第十讲图形的折叠与剪拼-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

! " # $ 暋暋暋暋169暋 暋 暋 好 好 学 习 氋 天 天 向 上 氌 氞 毛 泽 东 氠 最少损失10暳183=1830(元), 答:分三组维修(12,29)、(16,25)、(9,14, 18),每组先修所需时间短的,损失最少,最 少损失1830元。 第10讲暋图形的折叠与切拼 1.解:图形如下: 2.解:展开后,折痕所形成的每一块上都有一个 小洞,所有共有28=256个小洞。 答:纸片上的小洞有256个。 3.解:分割如下: 4.解:可以用如下两种方法分割: 5.解:如图: 6.解:分割如下: 7.解:分割如下: 8.解:方法一: 方法二: 9.解:切拼如下: 10.解:切拼如下: 11.解:如图: ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋170暋 暋暋暋暋暋 12.解:分割如图: 第11讲暋估算练习 1.解:三个连续奇数的乘积为1000多,那么这 三个奇数都应该接近10, 又根据积的个位为7,可以推断这三个连续奇 数的个位数字分别为9、1、3, 经过试算可得:9暳11暳13=1287符合题意, 答:这三个连续奇数是9、11和13。 2.解:因为小队人数和男生人数都是整数, 7暳50%=3.5,7暳60%=4.2, 3.5与4.2之间有整数4, 所以这个小队至少有7人。 答:这个学雷锋小队至少有7人。 3.解:在这些数对中,被减数最大是9999,此时 减数是9999-8921=1078, 被减数和减数同时减去1后,又得到一个满 足题意条件的四位数数对, 为了保证减数是四位数,最多可以减去78, 因此这样的数对共有78+1=79(个)。 答:这样的数对共有79个。 4.解:因为8.03暳1.22暳3<s<8暳1.25暳3, 即29.3898<s<30, 所以s的整数部分是29。 答:s的整数部分是29。 5.解:设这个八位数是1258a76b, 奇数位上数字之和是b+7+8+2=b+17, 偶数位上数字之和是6+a+5+1=a+12, 要使八位数是11的倍数, 只 需 b+17- a( )+12 =0 或 b+17- a( )+12 =11, 即a-b=5或b-a=6, 栙当a-b=5时,b可取0、1、2、3、4; 栚当b-a=6时,b可取6、7、8、9。 所以,当这个八位数的末位数字是5时,不管 千位上数字是几,这个七位数都不是11的 倍数。 答:这个八位数的末位数字是5。 6.解:这些积中,6的倍数最小是1暳6,最大是 26暳6,其中17暳6,19暳6,21暳6,23暳6,25暳 6这5种情形不会出现, 所以,这些积中最多有26-5=21个能被6 整除。 答:这些积中最多有21个能被6整除。 7.解:对S的分母进行放缩: 1 91+ 1 92+ 1 93+ …+ 1100> 1 100暳10= 1 10 , 1 91+ 1 92+ 1 93+ …+ 1100< 1 90暳10= 1 9 , 所以 1 1 9 <S< 11 10 ,即9<S<10, 所以S的整数部分是9。 答:S的整数部分是9。 8.解:设这个学校参加夏令营的人数为x人, 则60暳3<x曑60暳4,70暳2<x曑70暳3, 即180<x曑210, 由题意可知,人数是一个平方数, 而181~210之间只有196是平方数, 所以参加夏令营的人数是196。 答:参加夏令营的人数是196人。 9.解:16.3暳14=228.2, 16.4暳14=229.6, 因为14个数的总和是自然数, 所以14个数的总和为229, 平均数为229暵14曋16.357, 答:正确的答案应该是16.357。 10.解:两车相遇需要 240暵(75+45)=2(小时), 相遇时乙车(慢车)行2暳45=90(千米), " ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " # $ % & ' ( 暋暋暋暋 71暋 暋 暋 成 也 萧 何 氋 败 也 萧 何 氌 氭 容 斋 续 笔 · 萧 何 给 韩 信 氱 第十讲暋图形的折叠与剪拼 一张普通的纸,童年时的我们就可以用稚气的双手将它折成有趣的动物,或 者把它剪成美丽的图案。折纸与剪纸既富于自然情趣,又形象生动,是丰富想象 力与心灵手巧的结合。 把图形(或部分)沿某条直线翻折叫图形的折叠。把图形按某种要求分成几 个图形,就叫做图形的分割。反过来,按一定的要求也可以把几个图形拼成一个 完美的图形,就叫做图形的拼合。对图形通过有限次的剪裁再重新拼成新的图形 叫图形的剪拼。 在图形的分割、拼合和剪拼的过程中,要结合所提供的图形的特点思考,由少 到多,逐步完成。 经 典 范 例 例1暋如图,将一张圆形纸片折成一个直角扇形,并将阴影部分剪掉,画 出展开后的图形。 点 拨暋逆向思考,从最后一个图形开始逐步还原。 详 解暋最后一个图形往右翻折,如下图: 所得图形往下翻折,如下图: 图 形 的 齐 叠 与 图 ，童年时的 成有趣的动物， 富于自然情趣， ， 巧的结合。 ，就叫做图形的分 ，按一定的要求也 ，就叫做图形的拼合。对图形通 的剪拼。 ，要 点思考， ， 成。 1 ， 角扇形， 部分剪掉， 的图形。 逆向思考， 一个图形开始逐步还原。 最后一个图形往右翻折，如下图： 形往下翻折，如下图： 成也萧何;败也萧何。《容斋续笔·萧何给韩信》 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 72暋 暋暋暋暋 所得图形即为所求。 小 结暋解决简单的纸片折叠问题通常采用还原法,即从最后一个图形开始, 将整个折叠过程逆向进行,直至展开成原来的状态。 例2暋将一张正方形纸片对折2次,在折线相交的角上剪一刀,展开后, 这张纸片最多有多少个洞? 对折4次呢? 对折10次呢? 点 拨暋思路一:将对折次数少的几种情况列出来,寻找规律;思路二:每个洞 都由4条线段组成,总线段数除以4即为洞数。 详 解暋解法一:对折2次时,展开后是1个洞,如下图: 对折3次时,展开后是2个洞,如下图: 对折4次时,展开后是4个洞,如下图: 可以发现,每多对折1次,洞的个数就增加1倍, 对折10次,洞的个数为4暳26=256(个)。 解法二:易知展开后每个洞都是同样大小的,且每个洞由4条线段组成, 对折2次后剪一刀,能产生22=4条线段,4暵4=1个洞; 对折4次后剪一刀,能产生24=16条线段,16暵4=4个洞; 对折10次后剪一刀,能产生210=1024条线段,1024暵4=256个洞。 答:对折2次是1个洞,对折4次是4个洞,对折10次是256个洞。 小 结暋对于复杂的折叠问题,常常需从简单(次数少)的情况入手,找出规 律,再根据规律解决复杂的问题。 E OPE 形即为所求。 解决简单的纸片折叠问题通常采用还原法，即从最后一个图形开始， 逆向进行， 原来的状态。 2 将一张正方形纸片对折2次，在折线相交的角上剪一刀，展开后， 多有多少个洞?对折4 ? 次 ? 思路一： 对折次数少的几种情况列出来，寻找规律； 二： 条线段组成， 即为洞数。 解法一：对折 次时， 是1个洞，如下图： 3次时， 开后是2个洞，如下图： 4 时， 4个洞，如下图： ， 1次， 倍， 次， × ?=256(个)。 ： ， 4条线段组成， 2 ，能产生22= 条线段，4÷4 1个洞； 4 ，能产生2?=16条线段，16÷4=4个洞； 10次后剪一刀， 21?=1024条线段，1024÷4=256个洞。 ：对折 2次是1 ，对折4 个 ， 10 256个洞。 对于复杂的折叠问题， ( 少)的情况入手， ， 复杂的问题。 72 ! " # $ % & ' ( 暋暋暋暋 73暋 暋 暋 尺 蚓 穿 堤 氋 能 漂 一 邑 氌 氭 刘 子 新 论 · 慎 隙 氱 例3暋把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形。 点 拨暋根据等底等高的三角形面积相等这一结论,可以得到如下思路: 思路一:把原三角形分成4个等底等高的小三角形,只需把原三角形的某条 边四等分,再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了。 思路二:先把原三角形分成两等份,再把每一份分别分成两等份。 思路三:先分出原三角形的四分之一,再把剩下的部分分成三等份。 详 解暋方法一:将某一边四等分,连接各分点与顶点,如图1: 方法二:先把原三角形分成两等份,再把每一份分别分成两等份,如图2: 方法三:先分出原三角形的四分之一,再把剩下的部分分成三等份,如图3: 方法四:将三角形各边上的中点两两连接,如图4: 本题还有更多的分法,这里不再一一列举。 图 形 的 客 叠 与 4个小三角形。 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，可以得到如下思路： ：把原三角形分成4 ， ， 连接起来就行了。 ： 份， 分成两等份。 ： 分之一， 部分分成三等份。 方法一：将某一边四等分， 点， : 图1 ： ， ， 图2 ： ， ， : 图3 ： 的中点两两连接，如图 4: 图4 更多的分法， 再一一列举。 尺蚓穿堤;能漂一邑。《刘子新论·慎隙》 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 74暋 暋暋暋暋 小 结暋把一个图形按照要求分割成若干部分,这就是图形的分割问题。这 类问题有很强的技巧性,多做训练可以培养学生的创造性思维,丰富想象,提高观 察能力。分割过程可以分步骤进行,不一定非得一步到位,如本题中,要将三角形 分成相等的四份,可以先分成相等的两份,再把每一份分成相等的两份;也可以先 分出四分之一,再把剩下的部分分成三等份。 例4暋一块长方形菜地里有一个正方形水池(如下图)。试用一条直线把 这块菜地除开水池外的部分平分成两块。 点 拨暋过长方形的中心的任何一条直线平分长方形,所以过长方形和正方 形的中心的直线能将长方形和正方形分成面积相等的两个部分,易知这条直线满 足要求。 详 解暋如图,分别连接长方形和正方形的两条对角线,交点分别为 M、N,作 直线 MN, MN 将长方形和正方形分成面积相等的两个部分, 所以S1=12 长方形-12 正方形=12 (长方形-正方形)=S2, 所以直线 MN 平分菜地除开水池外的部分。 小 结暋本题用到了长方形的一个重要性质:过长方形的中心的任何一条直 线平分长方形。 例5暋下图是一个3暳4的方格纸,请用四种不同的方法将它分割成完全 相同的两部分,且每个小方格都是完整的。 E HOPE 把一个图形按照要求分割成若干部分， ， 创造性思维， 象， 以分步骤进行， 一步到位， ， ， ， 份； 一， 分分成三等份。 4 一块长方形菜地里有一个正方形水池(如下图) 外的部分平分成两块。 过长方形的中心的 一条直线平分长方形， 两个部分， 求。 如图， ，交点分别为M N, MN, S? M S? M N将长方形和正方形分成面积相等的两个部分， S?=2长 一去 =2(长方 一 ) ?, N平分菜地除开水池外的部分。 本题用到了长方形的一个重要性质： 长方形。 5 3×4的方格纸， 分， 都是完整的。 74 ( ' & % $ # " ! 暋暋暋暋 75暋 暋 暋 从 善 如 登 氋 从 恶 如 崩 氌 氭 国 语 · 周 语 下 氱 点 拨暋分成的每个部分有12暵2=6个小格,并且这两个部分要关于中心点 对称,大小和形状完全一样。先选中一个小方格,标上数字,找到这个小方格关于 中心点的对称位置,标上相应的数字。同样的,关于中心线的对称位置也是一种 情况。再进行染色,数字相同的小方格只染其中一个,且染色部分是相连的。[详 解]根据关于中心点和中心线对称,标数如下,有如下两种情况: 对小方格进行染色,数字相同的小方格只染一个,有如下5种情况: 小 结暋本题采用的分割技巧是标数染色法,先从对称性入手,依次对小方格 标数,直至所有小方格都标上数字,再对小方格进行染色,数字相同的小方格只染 其中一个,且染色部分是相连的。 例6暋将下列4暳6的方格纸分成形状、大小相同的4块,且每一块含有 一个字。 图 形 的 ● 齐 叠 与 分成的每个 12÷ =6个小格，并且这两个 ，大小 ， ，找 ，标上相 ，关于中心 ，数字相 ，且染 ] 关于中心点和中心线对称，标数如下， 两种情况： I 2 2 1 3 4 4 3 5 6 6 5 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 从善如登，从恶如崩。《国语·周语下》 行染色， 染一个， 种情况： 1 3 5 2 4 6 2 4 6 1 3 5 1 5 4 2 6 3 3 6 2 4 5 1 1 5 4 2 6 3 3 6 2 4 5 1 1 5 4 2 6 3 3 6 2 4 5 1 5 4 2 6 3 3 6 2 4 5 1 本题采用的分割技巧是标数染色法，先从对称性入手， ，直至所有 ，再对小方 ，数字 ， 连的。 6 × 的方格纸分成形状、 块， 字。 望 创 新 希 PUECPOWHEN ★#"★ 暋 暋 76暋 暋暋暋暋 点 拨暋因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块,所以分割后的 每一块都有4暳6暵4=6个小方格。图中 暠中的三个字都是挨着的,所以肯 定要在它们中间分割,首先在它们之间划出分割线。如下图: 详 解暋先在“新希望暠三个字之间各画一条分割线,考虑每块有4暳6暵4=6 个小方格,有如下分法: 小 结暋像这类将图形分成相同的若干部分,且每个部分含有一个字(或图 案)的分割问题,可先在必定有分割线的位置画出分割线,再根据每一块所含有的 小方格进行尝试。 例7暋将下图分割成两块,然后拼成一个正方形。 点 拨暋如果每个小方格边长为1,那么图形的面积等于16,拼成的正方形的 边长应该是4。所以分割成两块后,右边的一块应向上平移1,向左平移2。观察 图形可知,右边的一块应该有一边与左边的一块吻合。 EW HOPE 因为要将这个长方形分成大小、 块， 4×6÷4=6个小方格。图中“ 中的三个字都是挨着的， 间分割， 划出分割线。如下图： 先在“希望杯”三个字之间各画 ，考虑每块有 4×6÷4=6 格， 分法： 像这类将图形分成相同的若干部分， ( ， 线， 的 行尝试。 分割成两块， 成一个正方形。 如果 , , 4 ，右边的一块应向上平移1 2 ， 的一块吻合。 76 创 新 希 望 “新希望 新 希 望 创创 新 希 望 创 创 新 希 新 希 望望 ! " # $ % & ' ( 暋暋 77暋 暋 暋 天 行 健 氋 君 子 以 自 强 不 息 氌 氞氭 周 易 · 乾 氱氠 详 解暋原图是一个长6,宽3的缺角长方形,因为拼成后的正方形边长为4, 所以分割成两块后,右边的一块应向上平移4-3=1,向左平移6-4=2,且右边的 一块应该有一边与左边的一块吻合,如下图: 小 结暋解决切剪类问题,要根据剪拼前后面积相等,先算出剪拼后的图形的 边长(如果是长方形,就算出长和宽),再根据原图边缘部分的特征,切割图形。 例8暋把下面两个图形中的某一个分成三块,最后都拼在一起,使它们成 为一个正方形。 点 拨暋不管分哪一块,最后拼得正方形的面积都是图中两块面积之和,甲面 积为4暳10=40,乙面积为6暳8+4暳3=60,拼得正方形的面积为甲面积+乙面积 =40+60=100,所以正方形的边长为10,甲、乙两图形各有一边是10,可视为正方 形的一条边,然后再进行剪拼。 详 解暋如图,将乙图剪成三块,其中两块是2暳3的长方形,再与甲图拼合成 正方形。 图 形 的 齐 叠 ● 与 原图是一个 6,宽3的缺角长方形， , ，右边的一块应向上平移4-3=1,向左平移6-4 , 有一边与左边的一块吻合，如下图： 解决切剪类问题， 面积相等， 形， ), 根据原图边缘部分的特征，切割图形。 天行健;君子以自强不息“(《周易·乾》 8 中的某一个分成三块， 一起， 正方形。 6 甲 10 4 8 乙 4 3 10 不管分哪一块， 面积都是图中两块面积之和， × 0 40, × 4×3=60,拼得正方形的 =40+60=100,所以正方形的边长为10,甲、乙两图形各 10,可 边， 剪拼。 如图， ， 2×3 长方形， 形。 2 2 2 6 3 6 3 4 4 10 77 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 78暋 暋暋暋暋 小 结暋根据“剪拼前后面积不变暠确定正方形的边长是本题的关键。 例9暋如图,将边长为1.1米的正方形铁皮切割成若干块直角边分别 为0.5米和0.2米的直角三角形小铁皮,最多能切成多少块小铁皮? 画出切 割图形。 点 拨暋切割的废料最少时,切割成的铁皮数量最多,为方便计算,单位取 分米,原料面积为11暳11=121(平方分米),小铁皮的面积为5暳2暵2=5(平方 分米),121暵5=24……1,又1<5,即最理想的情况是切成24块,剩下1平方分 米。 详 解暋单位取分米,11暳11暵(5暳2暵2)=24……1,又1<5, 所求切成的小铁皮最多24块,剩下1平方分米, 易知1平方分米的废料不在边上,切割如下: 答:最多能切成24块。 小 结暋这是与切割原料有关的最优化问题,解决这类问题先从整体入手,找 出可能的最优解,再进行分割尝试,说明这个可能的最优解就是问题的答案。 挑 战 自 我 1.如图,将一张正方形纸片折成一个直角三角形,并将阴影部分剪掉,画出展 EW HOPE 根据“剪拼前后面积不变” 形的边长是本题的关键。 9 ，将边长为1 1 . 米和0.2米的直角三角形小铁皮， ? 形。 0.5 0.21.1 切割的废料最少时， 成的铁皮数量最多， 方便计算， ，原料面积为11×11=121 ), 皮的面积为5×2÷2=5( 121÷5 ⋯⋯ , <5,即最理想的情况是切成24 块， 1 。 单位取分 ，11×11÷(5×2÷2)=24⋯⋯1, 1<5, 2 块， 平方分米， 1平方分米的废料不在边上，切割如下： ： 块。 这是与切割原料有关的最优化问题，解决这类问题先从整体入手， ， ， 问题的答案。 1 ，将 角形， 剪掉， ! " # $ % & ' ( 暋暋暋暋 79暋 暋 暋 单 则 易 折 氋 众 则 难 摧 氌 氭 北 史 · 吐 谷 浑 传 氱 开后的图形。 2.将一张正方形纸片连续对折8次,在所得的纸片中心打一个圆形小洞,展 开纸片后,纸片上的小洞有多少个? 3.把一个等边三角形分成8个和9个形状、大小都一样的三角形,画出图形。 4.用一条直线将如图所示的图形分成面积相等的两个部分。 5.下图是一个4暳4的方格纸,请用六种不同的方法将它分割成完全相同的 两部分,且每个小方格都是完整的。 图 形 的 叠 与 2 8 ， 个圆形小洞， ， 3 8个和9个形状、大小都一样的三角形，画出图形。 4 分成面积相等的两个部分。 5. 4×4的方格纸， ， 是完整的。 单则易折;众则难摧。《北史·吐谷浑传》 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 80暋 暋暋暋暋暋 暋暋6.将下列4暳4的方格纸分成形状、大小相同的4块,且每一块含有一个字。 7.将下列6暳6的方格纸分成形状、大小相同的两块,且每一块含有的字相同。 8.将下图分割成相同的两块,然后拼成一个正方形。 9.把一个正方形分成8块,再把它们拼成一个正方形和一个长方形,且这个 正方形和长方形的面积相等。 EW HOPE 6 × 的方格纸分成形状、 小相同的4块，且每一块含有一个字。 希 望 之 星 7 6×6的方格纸分成形状、大小相同的两块，且每一块含有的字相同。 新 希 希 教 教 新 望 青 育 望 8 成相同的两块， 一个正方形。 9 块， 和一个长方形， 形的面积相等。 ! " # $ % & ' ( 暋暋暋 81暋 暋 暋 东 隅 已 逝 氋 桑 榆 非 晚 氌 氭 滕 王 阁 序 氱 暋暋10.把下面两个图形中的某一个分成三块,最后都拼在一起,使它们成为一个 正方形。 11.如图,长方形长24、宽15,把它剪成两块,再拼成一个长20、宽18的长方形。 12.如图,长方形铁皮长为10,宽为5,将它切割成若干块直角边分别为2和3 的直角三角形小铁皮,最多能切成多少块小铁皮? 画出切割图形。 图 形 的 齐 叠 与 10 三块， ， 形。 2 5 10 6 10 7 11. ， 24 15 ， 20、 18的长方形。 12 ，长方形铁皮长为10,宽为5,将它切割成若干块直角边分别为2 ， 画出切割图形。 东隅已逝;桑榆非晚。《滕王阁序》