第七讲圆与组合图形(二)-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 44暋 暋暋暋暋 第七讲暋圆与组合图形(二) 我们把三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆和扇形等称为基本图形 或规则图形,这些图形的周长和面积都是可以用公式直接进行计算的。实际问题 中,一些图形是由基本图形组合、拼凑而成的,我们称这样的图形为组合图形或不 规则图形。 求组合图形的面积在数学竞赛中出现的频率相当高,其中一类图形就是圆、 扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,在计算组合图形的 面积时,常常需要运用分割、拼补、平移、旋转等手段使之转化为规则图形来解决。 经 典 范 例 例1暋下面图案是由两颗心组成的,每颗心都是由一个正方形和两个半 圆拼成的,若两个正方形的边长分别为20和10,求阴影部分的面积 点 拨暋大“心暠减去小“心暠即为所求,每个“心暠都是两个半圆和一个正方形, 分别计算即可。 详 解暋大“心暠的面积为 20暳20+毿暳 20æ è ç ö ø ÷ 2 2 =100毿+400=714, 小“心暠的面积为 10暳10+毿暳 10æ è ç ö ø ÷ 2 2 =25毿+100=178.5, 阴影部分的面积为714-178.5=535.5。 小 结暋间接法是求图形面积的一个行之有效的方法,当所求图形不易直接 EW HOPE 圆与 ( ) 形、 平行四 梯形、圆和扇形等称 ，这些图形的周长和面积都 ，一些 拼凑而成 ，我们称这样的图 图形。 赛中出现的频率相当高， 中一类图形就是圆、 弓形与三 正方形、长方形等规则图形组合 ，在计算 ， 割、 旋转等手 形来解决。 1 下面图案是由两颗心组成的， ，若两个正方形的边长分 20 10 10 20 大“心” 去小“ ” ， 心”都是两个 方形， 算即可。 大“心” 20×20+π×2°=100m+400=714, ”的 10×10+π×12。2=25m+100=178.5, — . =535.5。 间接法是求图形面积的一个行之有效的方法， ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 45暋 暋 暋 侈 而 惰 者 贫 氋 而 力 而 俭 者 富 氌 氞 韩 非 氠 计算面积时,可用“整体暠减去“局部暠进行计算,“整体暠或“局部暠可以由一个或者 多个规则图形组成。 例2暋如图1,正方形ABCD 边长为8,求阴影部分的面积。 点 拨暋思路一:阴影部分的面积=曶ABE 的面积-栙的面积,如图2;思路 二:将阴影栚移到栛的位置可以拼成14 个圆,如图3。 详 解暋解法一:图形栙的面积 S栙 =82-毿暳8 2 4 =64-16毿 , 阴影部分的面积 S阴影 =S曶ABE-S栙 =8暳162 - (64-16毿)=16毿=50.24。 解法二:如图3,将阴影栚移到栛的位置,得到14 个圆, 阴影部分的面积S阴影 =毿暳8 2 4 =16毿=50.24 。 小 结暋根据图形的内在联系,通过拼凑将所求图形转化成一个规则图形(可 求面积的),是计算组合图形面积的常用方法之一,拼凑不仅是一种方法,更是一 种数学思想。 例3暋如图,两个正方形的边长分别为12和8,求图中阴影部分的面 积。 圆 ● 与 ● 组 合 图 时， “ ” ”进 ， 整体”或“局部”可以由一 组成。 2 AB 边长为8,求阴影部分的面积。 A D 8 Bl 8 C 8 E 图1 思路一： 分的面积=△A 的面积一①的面积， ; 个圆，如图3。：将阴影② ③ A D DA ③ 侈而惰者贫;而力而俭者富。(韩非) 8 8 ① ②BL B 8 C 8 E C E8 8 图2 图3 解法一： ① So 82-×82=64-16π, Sm=S△Aae-So=8×16-(64-16m)=16n=50.24。 1 4： ② ③的位置， 圆， m="×82=16m=50.24。 根据图形的内在联系， ( 常用方法之一， 是一种方法， 思想。 3 ，两个正方形的边长分别为12 8 。 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 46暋 暋暋暋暋暋 点 拨暋思路一:阴影=梯形+扇形-三角形,即 思路二:如图2,连接两条对角线,这两条对角线是平行的,那么曶ABC的面积 就与曶BCD的面积相等(同底等高),阴影部分就补成了一个直角扇形。 详 解暋解法一:阴影部分的面积为 ( )8+12 暳8 2 + 毿暳122 4 - ( )8暳 8+12 2 =36毿=113.04 。 解法二:连接AD,BC,易知AD 与BC 平行,由两条平行线间的距离处处相等 可知,曶ABC与曶BCD 的面积相等,阴影部分就拼成了一个直角扇形,面积为 毿暳122 4 =36毿=113.04 。 小 结暋本例中解法二用到了平行线的性质:两条平行线间的距离处处相等。 再根据同底等高的两个三角形面积相等,将阴影部分拼成一个直角扇形。 例4暋如图1,ABCD 是一个正方形,边长为6,图中阴影部分是两段圆弧 围成的,求阴影部分的面积。 E HOPE 8 12 图1 思路一： 梯形十扇形一三角形， = 十 ：如图2, ，这两条对角线是平 ，那么△ABC △ 的面积相等(同底等高),阴影部分就补成了一个直角扇形。 B A 8 12 CD 图2 解法一： 8+12)×8+m×122-8×(8+12)=36n=113.04。 ：连接 AD,BC AD BC平行，由两条平行 ，△ABC △ CD的面积相等，阴影部分就拼成了一个直角扇形， π×122=36n=113.04。 本例中解法二用到了平行线的性质：两条平行线间的距离处处相等。 两个三角形面积相等， 分拼成一个直角扇形。 4 , BCD是一个正方形，边长为6,图中阴影部 ， 的面积。 A B A B 6 6 ② ① D 图1 C pl 图2 C 46 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 47暋 暋 暋 善 气 迎 人 氋 亲 如 弟 兄 気 恶 气 迎 人 氋 害 于 戈 兵 氌 氞 管 仲 氠 点 拨暋如图2,将阴影图形分成面积相等的两个部分,半个阴影=扇形-三 角形,即 详 解暋连接AC,则阴影图形分成了面积相等的两个部分, 图形栙的面积S栙 =S扇形 -S曶ABC=毿暳6 2暳90 360 - 6暳6 2 =9毿-18=10.26 , 阴影部分的面积S阴影 =2S栙 =10.26暳2=20.52。 小 结暋题中巧妙的将阴影图形分割成两个部分,每个部分是一个弓形,用直角 扇形的面积减去直角三角形的面积可以得到弓形的面积,两个弓形组成了一片漂亮 的“叶子暠,“叶子暠的面积计算在竞赛中常常出现。本题还可利用容斥原理进行计算。 例5暋如图1,三角形ABC 为直角三角形,分别以三边为直径作三个半 圆,求图中阴影部分的面积。 点 拨暋如图,阴影部分的面积=总面积一空白部分的面积,而总面积=半圆 AC的面积+半圆BC的面积+三角形ABC的面积,空白部分是半圆AB。 详 解暋阴影部分的面积为半圆AC的面积+半圆BC的面积+曶ABC的面 积-半圆AB的面积,即 毿暳42 2 + 毿暳32 2 + 6暳8 2 - 毿暳52 2 =24 。 小 结暋通过解题可以发现,阴影部分的面积与三角形 ABC 的面积是相等 的,这是巧合还是必然呢? 反过来推一下:如果阴影部分的面积与三角形ABC 的 面积是相 等,那 么 半 圆 AC 的 面 积 + 半 圆 BC 的 面 积 = 半 圆 AB 的 面 积,即 毿暳 ACæ è ç ö ø ÷ 2 2 2 + 毿暳 BCæ è ç ö ø ÷ 2 2 2 = 毿暳 ABæ è ç ö ø ÷ 2 2 2 ,那么AC2+BC2=AB2,这个式子是成立的。 这里介绍一下著名的勾股定理:在直角三角形ABC 中,角C 是直角,两个直角边 的平方之和=斜边的平方,即AC2+BC2=AB2。 圆 与 ● 组 合 图 如图2,将阴影图形分成面积相等 ， = 一 ， = 连接AC,则阴影图形分成了面积相等的两个部分， ① 面积So= a - Ac=”×36×90 6×?=9π 1 =10.26, S 影=2So=10.26×2=20.52。 题中巧妙的将阴影图形分割成两个部分，每个部分是一个弓形， 的面积， 叶子”,“叶子”的面积计算在竞赛中 常出现。本题还 行计算。 5 , C为直角三角形， ， 的面积。 C 8 6 A 10 B 图1 如图， 总面 ， = 的面积十半圆 的面积十三角形 BC的面积，空白 AB。 半圆AC 十 BC 十△ABC 一 B的面积， m×42+m×3+6×8-m×52=24。 通过 ， 影部分的面积与三角形 ABC ，这是巧合还是必然呢? ：如果阴影部分的面积 ABC的 等，那么半圆 AC的面积十半圆 BC 半圆 的面积， ×*×8× AC2+ C2=AB2,这个式子是成立的。 ：在直角三角形 ABC ， C是直角， = ，即 AC2+BC2 AB2。 善气迎人;亲如弟兄;恶气迎人;害于戈兵。(管仲) 47 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 48暋 暋暋暋暋 例6暋如图,长方形的长和宽分别为8和6,求图中阴影部分的面积。 点 拨暋思路一:长方形的面积减去小直角扇形的面积可以得到空白栙的面 积,再用大直角扇形减去空白栙的面积即得阴影部分的面积。 思路二:两个直角扇形面积之和比阴影部分的面积多两个空白部分的面积以 及中间重叠部分的面积,而两个空白部分的面积加中间重叠部分的面积正好是长 方形的面积。 详 解暋解法一:空白栙的面积为8暳6-毿暳6 2 4 =48-9毿 , 阴影部分的面积为毿暳8 2 4 - 48-9 ( )毿 =25毿-48=30.5。 解法二:阴影部分的面积为毿暳8 2 4 + 毿暳62 4 -8暳6=25毿-48=30.5 。 小 结暋解法一用的是两步间接法,即通过两次间接计算最终算出图形的面 积,思想方法更上了一个高度。解法二用到了容斥原理:两个图形组成的图形的 面积等于两个图形的面积之和减去重叠部分的面积。 E HOPE 6 ，长方形 8 6,求图中阴影部分的面积。 6 8 思路一： ① ，再用 ① 影部分的面积。 ① = = ① ：两个直角扇形面积之和比阴影 ，而两个空白部分 面积。 十 = 十 + + = + 8×6-"×?2=48-9π, 解法一： ① ×82-(4 -9m)=25m-48=30.5。 ×8+×6-8×6=25m-48=30.5。： 解法一用的是两步间接法， ，思想方 ： 和减去重叠部分的面积。 48 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋 49暋 暋 暋 木 受 绳 则 直 氋 金 就 砺 则 利 氌 氭 劝 学 氱 挑 战 自 我 1.如图,圆的半径OA=6,梯形的下底BC=10,求图中阴影部分的面积。 2.如图,圆的直径为8,求阴影部分的面积。 3.如图,直角扇形的半径为6,求阴影部分的面积。 4.如图,正方形ABCD 边长为4,分别以各边为直径作圆,正方形中四个半圆 相交的部分(阴影部分)的面积是多少? 圆 与 绚 合 图 1. ，圆的半径 OA=6 BC=10,求图中阴影部分的面积。 0 B ， , 阴影部分的面积。 8 3. ， 6,求阴影部分的面积。 6 4 ，正方形 ABCD 4,分别以各边为直径作圆， A B Dl C 木受绳则直;金就砺则利。《劝学》 49 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 50暋 暋暋暋暋 5.如图,直角扇形的半径为8,分别以OA,OB为直径在扇形内作两个半圆,求 图中阴影部分的面积。 6.如图,扇形中正方形的面积为40,求阴影部分的面积。 7.如图,2009四个数字边缘是线段或圆弧,一个数字“0暠阴影部分的面积是 72,求四个数字阴影部分的总面积。 8.如图,将8个半径为1的小圆圆周的一部分连成一个花瓣,图中的黑点是这 些小圆的圆心。花瓣图形的面积是多少? E HOPE 5 ，直角扇形的半径为8, OA O 为直径在扇形内作两个半圆， 分的面积。 B o A 6 ，扇 , 阴影部分的面积。 7 ，2 09 四个数字 ， 0”阴影 72 影部分的总面积。 8. ，将8 1的小圆圆周的一部分连成一个花瓣， 50 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 51暋 暋 暋 人 无 远 虑 氋 必 有 近 忧 氌 氭 论 语 · 卫 灵 公 氱 9.如图所示,直径AC=10,阴影部分栙的面积与阴影部分栚的面积相等,求 平行四边形ABCD 的面积。 10.如图,三角形ABC为直角三角形,AB=BC=8,点O是以BC 为直径的半 圆的圆心,求阴影部分的面积。 11.如图,三角形ABC为直角三角形,AB=10,BC=6,分别以AB和BC 为直 径作半圆,求图中阴影部分的面积。 12.如图,三角形ABC为等腰直角三角形,AB=8,求阴影部分的面积。 圆 ● 与 绚 合 图 必 9 ，直径 AC= , ①的面积与阴影部分②的面积相等， ABC 的面积。 A ① D B ② C 10 ，三角形 ABC为直角三角形，A =BC=8 O是 BC为直径 ， 的面积。 A) Bl 0 C 11 ，三角形 ABC为直角三角形，AB=10,BC=6,分别以 AB和BC 圆， 分的面积。 C D 6 A 10 B 12 ，三角形 ABC ，AB 8,求阴影部分的面积。 A下 B C 人无远虑;必有近忧。《论语·卫灵公》 5 ! " # $ 暋暋暋165暋 暋 暋 管 中 窥 豹 氋 只 见 一 斑 氌 氞氭 晋 书 氱氠 五边形的一个内角为180曘-360曘5 =108曘 , 则弧DE所对的圆心角为 60曘+60曘-108曘=12曘, 阴影部分的周长为 2毿暳1暳12暳5360 = 毿 3=1灡047 。 5.解:毿暳52-毿暳32=16毿=50.24。 6.解:三角形内角和为180曘,所以三个扇形可以 拼成一个半圆, 面积之和为毿暳4 2 2 =8毿=25灡12 。 7.解:设圆的半径为r,则毿r 2 2 =9灡42 ,r2=6, 长方形的面积为 2r暳r=2r2=2暳6=12。 8.解:设外圆半径为r1,内圆半径为r2, 则阴影部分的面积为 r21 2- r22 2= 1 2 r 2 1-r( )22 =1, 则r21-r22 =2,圆环的面积为 毿r21 -毿r22 =毿 r21-r( )22 =2毿=6灡28。 9.解:阴影部分的面积=扇形ABC的面积+半 圆AC的面积-半圆AB 的面积=扇形ABC 的面积=毿暳10 2暳45 360 = 25毿 2 =39.25 。 10.解:如 图 所 示,路 线 长 2暳毿暳104 + 2暳毿 ( )暳 10-4 4 + 2暳毿 ( )暳 10-4-4 4 =9毿 =28.26(米)。 11.解:如图,阴影部分可拼成一个半圆环, 面积为毿暳 10 2-8( )2 2 =18毿=56.52 。 12.解:三条跑道线共100暳6+2毿暳(25暳3+1 +2+3)=162毿+600=1086(米), 1086暵50暳2=43.44(千克)。 答:画3条跑道线需要43.44千克石灰粉。 第7讲暋圆与组合图形(二) 1.解:S阴影 =S梯形 -S扇形 =6+102 暳6- 毿暳62 4 = 48-9毿=19.74。 2.解:如图,将上面的两个弓形移到下面, 阴影部分的面积为8暳4 2 暳2=32 。 3.解:如图,阴影部分的面积为直角扇形的面积 减去大三角形面积的一半, 毿暳62 4 - 1 2暳 6暳6 2 =9毿-9=19.26 。 4.解:如图,将阴影分成8个面积相等的部分, 其中2个部分的面积=半圆AB 的面积-三 角形AOB的面积, ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋166暋 暋暋暋暋暋 那么阴影部分的面积=4个半圆AB 的面积 -4个三角形AOB的面积=2个圆AB 的面 积- 正方形 ABCD 的面积,S阴影 =2暳毿暳 ( )42 2 -4暳4=8毿-16=9.12。 5.解:如图,将两块阴影部分补拼成一个整体, 则阴影部分的面积为毿暳8 2 4 - 8暳8 2 =16毿-32 =18.24。 6.解:如图,将两个扇形重新组拼, 则阴影部分的面积为毿暳40暳2 4 -40=20毿- 40=22.8。 7.解:每个小方块的面积为72暵18=4, 总面积为14暳4+72暳2+19暳4=276。 8.解:如图,花瓣的面积=3个圆的面积+正方 形的面积-4个半圆的面积=1个圆的面积 +正方形的面积=毿暳12+4暳4=毿+16= 19.14。 9.解:由栙的面积等于栚的面积可知,平行四边 形的面积与圆的面积相等,即 毿暳 10( )2 2 =25毿=157。 10.解:如图,易知OD 平行AB,则三角形AOD 的面积与三角形BOD 的面积相等, 阴影部分的面积为毿暳4 2 4 + 4暳4 2 =4毿+8= 20.56。 11.解:阴影部分的面积为两个半圆面积之和减 去三角形的面积,即 毿暳(52+32) 2 - 10暳6 2 =17毿-30=23.38 。 12.解:阴影部分的面积为半圆的面积加扇形的 面积减去三角形的面积,即 毿暳42 2 + 毿暳82暳45 360 - 8暳8 2 =16毿-32= 18.24。 第8讲暋操作问题 1.解:不能,因为231和121都是11的倍数,2 不是11的倍数,所以在操作过程中产生的数 也应当是11的倍数。而 100不是 11的倍 数,所以不可能出现100。 2.解:这个变换的过程实际上就是求两数最大 公约数的辗转相除法,2012和2605的最大公 约数是1。 所以最后得到的两个相同的数是1。