式完全相同,显然这两行 中的4个黑色小方格可构成四角同黑的长 方形。 10.证明:不能。我们将99暳99的正方形黑白 相间染色,且相邻的方格颜色不同,由于99 暳99为奇数,两种颜色的方格数相差1,而 每一种纸片中,两种颜色的方格数相差数0 或3,如果它们能拼成一个大正方形,那么其 中两种颜色之差必为3的倍数。矛盾! 11.解:如图,将小方格黑白相间涂色, 那么有8块白格和10块黑格。每一块2暳1 的长方形能够且只能盖住一块白格和一块 黑格。所以9块2暳1的长方形应覆盖9块 白格和9块黑格,矛盾,所以不能。 12.将1986暳2个位置按奇数位用白色,偶数位 用黑色染色,于是黑白点各有1986个。 同一个偶数占据一个黑点和一个白点,于是 993个偶数,占据白点A1=993个,黑点B1= 993个。同一个奇数要么都占黑点,要么都 占白点。所以奇数占偶数个白点,但993个 奇数占据白点1986-993=993个,为奇数, 矛盾。 故这种排法不可能。 第18讲暋统计与概率 1.解:小亮的年龄除第5外,在第1至第4之间 的可能性相同,都是1 4 。 答:小亮的年龄最大的概率是1 4 。 2.解:因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个,偶数只 有2个, 所以木块向上一面写着奇数的概率较大, 答:小亮获胜的概率较大。 3.解:球落在以球洞为圆心、半径为1的区域内 均符合条件, 其概率为 毿暳1暳1 毿暳12暳12= 1 144 。 答:略。 4.解:13暵 (1 25+ 1 20+ 1 15 )=10047 (天)。 答:三人合做,完成全工程的1 3 要100 47 天。 5.解:这五个数字构成的车牌号共5暳4暳3暳2 暳1=120(个),