第十九讲分析与推理-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " # $ % 暋暋暋暋145暋 暋 暋 学 而 不 厌 氋 诲 人 不 倦 氌 氞 孔 子 氠 第十九讲暋分析与推理 逻辑推理问题是一类不涉及到专门的数学定理和公式的数学问题。我们在 解答这类问题时,一般要运用逻辑思维的三条基本规律:同一律、矛盾律、排中律。 1.同一律要求同一思维过程中,对同一个对象的思维必须是确定的,任何思 想反映什么,对象就反映什么。 2.矛盾律要求同一思维过程中,对同一对象的思想不能自相矛盾,不能既真 又假,也就是在同一时间和同一关系下,不能既肯定又否定同一个对象。 3.排中律要求在同一思维过程中,一个思想或为真或为假,不能不真又不假。 推理问题在解答过程中,除确切地运用逻辑推理外,还要运用图标等工具。 经 典 范 例 例1暋A、B、C、D 四名学生猜测自己的数学成绩, A 说:“如果我得优,那么B也得优暠; B说:“如果我得优,那么C也得优暠; C说:“如果我得优,那么D 也得优。暠 大家都没有说错,但是只有2个人得优。谁得了优? 点 拨暋先假设A 得优,从这个假设出发,得出其他的结论,如果得出的结论 中有自相矛盾的,则A 不得优,再假设B得优,如此推理,直到得出正确的结论。 详 解暋假设A 得了优,则由A、B、C都没有说错可得A、B、C、D 四人都得了 优,与只有2个人得优矛盾,所以A 不得优; 假设B得了优,则从B、C都没有说错可知,B、C、D 三人都得了优,也与只有2 个人得优矛盾,所以B不得优; 假设C得了优,根据条件,得优的2人是C和D。 答:C和D 两人得了优。 小 结暋解决逻辑推理问题常采用假设法,即先做出一种假设,从这一假设出 发,充分利用每一个条件进行层层推理,得到正确的结论。如果推出自相矛盾的 结论,再进行假设推理,直到得出正确的结论。 分 析 与 为 问题时， 运用逻辑思维的三条基本规律：同一律、矛盾律、排中律。 1. ， 是确定的， ,对象就反映什么。 2 ， 相矛盾， ， 下， 同一个对象。 3 在同一思维过程中， 思想或为真或为假， 不真又不假。 答过程中， 运用逻辑推理外， 运用图标等工具。 学而不厌;诲人不倦。(孔子 1 、 C D 自己的数学成绩， 说：“ ， B也得优”; B说： ，那么C也得优”; C说： ， 也得优。” ， 2 先假设 A得优，从这个假设出发， 结论， 的， A 得优， B得优， 理， 的结论。 假设 A得了优，则由 、B C A、 、C D ，与 2 人得优矛盾， A不得优； B 优， B、C都没有说错可知，B、C D ， 2 矛盾， B不得优； 得了优， ，得优的2 C D。 ：C D两人得了优。 解决逻辑推理问题常采用假设法，即先做出一种假设， ，充分利 ，得到正 ， ， 的结论。 145 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋146暋 暋暋暋暋 例2暋 从 敌 方 截 获 了 10 组 数 据:14073,63136,29402,35862,84271, 79588,42936,98174,50811,07145。破译人员知道这是一个五位数的密码。每一 组数据与这个密码都恰有一个数位上的数字相同。这个密码是多少? 点 拨暋因为每一组数据都只有一个数字“正确暠,所以10组数据共有10个 数字“正确暠,即五个数位上“正确暠数字的个数之和为10。 详 解暋第一位上的数字各不相同,只能有1个数字“正确暠;第二位上有2个 “4暠,2个“9暠;第三位上有3个“1暠、2个“8暠;第四位上有3个“7暠、2个“3暠;第五位 上有2个“1暠、2个“2暠、2个“6暠,若每个数位上取个数最多的为“正确暠数字,那么 有:1+2+3+3+2=11(个)(不符合),故有一位上不取最多的次数,由数据98174 中“1暠和“7暠同时出现,所以必有一个不正确,若第三位正确的数字是“1暠,则第四 位正确数字只能是“3暠,这样数据63136中“1暠和“3暠都正确,矛盾。故第三位正确 数字是8,第四位正确数字是7,于是第五位上是6,第二位是9,第一位0,所以密码 是09876。 小 结暋在找相同数字的个数时,可将10个五位数对齐排成一个竖列然后以 相同的数字为突破口。 例3暋红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一包,在桌子上排成一行,让 A、B、C、D、E五人猜各包珠子的颜色,每人只猜两包。 A:第二包是紫的,第三包是黄的; B:第二包是蓝的,第四包是红的; C:第一包是红的,第五包是白的; D:第三包是蓝的,第四包是白的; E:第二包是黄的,第五包是紫的; 猜完后打开纸包,发现每人都只猜对了一包,并且每包恰有一人猜对,请判断 他们各猜对了那一包。 点 拨暋由于题目给的条件比较多,可采用列表的方法。 详 解暋解:列表如下: 一 二 三 四 五 A 紫暳 黄曁 B 蓝曁 红暳 C 红曁 白暳 D 蓝暳 白曁 E 黄暳 紫曁 暋暋栙由“每包恰有一个人猜对暠可知第一包是红的,C猜对了。 E OPE 方截获了 10 组数据： 3 , 79588 42936 98174 508 1 07145 ? 因为每 正确”,所以10组数据共有10 ”,即 ”数字 10。 第一位上的数字各不相同， 1个数字“ ”; 2 4”,2个 9”;第三位上有3个“ ” 2 8”;第四位 个“7” 2 “3”; 2个“1” 2 “2”、2个“6”,若每个数位上 的为“ 确” ， ：1+2+3+3+2=11(个)(不符合),故有一位上不取最多的次数， 98174 1”和“7”同时出现，所以必有一个不正确，若第三位 是“1”, 只能是“ ”, 6中“ ” 3”都正确，矛盾。故第 8 7 6 9, 0, 09876。 在找相同数字的个数时， 10 为突破口。 蓝、白、紫五种颜色的珠子各 ，在桌 行， 、B C D E 的颜色， 只猜两包。 A:第二包是紫的，第三包是黄的； B: 二包是蓝的， 包是红的； C: 一包是红的， 五包是白的； :第三包是蓝的， 四包是白的； E: 二包是黄的， 包是紫的； 包， ， 人猜对， 那一包。 由于题目给的条件比较多，可采用列表的方法。 解：列表如下： X √ √ X √ × × √ X √ ① 对” 红的，C猜对了。 146 ! " # $ % 暋暋147暋 暋 暋 不 骄 方 能 师 人 之 长 氋 而 自 成 其 学 氌 氞 谭 嗣 同 氠 栚由“每人只猜对了一包暠可知C 不可能再猜对第五包,只有E 猜对第五包, 第五包是紫的。 栛由栙可知第四包不是红的,所以第四包是白的,D 猜对了。 栜由栛可知第三包不是蓝的,所以第三包是黄的,A 猜对了。 栞综上可知第二包是蓝的,B猜对了。 答:略。 小 结暋列表画图法是我们常用的方法之一,在必要时画一个草图,或列一个 表格,有助于分析。 例4暋车间调来一名新工程师,A、B、C、D、E 五名青年工人分别打听到 这位工程师的情况是: A:北京来的男王工程师,毕业于交大; B:北京来的女丁工程师,毕业于清华; C:杭州来的男马工程师,毕业于浙大; D:北京来的女李工程师,毕业于清华; E:上海来的男王工程师,毕业于浙大。 工程师来到之后,五名青年工人才发现每个人打听到的性别、姓名、地址、学 校都恰有一个是正确的,当然这位工程师是唯一确定的,请你说出他的真实情况。 点 拨暋根据已知条件,列出下表,并约定:凡正确的情况,在它所处的方格右 方打上“曁暠,否则就打“暳暠,选择性别作突破口是因为“非男即女暠,没有中间状态 的判断存在。 详 解暋易知女为真,男为假。否则B、D两人不能确定工程师的其他三种情况。 容易判断姓马为真,姓王为假,否则C一人不能确定工程师的其他两种情况。 性别 姓 地址 学校 A 男暳 B 女曁 暳 暳 暳 C 男 D 女曁 暳 暳 暳 E 男 性别 姓 地址 学校 A 男暳 王暳 B 女曁 暳 暳 暳 C 男暳 马曁 D 女曁 暳 暳 暳 E 男暳 王暳 性别 姓 地址 学校 A 男暳 王暳 北京暳 交大曁 B 女曁 丁暳 北京暳 清华暳 C 男暳 马曁 杭州暳 浙大暳 D 女曁 李暳 北京暳 清华暳 E 男暳 王暳 上海曁 浙大暳 暋暋 小 结暋此题较为复杂,我们采用了多次列表画图法,从较容易做出判断的性 别入手,再推理出姓氏,最后得出地址、学校的真实情况。 例5暋有A、B、C、D、E 五支球队参加足球循环赛,每两个队之间都要赛 分 析 与 理 ② 每人只猜 ”可知C 对第五包， E猜对第五包， 包是紫的。 ③ ① 包不是红的， 白的，D猜对了。 ④ ③ 三包不是蓝的， 包是黄的，A猜对了。 ⑤ 第二包是蓝的， 猜对了。 ： 。 列表画图法是我们常用的方法之一，在必要时画一个草图， ， 分析。 4 一名新工程师， 、 C D E 五名青年工 师的情况是： A:北京来的男王工程师，毕业于交大； B: 京来的女丁工程师，毕业于清华； C: 州来的男马工程师，毕业于浙大； :北京来的女李工程师，毕业于清华； E: 海来的男王工程师，毕业于浙大。 ， 现每个人打听到的性别、姓名、地址、 正确的， 是唯一确定的， 他的真实情况。 根据已知条件，列出下表， ： ，在 √”,否则就 ×”,选择性别作突破口 非 ”,没 存在。 易知女为真，男为假。否则 B、D两人不能确定工程师的其他三种情况。 ， ，否则C 定工程师的其他两种情况。 × × × × X × √ √ X X X √ X × X √ × × X × √ × √ × X √ X X × √ × × × √ X × X × × × X √ × 不骄方能师人之长，而自成其学。(谭嗣同) 此题较为复杂， 画图法， ， ， 地址、 真实情况。 5 有A、B C、 、 五支球队参加足球循环赛， ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋148暋 暋暋暋暋 一场,当比赛快要结束时,统计到的成绩如下: 队名 获胜场数 平局场次 失败场次 进球个数 失球个数 A 2 1 0 4 1 B 1 2 0 4 2 C 1 1 1 2 3 D 1 0 3 5 5 E 0 2 1 1 5 暋暋已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局,并且比分都是1暶1,那么B 与D 两队 之间的比分是多少? 点 拨暋首先确定哪些队之间已经赛过及胜负情况,再根据平局,以及进球和 失球数逐步推导出每场比赛的比分。 详 解暋由D 赛了4场和A 与E 及B 与C 都赛过可得下图栙。(两队之间赛 过就连一条直线段) 因为A 胜2场平1场,并且A 与E 是平局,所以A 的另2场都胜,又因为B 没输过,所以A 与B 没赛过,A 的另一场比赛是与C,B 的另一场比赛是与E,如 上图栚。 确定了比赛过的场次后,再将胜负标在图上,箭头由胜方指向负方,平局没有 箭头。因为A2胜1平,A 与E 是平局,所以A 胜C 和D,又因为C1胜1平1负, C平B,C负A,所以C胜D,又因为E只进1球,A 与E 是1暶1,所以E在与B 和 D 的比赛中无进球,不可能胜,D 又没有平局,所以B 与E 平,B 胜D,D 胜E,如 下图栛所示: 再根据进球数与失球数可得到上图栜。B与D 的比分是3暶1。 小 结暋本题的难度较大,四支队伍中只有 D 赛了四场,以此为突破口结合 题中条件先确定哪些队之间已经赛过及胜负情况,最后才能根据胜负情况以及进 EW HOPE ， 时， 成绩如下： 1 0 3 1 5 A E 与C都赛成平局， 都是1:1 B D 两 首先确定哪些队之间已经赛过及胜负情况，再根据平局， 每场比赛的比分。 赛了4场和A与E及B与C都赛过可得下图①。(两队之间 A B、 E B= .L[ C C 图① 图 ② 胜2场平1场，并且 与E是平局，所以 的另2场都胜，又 B ，所以 A与B ，A 的另一场比赛是与C,B E ②。 后， ， ， 为A2 平，A 是平局， 以 A胜C , 胜1平1负， C平B,C负A,所以C胜D,又因为E只进1球，A E是1:1,所以 E B和 的比赛中 ，不可能胜，D又没有平局，所以 B与E平，B胜D D胜 E, ③ . 0:0 EB= :0 0: CC D 1:0 图③ 图④ 数可得到上图④。B与D :1。 本题的难度较大， D赛了四场， ， 148 ! " # $ % 暋暋暋暋149暋 暋 暋 气 忌 盛 氋 新 忌 满 氋 才 忌 露 氌 氞 吕 坤 氠 球、失球个数确定出比赛双方的比分。借助图形进行分析是本题的一大亮点。 例6暋在一次射击比赛中,小张、小王、小李各打4发子弹全部命中。情 况如下: (1)每人4发子弹所命中的环数各不相同; (2)每人4发子弹所命中的总环数均为17环; (3)小王有两发命中的环数分别与小张命中的两发一样,小王另两发命中的 环数与小李命中的两发一样; (4)小张和小李只有一发环数相同; (5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环。 小张、小李命中相同的环数是多少? 点 拨暋首先,用枚举法找出符合条件(1)、(2)、(5)的所有情况。其次用筛选 法从这些情况中去掉不符合条件(3)、(4)的情况。剩下的就是符合要求的。 详 解暋栙1+7+4+5=17(环)……王 栚1+7+3+6=17(环)……张 栛2+6+4+5=17(环)……李 栜2+7+3+5=17(环) 对照条件栙栚栛式分别代表王、张、李,小张和小李命中相同的环数是6环。 小 结暋先找出满足部分条件的所有情况,再从中去掉不满足剩下条件的,直 到得出最终的答案,这就是逐步调整法。 挑 战 自 我 1.A、B、C、D、E五人玩一个游戏,每人必须扮演狮子或者山羊,狮子总是说谎 话,山羊总是说真话。 A 说:“B不是山羊。暠 C说:“D 是狮子。暠 B说:“C不是山羊。暠 D 说:“E与A 是不同的动物。暠 E说:“A 不是狮子。暠 请问:谁扮演狮子? 分 析 与 为 进行分析是本题的一大亮点。 6 ， 小王、小李各打4 下： 1 发子弹所命中的环数各不相同； 2 4发子弹所命中的总环数均 17环； 3 发一样， 中的两发一样； 4 一发环数相同； 5 7环。 小 首先， 法找出符合条件(1)、 (5) 掉不符合条件(3)、 下的就是符合要求的。 ①1 +4+5=17(环)⋯⋯ ②1+ 3+6=17(环)⋯⋯ ③2+ 4+5=17(环)⋯⋯ ④2+ +5=17(环) ①②③式分别代表王、 、 ，小张和小李 环。 先找出满足部分条件的所有情况， 掉不满足剩下条件的， 终的答案， 逐步调整法。 气忌盛;新忌满;才忌露。(吕坤) 1.A、B C D E ，每人 ， ， 真话。 说：“B不是山羊。” C说： D是狮子。” B说：“C不是山羊。” D说： E A 是不同的动物。” E说： A不是狮子。” ： ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋150暋 暋暋暋暋 暋暋2.某岛住着两种居民:老实人只讲真话,而骗子则从来都说谎话。当游客遇 见三名同行的岛民时,向他们每人问了同样的一句话:“你同伴中有几个是老实 人?暠 第一个人说:“一个也没有暠。 第二个人说:“只有一个暠。 那么第三个人将回答什么? 3.家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师共22名,已知家长比老师多,妈 妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师,那么在这22人中,爸爸有 多少人? 4.学校新来了一位老师,五个学生分别打听到如下的情况: A:是一位姓王的中年女老师,教语文课; B:是一位姓丁的中年男老师,教数学课; C:是一位姓刘的青年男老师,教外语课; D:是一位姓李的青年男老师,教数学课; E:是一位姓王的老年男老师,教外语课。 他们听到的情况各有一项正确,真实情况如何? 5.某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的 4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩大4岁,求最大 的男孩的岁数。 E OPE ： ，而骗子 ， 句话： 你同 ?” 个人说：“ 也没有”。 个人说：“ 有一个”。 3 ， 22名，已知家长比老师多， ， 2人， 1名男老师， 么在这 22人中， 4 位老师， 听到如下的情况： A:是一位姓王的中年女老师，教语文课； B: 一位姓丁的中年男老师，教数学课； C: 位姓刘的青年男老师，教外语课； :是一位姓李的青年男老师，教数学课； E: 一位姓王的老年男老师，教外语课。 项正确， 5 个女孩和两个男孩， 们的年龄各不相同， 岁， 岁， 4 ， 岁， 孩的岁数。 0 ! " # $ % 暋暋暋暋151暋 暋 暋 不 经 一 事 氋 不 长 一 智 氌 氞 宋 · 悟 明 禅 师 氠 暋暋6.M 国的一名谍报人员获得两份军事情报。 从第一份情报中获知:N 国将兵分两路进攻M 国。N 国部署的从东路进攻 的兵力为“ETWQ暠;从西路进攻的兵力为“FEFQ暠。 从第二份情报中获知:N 国的东、西两路兵力的总和为“AWQQQ暠,且东路兵 力比西路多。 请将上述密码破译出来,N 国参与进攻的总兵力为多少人? 7.某次数学竞赛共有四道题。王刚只做对了(1)、(2)、(3)三题,得了18分;李 明只做对了(2)、(3)、(4)三题,得了22分;张伟只做了(1)、(3)、(4)三题,陈强只做 对了(1)、(2)、(4)三题,他们两人都得了25分。赵荣四个题都做对了,她得了多少 分? 8.A、B、C三名学生参加一次考试,试题共10题,每道都是判断题,每题10 分,答对得10分,答错得零分,满分为100分。正确的打“曁暠,错误的打“暳暠。他 们的答卷如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 暳 曁 曁 曁 暳 曁 暳 暳 曁 暳 B 暳 暳 曁 曁 曁 暳 曁 曁 暳 暳 C 曁 暳 曁 暳 曁 曁 曁 暳 曁 曁 暋暋考试成绩公布后,三人都是70分,1~10题的答案分别是什么? 9.一次羽毛球邀请赛,来自湖北、广东、福建、北京和上海的五名运动员相遇 在一起,据了解: (1)李平仅和两名运动员比赛过; (2)上海运动员和三名运动员比赛过; (3)陈兵没和广东运动员比赛过; (4)福建运动员和林华比赛过; 分 析 与 为 理 6 国的一名谍报人员获得两份军事情报。 中获知：N国将兵分两路进攻M N国部署 ETWQ”;从西路进攻的兵力为“FEFQ”。 ：N 西两路兵力 AWQ ” 路多。 ，N 7. 赛共有四道题。王刚只做对了(1)、(2)、(3) 题， 18分； 了(2)、 3) (4 ， 22分； 做了(1)、(3)、 4 ， (2) (4)三题，他们两人都得了25 ， 不经一事;不长一智。(宋·悟明禅师) 8 B C ，试 10题， ， ，答 10分， ， 100分。正确的打“√”,错误的打“×” 卷如下表： 7 8 0 X √ √ √ × √ X × √ × X X √ √ √ × √ √ × X √ X √ × √ √ √ × √ √ ，三人 70 ，1～10 9 ， 福建、北京和上海的五名 起， 解： 1 运动员比赛过； 2 名运动员比赛过； 3 运动员比赛过； 4 和林华比赛过； 1 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋152暋 暋暋暋暋 (5)广东、福建、北京的三名运动员相互都比赛过; (6)赵欣仅与一名运动员比赛过。 请问:张强是哪个省的运动员? 10.甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛,并决出了一、二、三、四名。已知: (1)甲比乙的名次靠前; (2)丙、丁经常一起踢足球; (3)第一、三名在这次比赛时才认识; (4)第二名不会骑自行车,也不爱踢足球; (5)乙、丁每天一起骑自行车上班。 请判断他们各自的名次。 11.A、B、C、D 四个足球队进行循环比赛,赛了若干场后,A、B、C 三队的比赛 情况如下: 场数 胜 负 平 进球 失球 A 3 2 0 1 2 0 B 2 1 0 1 4 3 C 2 0 2 0 3 6 暋暋问:D 赛了几场? D 赛的几场的比分各是多少? 12.A、B、C、D、E五个足球队两两各赛一场,胜一场得3分,负者得0分,平一 场两队各得1分。十场球赛完后,五个队的得分互不相同。A 队未败一场,且打败 了B队,可B队得了冠军;C 队也未败一场,名次却在 D 队之后。E 队得了多少 分? EW HOPE 5 北京 都比赛过； 6 动员比赛过。 ：张 10. 、 丁四 比赛， 决出了一、二、 、 。已知： 1 名次靠前； 2 踢足球； 3 赛时才认识； 4 会骑自行车， 不爱踢足球； 5 行车上班。 们各自的名次。 11.A、B C D 循环比赛， 场后，A B C 如下： 3 0 1 2 1 0 6 ：D ?D赛的几场的比分各 ? 12.A、B C D、E五 ，胜一 3分， 0分， 分。十场球赛完后， 不相同。A 队未败一场， 队， 队得了冠军；C ，名次却在 D E 152 ! " # $ 暋暋暋暋181暋 暋 暋 人 的 天 职 在 勇 于 探 索 真 理 氌 氞 哥 白 尼 氠 输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的概率 是 1 120 。 答:略。 6.解:(1)8+11+7+3+5+2+4+1+3+1= 45(人)。 (2)(0暳8+1暳11+2暳7+3暳3+4暳5+5暳 2+6暳4+8暳1+9暳3+12暳1)暵45=3 (分)。 (3)只有一镖中靶的有11+6=16(人)。 (4)有两镖中靶的有7+2+1=10(人)。 (5)三镖都中靶的有3+4+3+1=11(人)。 答:略。 7.解:设璇璇家到外婆家有x千米,依题意有 3 4+ x-3 42 + 10 60= x 12 , 解得x=14.2。 答:璇璇家到外婆家有14.2千米。 8.解:(1)一共有5张,其中奇数有2张, 抽出奇数的概率是2暵5=25 。 (2)偶数有3张,抽出偶数的概率是3暵5= 3 5 。 (3)不公平,淘气获胜的概率是 25 ;笑笑获胜 的概率是1 5 , 两人获胜的概率不一样,所以游戏不公平。 9.解:(1)5题的:(7-6)暳2+(8-7)=4(人), 2题的:(4-3)暳8-(3-1)-(3-0)=3 (人), 共1+1+3+6+8+4+4+2+1=30(人) 答:参加本次竞赛的同学共有30人。 (2)所有的题:30暳10%暳8+30暳70%暳6+ 30暳20%暳4=24+126+24=174(题), 174-1暳1-2暳3-3暳6-4暳8-5暳4-6暳 4-7暳2-8暳1=51(题)。 答:在所有做过的题目当中做错了51题。 10.解:(1)A型:240暳55%=132(套), C型:240暳25%=60(套), B型:240-132-60=48(套), (2)C每小时:12暵(16暵8)=6(套), 则2a-2=6,a=4, 每人每小时组装C型玩具6套。 答:略。 11.解:(1)0.75升=750毫升,750暳15暵(25暳 30)=15(厘米)。 (2)(750暳15-30暳15暳15)暵15=300毫升 =0.3升。 (3)40暳30暳(24-15)暵(750-300)=24 (秒), P 点表示30+24=54(秒); (750-300)暳(70-30)暵(40暳30)=15(厘 米), Q点表示15+15=30(厘米)。 答:略。 12.解:掷的总点数在8至12之间时,再掷一 次,总点数才有可能超过12(至多是17)。 当总点数是8时,再掷一次是5,总点数才会 是13,而总点数超过13是不可能的。也就 是说,当总点数是8时,再掷一次,总点数是 13的可能性比总点数超过13的可能性大。 当总点数在9至12之间时,再掷一次,总点 数是13的可能性不比总点数是14、15、16、 17的可能性小。 例如,总点数是11时,再掷一次,出现0~5 的可能性相同,所以总点数是11~16的可 能性相同,即总点数是13的可能性不比总 点数分别是14、15、16的可能性小。 综上所述,掷到总点数超过12为止,总点数 是13的可能性最大。 第19讲暋分析与推理 1.解:若E与A 是不同的动物,则D 是山羊,C 是狮子,B是山羊,A 是狮子,E 是狮子,A 与 E 都是狮子,矛盾; 所以E与A 是同一种动物,则 D 是狮子,C 是山羊,B是狮子,A 是山羊,E是山羊。 所以B和D 是狮子。 答:略。 2.解:第一个人说的话只能是谎话,所以第一个 人是骗子; ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋182暋 暋暋暋暋暋 如果第二人也是骗子,那么由他的话可知第 三人也是骗子, 而这样一来又证明第一人是说了真话,出现 矛盾, 所以第二人肯定是老实人,由他的话可知第 三人也是老实人, 所以第三人会诚实地说:“只有一人暠。 答:略。 3.解:家长和老师共22人,家长比老师多,家长 就不少于12人,老师不多于10人。 又妈妈比爸爸多,妈妈不少于7人。 女老师比妈妈多2人,女老师不少于7+2=9 (人)。 又老师不多于10人,就得出男老师至多 1 人。 但题目中已指出,至少有一名男老师,因此男 老师是1人,女老师9人, 而妈妈有7人。 爸爸人数是22-(9+1)-7=5(人), 所以在这22人中,爸爸有5人。 答:略。 4.解:假设是男老师,由B、C、E 知,他既不是青 年、中年,也不是老年,矛盾, 所以是女老师。再由A 知,她不教语文,不是 中年人。 假设她教外语,由C、E 知她必是中年人,矛 盾, 所以她教数学。由B、D 知她是老年人,由C 知她姓刘。 答:真实情况是:姓刘的老年女老师,教数学。 5.解:分两种情况: (1)最小的男孩是4岁,最大的女孩应该是8 岁, 那么10岁应是最大男孩,年龄最小的女孩是 10-4=6(岁), 而6与8之间,只有7,这样不存在四个年龄 各不相同的女孩,不符合题意。 (2)最小的女孩是4岁,最大的男孩应该是8 岁, 那么最大女孩的年龄是10岁,年龄最小的男 孩是10-4=6(岁), 在4与10之间,除去6与8,还有5,7,9,其中 两数是两个女孩的年龄, 所以,最大的男孩是8岁。 答:略。 6.解:ETWQ+FEFQ=AWQQQ,易知A=1,Q +Q的个位是Q,所以Q=0,W+F=10,T+ E=9,E+F=9+W,故2W+T=10,显然T 曎0(不同字母代表不同数字)。 T=2时,W =4,F=6,E=7,共有总兵力为 7240+6760=14000(人); T=4时,W=3,F=7,E=5,此时东线人数比 西线人数少,矛盾, 故N 国参与进攻的总兵力为14000人。 答:略。 7.解:王刚做对了(1)、(2)、(3)三题, 李明做对了(2)、(3)、(4)三题, 张伟做对了(1)、(3)、(4)三题, 陈强做对了(1)、(2)、(4)三题, 他们四人中,各有三人作对了(1)、(2)、(3)、 (4)每一题, 他们四人得分总和是18+22+25+25=90 (分)。 所以赵荣得90暵3=30(分)。 答:略。 8.解:三人共错9题,所以至少有1题三人都 对,表中只有第3题三人答案一致,所以第3 题的正确答案是“曁暠。因为只有1道题三人 答案一致,所以其他9道题每道只有一个人 错,各题的正确答案就有两人相同。 1~10题的答案列表如下: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 暳 暳 曁 曁 曁 曁 曁 暳 曁 暳 9.解:由(2)(5)(6)知赵欣是湖北运动员;由(3) (5)知陈兵是上海运动员,可画出下表: 湖北 广东 福建 北京 上海 李平 暳 暳 ! " # $ 暋183暋 暋 暋 坚 持 真 理 的 人 是 伟 大 的 氌 氞 雨 果 氠 陈兵 暳 暳 暳 暳 曁 林华 暳 暳 赵欣 曁 暳 暳 暳 暳 张强 暳 暳 广东 福建 北京 李平 曁 暳 暳 林华 暳 暳 曁 张强 暳 曁 暳 由(2)(3)知,陈兵除广东外与其他运动员都 赛过。再由(5)知福建、北京运动员至少各赛 了 3场,由(1)知李平是广东运动员(见上 表);再由(4)知张强是福建运动员。 10.解:由(2)(4)(5)知甲第二, 由(2)(3)(5)知第一、三名不是丙、丁,也不 是乙、丁, 所以第一、三名只能是乙、丙, 再由甲第二及(1)知,乙第三,丙第一,丁第 四。 答:丙第一、甲第二、乙第三、丁第四。 11.解:四个队的总场数应是偶数,A、B、C 共赛 了7场,所以D 赛了1场或3场。因为四个 队总的进球数、失球数应相等,而A、B、C 三 队总的进球数、失球数相等,所以 D 队的进 球数与失球数应相等。又因为四个队总的 胜、负数应当相等,而 A、B、C 三队共胜 3 场、负2场,所以D 队或者负一场,或者负1 场平2场,或者负2场胜1场。 如果D 队仅负1场,或负1场平2场,那么 D 队进球数将少于失球数,与题意不符。所 以D 队赛3场,负2场胜一场。 由已知情况,D 队负于A,B 队,胜C 队。因 为A 队未失球,B与C 之间未赛过,所以B, C队进的球都是与D 队比赛进的,D 队共失 1+4+3=8个球,D 队也应进8个球,D 队 与A,B,C队的比分分别是0比1,3比4和 5比3。 12.解:B队负A 队,平C 队,最多得7分;A 队 不可能胜2场,否则得分将高于B 队,所以 A 队胜B 队,其余三场都平,得6分;C 队未 负一场,最少得4分,又C 队名次在D 对之 后,所以D 队得5分,C 队得4分。由 D 队 得5分,且负B 队,平A,C 队,推知D 队胜 E 队;又E队负B 队,平A,C 队,所以E 队 得2分。各队相互比赛得分情况见下表: A B C D E 总分 A 3 1 1 1 6 B 0 1 3 3 7 C 1 1 1 1 4 D 1 0 1 3 5 E 1 0 1 0 2 答:E队得了2分。 第20讲暋不定方程 1.解:(1)b=16-5a3 , 因为a、b是自然数,所以16-5a 是3的倍 数,当a取2时,相应地b可取值2, 所以方程组的解为 a=2 b{ =2。 (2)x=23-4y3 , 因为x、y 是自然数,所以23-4y 是3的倍 数,当y取2、5时,相应地x分别取5、1。 所以方程组的解有 x=5 y{ =2或 x=1 y{ =5两组。 2.解: x+y+z=100暋暋暋栙 21x+8y+3z=600暋{ 栚 栚-栙暳3得18x+5y=300, y=300-18x5 , 当x取5、10、15时;相应地y取42、24、6。 把x=5、y=42代入栙,得z=53; 把x=10、y=24代入栙,得z=66; 把x=15、y=6代入栙,得z=79。 所以不定方程组的正整数解是 x=5 y=42 z ì î í ïï ï =53 或 x=10 y=24 z ì î í ïï ï =66 或 x=15 y=6 z ì î í ïï ï =79 。