第十二讲比和比例-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

! " # $ 暋暋171暋 暋 暋 只 要 愿 意 学 习 氋 就 一 定 能 够 学 会 氌 氞 列 宁 氠 为保证快车运行,乙车要在相遇前进入会车 站,同时为使等候的时间尽量短,乙车要在 离相遇点最近的一个会车站等候, 90暵20=4.5,所以乙车应在出发后的第4 个会车站等候。 答:乙车应在出发后的第4个会车站等候甲 车通过。 11.解:撕掉的那一张上的两个页码数一个是奇 数,一个是偶数,而且是奇数比偶数小1, 剩下的各页码之和为1993,如果没有缺页, 各页码之和应大于1993, 1+2+3+4+…+63=2016>1993,2016- 1993=23, (23-1)暵2=11,缺的页码是11和12; 1+2+3+4+…+64=2080>1993,2080- 1993=87, (87-1)暵2=43,缺的页码是43和44。 答:这本书共63页或64页。 12.解:每次休息走的路程是 1000暳38=375 (米), 要想到达A 点,走的路程必须是500的整数 倍, 第一次到达A 要走的路程是 375暳4=1500(米), 第一次到达A 休息的次数是 1500暵375=4(次), 每经过一次特别通道,神湖半径就扩大一 倍, 第二次到达A 需要休息的次数是4暳2=8 (次), 第三次到达A 需要休息的次数是8暳2=16 (次), …… 4+8+16+32+64+128+256+512=1020 >1000, 共到达A 点8次,神湖扩大了7次, 神湖的周长为1暳27=128(千米)。 答:小兔子共休息了1000次时,神湖周长是 128千米。 第12讲暋比和比例练习 1.解:缺勤人员人数与全公司员工人数的比是 60暶100=3暶5, 满勤人员人数所占份数是5-3=2, 每名满勤人员可以分到 100暳3暵2=150(元)。 答:每名满勤人员可以分到150元。 2.解:(1)设丙齿轮上大齿轮数为A 个,小齿轮 数为B个, 丙齿轮转过的圈数为 m,则A暳m=60暳17, B暳m=48暳13, 则A暶B=(60暳17)暶(48暳13)=85暶52, 答:丙齿轮上大小齿轮的齿数比是85暶52。 (2)设乙齿轮上有x个齿,则 (60暳17)暶(12x)=A暶B=85暶52, 解得x=52。 答:乙齿轮有52个齿。 3.解:铜和锌的比是3暶5时,合金重量是42- 10=32(克), 铜的重量是32暳 33+5=12 (克), 新合金中锌的重量是42-12=30(克), 新合金内铜和锌的比是12暶30=2暶5。 答:新合金内铜和锌的比是2暶5。 4.解:设鸡、鸭、鹅的数量分别是 8份、7份、5 份, 公禽是(8+7+5)暳 22+3=8 (份), 公鸡是8暳 11+3=2 (份), 公鸭是7暳 33+4=3 (份), 公鹅是8―2―3=3(份), 母鹅是5-3=2(份), 公鹅与母鹅数量之比是3暶2。 答:公鹅和母鹅数量之比为3暶2。 5.解:大客车暶小客车暶小轿车=10暶12暶33, 以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为 一组, 每组中收取小轿车的通行费比大客车多10暳 33-30暳10=30(元), ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋172暋 暋暋暋暋暋 所以这天通过的车辆共有210暵30=7(组)。 这天通过大客车10暳7=70(辆), 小客车12暳7=84(辆), 小轿车33暳7=231(辆)。 答:这天通过大客车70辆,小客车84辆,小 轿车231辆。 6.解:平均数85%可作比较的基准, 1人买3件少5%暳3=15%, 1人买2件多5%暳2=10%, 1人买1件多15%暳1=15%。 1人买3件与1人买1件成A 组,即按1暶1 比例, 2人买3件与3人买2件成B 组,即按2暶3 的比例。 A 组是2人买4件,每人平均买2件, B组是5人买12件,每人平均买2.4件, 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题:总脚数 76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2。 B组人数是(76-2暳33)暵(2.4-2)=25 (人), 其中买3件25暳 22+3=10 (人), 买2件25暳 32+3=15 (人), A 组人数是33-25=8(人), 其中买3件4人,买1件4人, 10+4=14(人)。 答:买3件的顾客有14位。 7.解:第一种混合物中A、B 重量比与最终混合 物的A、B重量比均为3暶5, 先将第二种、第三种混合物的A、B 重量比调 整到3暶5, 第三种混合物不含B,所以3暵25= 15 2 份 第三种混合物含A 为3份, 第二种混合物不含A,5暵13=15 份 第二种混合物含B为5份, 此时C有15暳 21+2+ 15 2暳 3 2+3= 29 2 (份), 最终混合物中B有292暳 5 2= 145 4 (份), 所以第一种混合物中B 有1454 -15暳 1 1+2= 125 4 (份), 第一种混合物为125 4 暵 5 3+5=50 (份), 第一、二、三种混合物的比例为 50暶15暶152=20暶6暶3 。 答:略。 8.解:设A 工程的工作量为1,则B 工程的工作 量为2,C工程的工作量为3, 设若干天后,甲完成的工作量是x,则: 甲 乙 丙 完成的 工作量 x 2-2x 3-3(2-2x) 未完成的 工作量 1-x 2x 3(2-2x) 由题意知3-3(2-2x)=1-x, 解得x=47 , 2-2x=67 ,3-3(2-2x)=37 , 甲、乙、丙三队的工作效率的之比是 4 7暶 6 7暶 3 7=4暶6暶3 , 答:甲、乙、丙 三 队 的 工 作 效 率 的 之 比 是 4暶6暶3。 9.解:两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇,说 明乙比甲一共多走了2暳2=4(厘米), 甲、乙速度之比是1暶1.2=5暶6, 长方形的周长是 4暵 65+6- 5( )5+6 =44(厘米), 答:长方形的周长是44厘米。 10.解:依题意有,A+15B=B+ 1 3A=C , 则A暶B暶C=6暶5暶7, A 桶的容积是1440暳 66+5+7=480 (升), B桶的容积是480暳56=400 (升), C桶的容积是480暳76=560 (升)。 ! " # $ 暋暋暋暋173暋 暋 暋 天 才 就 是 百 分 之 九 十 九 的 汗 水 加 百 分 之 一 的 灵 感 氞 爱 迪 生 氠 答:A 桶的容积是480升,B 桶的容积是400 升,C桶的容积是560升。 11.解:相遇时,甲车行了全程的 5050+40= 5 9 , 50千米占全程的59- 1 3= 2 9 , 全程长50暵29=225 (千米)。 答:A、B两地相距225千米。 12.解:由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程 之比为15暶14暶14,速度之比为6暶8暶9, 所以它们运送1次所需的时间之比为156 暶 14 8暶 14 9= 5 2暶 7 4暶 14 9 , 相同时间内它们运送的次数比为:2 5 暶 4 7 暶914=28暶40暶45 , 甲的工作量是28暳10暳(10暳5+15暳10)= 280暳200, 总工作量是280暳200+25暳(40暳7暳5+45 暳6暳7), 甲的工作量与总工作量之比是 280暳200 ( )280暳200+25暳 40暳7暳5+45暳6暳7 = 32 79 。 答:甲的工作量与总工作量之比是32暶79。 第13讲暋比例法求面积 1.解:设阴影部分面积为x,则: x暶30=15暶18,则x=25。 2.解:ABCD 是梯形,所以S曶ABO =S曶CDO , S曶BCD =S曶ABD +12=12+12=24(平 方 厘 米), 梯形ABCD 的面积是24+12=36(平方厘 米)。 3.解:如图,连结AE, S曶ADE =S曶AEF =12暳16=8 , S曶ACE =8-4=4,CE=12EF , 同理,S曶ABE =8-3=5,BE=58DE , 则S曶BCE = 12 暳 5 8 暳S曶DEF = 1 2 暳 5 8 暳8= 2.5, 则S曶ABC=16-3-4-2.5=6.5。 4.解:S曶BDES曶ABC = BE暳BD AB暳BC= 1 6 , S曶BDE =35暵(6-1)=7, 所以S曶ABC=7暳6=42。 5.解:因为AE=EC,BD=23BC , 所以S曶ABE 暶S曶BDE =S曶BCE 暶S曶BDE =BC暶 BD=3暶2。 6.解:如图,连接BN,曶ABC的面积为3暳2暵2 =3, 设曶AMN 的面积为1份,则曶ABN 的面积 为2份, S曶ABN 暶S曶ACN =BD暶CD=1暶2, 所以曶ACN 的面积为4份,曶BCN 的面积 也是4份, 曶ABC的面积共2+4+4=10(份), 则曶AMN 的面积为310 。 7.解:连接AC、BG,因E、F 分别为AB、BC 的 中点, " ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " ! # 暋暋暋 89暋 暋 暋 事 莫 明 于 有 效 氋 论 莫 定 于 有 证 氌 氞 王 充 氠 第十二讲暋比和比例 不知不觉中,小学数学的学习来到了小学数学知识的最高点,比和比例是小 学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础。有了“比暠这个概 念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,同学们学完这 一讲,对“除法、分数、比例实质上是一回事,但各有用处暠有所理解。比和比例在 各种数学竞赛中占有一定的比例,是属于综合类专题。它用到的知识点可能包括 和倍、差倍、分数、方程等问题。还可能与比较大的专题,如行程问题、工程问题、 浓度问题等密切相关。 经 典 范 例 例1暋A 和B 两个数的比是8暶5,两个数都减少34后,A 是B 的2倍, 求这两个数。 点 拨暋A 与B 两数之差不变,解题时要充分利用这一点。 详 解暋8暶5,就是8份与5份,两者相差3份, 减去34后,A 是B 的2倍,就是2暶1,两者相差1, 将前项与后项都乘以3,即2暶1=6暶3,使两者也相差3份, 现在就知道34是8-6=2(份), 因此,每份是34暵2=17, A=17暳8=136,B=17暳5=85。 答:A、B两数分别是136与85。 小 结暋抓不变量解题是分数应用题的常用解法,比和比例问题中也经常有 这一类题目,本题中的不变量是两个数的差。 例2暋一块合金内铜和锌的比是2暶3,现在再加入6克锌,共得新合金 36克,求新合金内铜和锌的比。 点 拨暋要求新合金内铜和锌的比,必须分别求出新合金内铜和锌各自的重 比 知 3 ，小学数学 高点， 内容， 的重要基础。有了“比” ， 分数等问 ，要方便灵活得 . ，同 ， 除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解 ，是属于综 差 分数、方程等问题。还可能 题， 问题、 问题、 密切相关。 事莫明于有效，论莫定于有证。(王充) 1 A和B两个数的比 8:5,两个数 34 ，A B的2倍， 个数。 A与B两数之差不变，解题时要充分利用这一点。 :5,就是8份与5份，两者相差3份， 4 ，A 的2倍， :1,两者 , 3 2:1 :3,使两者也相差3份， 道34 8-6=2(份), ，每份是34÷2= , =17× =136,B=17×5=85。 ：A B 136与85。 抓不变量解题是分数应用题的常用解法， ， 是两个数的差。 2 2:3,现在再加入6克锌， 36 ，求 锌的比。 要求新合金内铜和锌的比， 89 PUECPOWHEN ★#"★ 暋 暋 90暋 暋暋暋暋 量。应该注意到铜和锌的比是2暶3时,合金的重量不是36克,而是(36-6)克,铜 的重量始终没有变。 详 解暋铜和锌的比是2暶3时,合金重量是36-6=30(克), 铜的重量是30暳 22+3=12 (克), 新合金中锌的重量是36-12=24(克), 新合金内铜和锌的比是12暶24=1暶2。 答:新合金内铜和锌的比是1暶2。 小 结暋按比例分配是六年级重要知识点,也是竞赛数学的常见考点。本题 中铜和锌的比是2暶3时,合金的重量不是36克,而是30克。 例3暋有两袋面粉,甲袋重126千克,从甲袋中取出13 ,从乙袋中取出 60%以后,这时甲、乙两袋余下的面粉重量比是3暶2。乙袋原有面粉多少千克? 点 拨暋此题中最关键的条件就是甲、乙两袋余下的面粉重量比是3暶2。由 于甲袋原来的重量已经告诉我们,根据重量比求出乙袋余下的重量,进而求出乙 袋原来的重量。 详 解暋甲袋取出13 后还剩126暳(1-13 )=84(千克), 乙袋还剩下84暳23=56 (千克), 乙袋原来有面粉56暵(1-60%)=140(千克)。 答:乙袋原来有面粉140千克。 小 结暋比和比例经常和分数百分数应用题结合在一起,在小学数学知识体 系中,倍数、除法、分数、比和比例在内在的数量关系中有很多相通之处,利用这些 知识间的内在联系,可以解决许多较为复杂的问题。 100名学生参加,其中男生人数与女生人数的比是3暶2。分成两个兴趣小组,第 例4暋“创新希望暠全国作文大赛组委会组织了一次夏令营活动,共有 一 小组男、女生人数的比是5暶2,第二小组男、女生人数的比是7暶6。如果第一小组 有男生25人,那么第二小组有女生多少人? 点 拨暋先算出女生的总人数,再根据比例算出第一小组女生的人数,然后用 E OPE 不 :3时，合金的重量不是36克，而是(36—6)克， 终没有变。 铜 :3时， —6 3 ( ), 铜的重量是30×2+3=12(克), 36—12=24( ), 比是12:24=1:2。 ：新 :2。 按比例分配是六年级重要知识点， 2:3时，合金的重量不是36克， 30克。 133 ， 千克， 60??后，这时甲、 3:2。乙袋原 ? 此题中最关 乙两袋余下的面粉重量比是3: 们， 下的重量， 的重量。 126×(1-3)=84(千克), 甲袋 13 乙袋还剩下84×3=56(千克), 有面粉56÷(1-60?140(千克)。 ：乙袋 千克。 比和比例经常和分数百分数应用题结合在一起， ，倍 除法、分数、比和比例在内在的数量关系中有 ， 系， 复杂的问题。 4 新希 ”全国作文大赛 营活动， 100 ， 3:2。分成两个兴趣小组， 女生人数的比是5:2 女生人数的比是7:6 25人， ? 先算出女生的总人数， 算出第一小组女生的人数， 90 ! " ! # 暋暋暋暋 91暋 暋 暋 天 行 健 氋 君 子 以 自 强 不 息 氌 氞氭 周 易 · 乾 氱氠 女生总人数-第一小组女生的人数,算出第二小组女生的人数。 详 解暋女生一共有100暳 22+3=40 (人), 第一组女生有25暳25=10 (人), 第二组女生有40-10=30(人), 答:第二小组有女生30人。 小 结暋在本题中“第二小组男、女生人数的比是7暶6。暠这一条件在解题过 程中是用不着的,在数学基础或者培优学习中都有可能碰到这一种情况,需要同 学们仔细读题,剔除题目中的多余条件,排除干扰。 例5暋张师傅开车从甲地前往乙地购物,两地相距264千米。汽车在上 坡路、平路、下坡路的速度比为4暶5暶6,并用14 的时间走上坡路,1 2 的时间走平 路,1 4 的时间走下坡路。他从乙地原路返回甲地时,由于车上载有货物,上坡路、 平路的速度分别减少20%、10%,下坡路的速度增加20%,这样比来时多用47分 钟。求汽车去乙地时在平路上的速度。 点 拨暋由每段的速度比以及所用时间比能算出各段路程,再根据回时比来 时多用47分钟,算出总时间,再根据路程和时间计算速度。 详 解暋从甲地到乙地汽车在上坡路、平路、下坡路上行驶的时间比是: 1 4暶 1 2暶 1 4=1暶2暶1 , 从甲地到乙地所用时间的总份数是1+2+1=4(份), 从乙地到甲地上坡路、平路、下坡路速度的份数分别为: 4暳(1-20%)=3.2,5暳(1-10%)=4.5,6暳(1+20%)=7.2, 来时的上坡路和下坡路分别是回时的下坡路和上坡路, 从乙地到甲地上坡路、平路、下坡路所行驶的时间的份数分别为: 1暳 63.2= 15 8 ,2暳 54.5= 20 9 ,1暳 47.2= 5 9 , 从乙地到甲地所用时间的总份数为: 15 8+ 20 9+ 5 9=4 47 72 , 从甲地到乙地所用的时间是: 比 知 七 3 一 一小组女生的人数， 小组女生的人数。 详 解 女生一共有100×2+3=40(人), 25×3=10(人), 40—10 ( ), ： 人。 在本题中“ 7:6。” ， 碰到这一种情况， 题， 的多余条件，排除干扰。 天行健;君子以自强不息(《周易·乾》 5 乙地购物， 264 平路、下坡路的速度比为4:5:6 走上坡路， 路，4 14 12 原路返回甲地时， 于车上载有货物，上坡路、 速度分别减少20??10下坡 20这样比 7 在平路上的速度。 由每段的速度比以及所用时间比能算出各段路程， 47分钟，算出总时间， 时间计算速度。 从甲地到乙地汽车在上坡路、平路、 路上行驶的时间比是： 4:1:4=1:2:1, 所用时间的总份数是1+2+1 ( ), 地上坡路、 、 数分别为： ×(1—20? . 5×(1-10?4. 6×(1+20?7.2, 路分别是回时的下坡路和上坡路， 地上坡路、 份数分别为： 1×3.2=5,2×4.5=9,1×.2=5, 所用时间的总份数为： 5+9+5=4 7, 地所用的时间是： 9 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 92暋 暋暋暋暋 47 60暵 (44772-4 )暳4=4.8(小时), 从甲地到乙地上坡路、平路、下坡路的路程比是: (4暳1)暶(5暳2)暶(6暳1)=2暶5暶3, 从甲地到乙地的平路上的速度是: 264暳 52+5+3暵 (4.8暳 21+2+1 )=55(千米/小时), 答:汽车去乙地时在平路上的速度是55千米/小时。 小 结暋路程一定,时间和速度成反比。这样简单的一个结论可以变化出很 多难题的算术解法。在本题中,易知从甲地到乙地的上坡路、平路、下坡路的时间 比,根据从乙地到甲地汽车速度的变化,可以知道返回时各段路程所花时间在份 数上的变化,从而求出从甲地到乙地所花的时间。 例6暋甲、乙两个容器内分别装有600克和500克盐水,其浓度比值为 2暶1。在乙容器中加入500克水后,将乙容器的盐水倒一部分给甲容器,再在两容 器内加水,使它们均为1000克,这时甲、乙两容器内的盐水浓度比为14暶3,乙容器 倒入甲容器的盐水有多少克? 点 拨暋注意三点: 栙甲、乙两个容器内分别装有盐水600克、500克,其浓度比值为2暶1。 栚两次从外面加入的都是水,那么容器中的盐的总量没有变化。 栛最后两个容器内的盐水都是1000克,盐水浓度比为14暶3。 从栙可以知道原来两个容器内盐的重量比。 从栛可以知道后来两个容器中盐的重量比就是14暶3, 将前后盐的重量发生的变化进行对照,就可以轻松作出解答。 详 解暋原来两个容器中盐的重量比: (600暳2)暶(500暳1)=12暶5, 因为盐的总量没有变化,12+5=17=14+3, 说明从乙容器倒入甲容器的盐水中盐的份数为2份。 乙容器中原来有5份盐倒走了2份, 乙容器倒入甲容器的盐水重量为: (500+500)暳25=400 (克)。 答:乙容器倒入甲容器的盐水重量为400克。 小 结暋本题中,12暶5和14暶3两个比的总份数一致,所代表的总数量相等, E OPE 广 67÷(447-4)×4=4.8(小时), 乙地上坡路、平路、 路程比是： 4×1): 5×2): 6×1)=2:5: , 地的平路上的速度是： 264×2+5+3÷(4.8×1+2+1)=55(千米/小时), ：汽车去 千米/小时。 路程一定， 本题中， 地的上坡路、 、 ，根据从乙地到甲地汽车 ，可以知道返回 ， 所花的时间。 6 乙两个 600 和 ， 2:1。 500 ， 甲容器， ，使它们均为1 0 ，这 乙两容器内的盐水浓度比为14:3 注意三点： ① 乙两个 克、500 ， :1。 ② 入的都是水， 盐的总量没有变化。 ③ 克， :3。 ① 来两个容器内盐的重量比。 ③ 就是14: , 重量发生的变化进行对照， 可以轻松作出解答。 原来两个容器中盐的重量比： 6 0×2): 5 0×1)=12: , 没有变化，12+5=17=14 , 2份。 5份盐倒走了2 份， 容器的盐水重量为： (500+500)×号=400(克)。 ：乙容器 400克。 本题中，12:5和14:3两个比的总份数一致，所代表的总数量相等， 92 ! " ! # 暋暋暋暋 93暋 暋 暋 不 积 跬 步 氋 无 以 至 千 里 気 不 积 小 流 氋 无 以 成 江 海 氌 氞 荀 况 氠 说明这两个比的每份数是相等的。可以直接看出甲容器的盐增加了2份,而乙容 器中的盐减少了2份。在有些题目中,如果两个比代表的总数量相同,而总份数 不同,可以利用比的基本性质和公倍数的知识化成每份数相等的两个比,从而对 数量的变化进行对比。 例7暋张老师到商店买甲、乙两种钢笔共66支,其中甲种钢笔每支定价 5元,乙种钢笔每支定价9元。由于买的数量较多,商店给予优惠,甲种钢笔按定 价的85%付钱,乙种钢笔按定价的80%付钱,因此张老师所付的钱比按原价购买 买少18%。张老师买了甲、乙两种钢笔各多少支。 点 拨暋此题可以用浓度配比的方法来解答,由于最后是按1-18%=82% 付钱,就相当于是配成的浓度,甲种钢笔按85%付钱相当于是浓度较高的溶液。 乙种钢笔按80%付钱相当于浓度较低的溶液。 详 解暋甲、乙两种钢笔按原价购买的钱数比为: (82%-80%)暶(85%-82%)=2暶3, 甲、乙两种钢笔的支数比是2 5暶 3 9=6暶5 , 买了甲种钢笔66暳 66+5=36 (支), 买了乙种钢笔66-36=30(支)。 答:张老师买了36支甲种钢笔,买了30支乙种钢笔。 小 结暋同学们可能会发现,其实鸡兔同笼问题,平均数问题,浓度问题和一 些百分数问题可以说是同一类问题,在数量关系和解题方法上是相通的,如果你 有了这样一种体会,那么你对数学问题的思考上达到了一定的深度。 例8暋某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知:(1)甲、乙校获一等奖的人 数相等;(2)甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校获一等奖的 人数相应的百分数之比为5暶6;(3)甲、乙两校获二等奖的人数占两校获奖人数总 和的20%;(4)甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%;(5)甲校获二等奖的 人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。那么乙校获一等奖的人数占该校获奖总人 数的百分之几? 点 拨暋此题看起来数量关系复杂,而且没有人数的具体数量,有些同学读起 来难免犯晕,但是当你静下心来,仔细分析,运用课本所学的有关反比例,按比例 比 知 七 3 器的盐增加了2 份， 2份。在有些题目中， 的总数量相同， ，可以利用比的基本性 等的两个比， 行对比。 7 乙两 66 ， 元， 元。由于买的数量较多， 予优惠， ??钱，乙种钢 ??钱，因此张老师所付的钱比按 18??张老师买了甲、乙两种钢笔各多少支。 用浓度配比的方法来解答，由于最后是按1-1 ?2% ，就相当于是配成的浓度，甲种钢笔按 85?? 是浓度较高的溶液。 80??钱相当于浓度较低的溶液。 甲、 种钢笔按原价购买的钱数比为： 82??80?(85? ?2:3, :g=6:5,乙 66×6+5=36( ), — =30(支)。 ：张 ， 3 支乙种钢笔。 同学们可能会发现， 鸡兔同笼问题， 题， ， 是相通的， ， 了一定的深度。 不积跬步，无以至千里;不积小流。无以成江海。(荀况) 8 赛设一、 ：(1) 乙校 ；(2)甲校获一等奖的人数占该校 5:6;(3)甲、 20?4)甲校获三等奖的 人数的50?5)甲校获二等奖 4.5 此题看起来数量关系复杂， 具体数量， ， ， ，运用 例， ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 94暋 暋暋暋暋 分配,及分数百分数应用题的基本解题思路,可以找出较为简洁的解题方法。 详 解暋甲、乙总人数比为6暶5,设甲、乙获奖总人数为11份,甲6份、乙5份, 甲三等奖为6暳50%=3(份), 甲、乙二等奖一共有11暳20%=2.2(份), 乙二等奖:2.2暵(1+4.5)=0.4(份), 甲二等奖:2.2-0.4=1.8(份), 甲、乙一等奖各有:6-3-1.8=1.2(份), 乙一等奖占该校人数的1.2暵5=24%。 答:乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24%。 小 结暋应用题中的基本数量关系延伸到比和比例题目中,基本的计算方法 是不变的,只是在比例中不是明确的数量,而是运用份数来进行四则运算。这在 例5中也有很明显的体现,这一点同学们好好体会吧! 挑 战 自 我 1.某公司准备将一笔从缺勤人员按每人罚款100元获得的资金,平均分发给 全公司的每个员工,这样每人可以分得60元。但董事会决定,这笔资金只能发给 满勤人员,每个满勤人员可得多少元? 2.甲齿轮有60齿,乙齿轮有48齿,为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动 13圈,须在甲、乙齿轮之间连接一个丙齿轮。丙齿轮是有固定在一起的大、小两个 齿轮组成的复合齿轮(丙齿轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同)。丙齿轮上大 齿轮与甲齿轮咬合,小齿轮与乙齿轮咬合。 (1)丙齿轮上大、小齿轮齿数之比是多少? (2)若甲齿轮、丙齿轮不变,要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈,则乙 齿轮有多少齿? E OPE ，及分 思路， 简洁的解题方法。 甲、 6:5,设甲、乙获 11份， 6份、 5份， 奖为6×50?(份), 乙二等奖一共有11×20?.2(份), ：2.2÷(1+4 5)= . ( ), ：2.2—0.4= . ( ), 乙一等奖各有：6—3-1.8=1.2( ), 人数的1.2÷5=24?? ：乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24?? 应用题中的基本数量关系延伸到比和比例题目中， ，只是在比例 ，而是运 5 ， 1 元获得的资金， ，这样每人可以分得60 ， ， 2 齿， 48 ，为 17 13 ， 乙齿轮之间 起的大、 小两 咬合， 齿轮咬合。 1 ? 2 、 ， 齿轮转动12 圈， 94 ! " ! # 暋暋暋暋 95暋 暋 暋 它 山 之 石 氋 可 以 攻 玉 氌 氞氭 诗 经 氱氠 3.一块合金内铜和锌的比是3暶5,现在再加入10克锌,共得新合金42克,求 新合金内铜和锌的比。 4.家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公禽与母禽数量之比是2暶3,已知鸡、鸭、鹅 数量之比是8暶7暶5,公鸡与母鸡数量之比是1暶3,公鸭与母鸭数量之比是3暶4。 求公鹅与母鹅的数量之比。 5.某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车30元,小客车15元, 小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5暶6,小客车与 小轿车之比是4暶11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车 辆通过的数量。 6.出售76件某商品给33位顾客,每位顾客最多买三件,买1件按定价,买2 件降价10%,买3件降价20%。最后结算,平均每件恰好按原定价的85%出售, 那么买3件的顾客有多少人? 7.已知三种混合物由三种成分A、B、C组成,第一种仅含成分A 和B,重量比 为3暶5;第二种只含成分B和C,重量比为1暶2;第三种只含成分A 和C,重量之 比为2暶3。三种混合物以什么比例混合时,能使所得的混合物中A、B、C 的重量 比为3暶5暶2? 比 知 七 3 :5,现在再加入10克锌，共得新合金42 克， 和锌的比。 4. 鹅三种家禽中公禽 2:3,已知鸡、鸭、 8:7:5,公鸡与母鸡 1:3,公鸭与母鸭 3:4。 的数量之比。 它山之石;可以攻玉·(《诗经》 5. 辆收费标准是： 30元， 15元， 量之比是5: , 4:11, 210元。 数量。 6. 76件某商品给33位顾客，每位顾客最多买三件， 1件按定价，买 2 10买3件降价 20??最后结算，平均 的85?售， 3件的顾客 7. A、B、C ， A B :5;第 B , :2; A ,重量 :3。三种混合物以什么比例混合时， 、B C 3: : ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 96暋 暋暋暋暋 8.A、B、C三项工程的工作量之比为1暶2暶3,由甲、乙、丙三队分别承担。三 个工程队同时开工,若干天后,甲完成的工作量是乙未完成的工作量的1 2 ,乙完成 的工作量是丙未完成的工作量的1 3 ,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量,则 甲、乙、丙队的工作效率之比是多少? 9.如图,甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发,沿长方形的边爬去,结果在距B 点 2厘米的C点相遇,已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍,求这个长方形的周长。 10.A、B、C 三个水桶的总容积是1440升,现在 A、B 两桶装满水,C 桶是空 的,若将A 桶水的全部和B 桶水的15 ,或将B 桶水的全部和A 桶水的13 倒入C 桶,C桶都恰好装满。A、B、C三个水桶容积各是多少升? 11.甲、乙两车分别从A、B 两地同时相向开出,甲车速度是50千米/小时,乙 车速度是40千米/小时,当甲车驶过A、B距离的13 多50千米时与乙车相遇,A、B 两地相距多少千米? 12.某工地用3种型号的卡车运送土方。已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比 为10暶7暶6,速度比为6暶8暶9,运送土方的路程之比为15暶14暶14,三种车的辆 数之比为10暶5暶7。工程开始时,乙、丙两种车全部投入运输,但甲种车只有一半 投入,直到10天后,另一半甲种车才投入工作,一共25天完成任务,甲种车完成的 工作量与总工作量之比是多少? EW HOPE 8.A、B C 1:2:3,由甲、乙、 ,乙完， ，甲完成的工作量 3, 未完成的工作量， 乙、丙队的工作效 ? 9 ，甲、乙两只蚂蚁同时从A ， ， B 厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2 倍，求这个长方形的周长。 甲 A 乙 C B 10 B C 144 ， A B ，C 5,，若将 A B , B C ，C A、B C ? 13 11 乙两车分别从A B 出， 千米/小时， 千米 ， A B 千米时与乙车相遇， 、B13 12 种型号的卡车运送土方。已知甲、 、 10:7:6,速度比 6:8:9,运送土方的路程 15:14:14,三种车的 :5:7。工程开始时，乙、 入运输， ，直 10 ， ， 25 成任务， 96