第六讲圆与组合图形(一)-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 36暋 暋暋暋暋 第六讲暋圆与组合图形(一) 古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过:“一切立体图形中最美的是球,一切平面图 形中最美的是圆。暠圆是一种基本的几何图形,圆形物体在生活中随处可见。 圆的周长和面积的基本计算方法是:C圆 =毿d=2毿r,S圆 =毿r2,其中毿是圆周 率(本书中无特别说明,毿取3.14)。扇形的周长和面积计算方法是:弧长l=nC360 =2毿rn360= 毿rn 180 ,C扇形 =l+2r=毿rn180+2r ,S扇形 =nS360= 毿r2n 360 。圆是轴对称图形,在计算 圆的面积时可以运用割补、平移、旋转等方法将不规则图形转化为规则图形计算。 经 典 范 例 例1暋三个半圆拼接如图,求阴影部分的周长。 点 拨暋由图形可知,阴影部分的周长由三段圆弧组成,三段圆弧的直径分别 为30、20、50,根据圆弧计算公式即可求出阴影部分的周长。 详 解暋大半圆的圆弧长为12暳毿 ( )暳 30+20 =25毿, 中半圆的圆弧长为1 2暳毿暳30=15毿 , 小半圆的圆弧长为1 2暳毿暳20=10毿 , 阴影部分的周长为25毿+15毿+10毿=50毿=157。 小 结暋由例题可知,阴影部分的周长等于大圆的周长。这个结论可以推广 到一般情况:几个小圆直径之和等于大圆的直径时,小圆的周长之和等于大圆的 周长。设大圆的直径为d,两个小圆的半径分别为d1 和d2,易知d=d1+d2,大圆 EW HOPE 圆与 ( ) 拉斯曾说过： 一切 ， 的是圆。”圆 ， 活中随处可见。 法是：C =πd 2πr S πr2, π l=360，π取3.14) 方法是： =360=80,Cme=1+2r=180+2r,Smm=360=360。 对称图形， 以运用割补、 为规则图形计算。 1 三个半圆拼接如图，求阴影部分的周长。 h -30 —20— 由图形可知， ， 、20 50,根据 部分的周长。 ×π×( 20)=25π, 大半圆 ×m×30=15m, ×m×2 =10m, 25π+15π+10π=50π=157。 由例题可知， 以推广 ：几个小圆 ， 径为d 的半径分别为d? d? d=d? d?,大 36 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋暋暋 37暋 暋 暋 静 以 修 身 氋 俭 以 养 德 氌 氞 诸 葛 亮 氠 的周长为毿d,两个小圆的周长之和为毿d1+毿d2=毿d1+d( )2 =毿d,结论成立。 例2暋小米买了6瓶饮料,每瓶饮料瓶的直径都是8厘米。售货员用一 根绳子将饮料紧紧的捆在一起,如图1所示,捆一圈需要多长的绳子? 点 拨暋如图2,绳子的长度等于3个线段AB的长度与3个弧BC的长度之 和。AB等于2个直径长,3段弧BC恰好能补成一个圆。 详 解暋3个AB长8暳2=16(厘米), 3个弧BC能拼成一个直径为8厘米的圆, 3个弧BC长毿暳8=25.12(厘米), 绳子总长16+25.12=41.12(厘米)。 答:捆一圈需要41.12厘米长的绳子。 小 结暋当几个圆相切组成一个n边形(如四边形、五边形等)时,可将绳子用 分成n条线段和n 条圆弧,其中n条圆弧能拼成一个圆,n条线段和n 条圆弧的长 度之和即为绳子长度。 例3暋在边长为1厘米的正方形ABCD 中,分别以A、B、C、D 为圆心,1 厘米为半径画四分之一圆,交点分别为E、F、G、H,如图1所示,求中间阴影部分 的周长。(圆周率毿=3.141) (第十六届“华罗庚金杯暠少年数学邀请赛六年级试题) 点 拨暋如图2,易知曶ADE为等边三角形,则曄ADE=60曘,曄CDE=30曘,同 圆 与 组 合 图 πd πd?+πd? π d? ?)=πd,结论成立。 小米买了6瓶饮料， 厘米。 ， 所示， Bk C A 图1 图2 , 3 AB 个 B 的长 AB等于 2个直径长，3段弧 BC恰好能补成一个圆。 B长8×2=16(厘米), 3 B 能拼成一个直径 8厘米的圆， 3 BC长π×8=25.12(厘米), +25.12=41.12(厘米)。 ：捆 . 的绳子。 当几个圆相切组成一个 n边形(如四边形、五边形等)时， 条线段和n条圆弧，其中 条圆弧能拼成一个圆，n 绳子长度。 3 厘米的正方形 ABCD中，分别以 A、B、 、 为圆心， ，交点分别 E F G、H,如 1 示， π=3.141) D DC C F F G G E E H H A B A B 图1 图2 ”少年数 如图2,易知△ADE为等边三角形， ∠ADE=60°,∠CDE=30°, 静以修身;俭以养德。(诸葛亮) 3 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 38暋 暋暋暋暋 理曄ADH=30曘,则曄EDH=30曘,求出弧 HE 所对的圆心角即可求出弧 HE 的 长。 详 解暋连接AE、DE,知阴影部分四段圆弧长度相等, 又AD、AE、DE都是半径,所以曶ADE是等边三角形, 则曄ADE=60曘,曄CDE=30曘, 同理曄ADH=30曘,则曄HDE=90曘-30曘-30曘=30曘, 阴影部分的周长为30 360暳2毿暳1暳4=2.094 (厘米)。 小 结暋要计算圆弧的长度,就要找出圆弧所对的圆心角,再根据弧长公式进 行计算。本例中判断出曶ADE 是等边三角形是关键。 例4暋有一个长为8cm,宽为6cm 的长方形,对角线长10cm,现将它绕 顶点沿水平线滚动(如图1所示),如此连续滚动2008次,在此过程中,顶点A 所 经过的路径总长是多少? (毿取3) 点 拨暋如图2所示,4次滚动为一个周期,一个周期内,点A 经过了3段圆 弧,2008暵4=502个周期。 详 解暋长方形4次滚动为一个周期,一个周期内,点A 经过了3段圆弧, 第一段圆弧长2暳3暳6 4 =9 (cm), 第二段圆弧长2暳3暳10 4 =15 (cm), 第三段圆弧长2暳3暳8 4 =12 (cm), 一个周期内,顶点A 经过了9+15+12=36(cm), 共经过了2008暵4=502个周期,36暳502=18072(cm)。 E HOPE ∠A =30°, ∠ H=30°,求出弧 E所对的圆心角即可求出 。 连接AE、DE,知阴影部分四段圆弧长度相等， A AE DE都是半径， △A 是等边三角形， ∠A =60° ∠ E=30°, ∠ DH=30°,则∠HDE=90°—30°—30°=30°, 360×2m×1×4=2.094(厘米)。 要计算圆弧的长度， 所对的圆心角， △A E是等边三角形是关键。 有一个长为8cm,宽为6cm的长方形， ,现 ( 1 ), 2008次， ， A ?(π 3) 4 A 图1 如图2所示， 次滚动为一个周期， ，点 A 3 ，2 08÷4= 个周期。 A 图2 长方形 次滚动为一个周期， ，点A 3段圆弧， 2×3×?=9(cm), 2×3×10=15(cm), 2×3×8=12(cm) ，顶点A经过了9+15+12=36(cm), ÷ 502个周期， × 18072(cm)。 38 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 39暋 暋 暋 贫 而 无 谄 氋 富 而 无 骄 氌 氞 子 贡 氠 答:顶点A 所经过的路径总长是18072cm。 小 结暋滚动问题是圆的相关知识的应用,看似复杂,实则简单。滚动中,某 个点所经过的路径是一(或若干)段圆弧,要计算圆弧的长度,就需要找出半径和 圆心角,再利用弧长公式进行计算。一般来说,在多次滚动问题中,滚动是周期性 的,只要找对了周期,就找到了突破口。 例5暋如图,正方形的面积是40平方厘米,阴影部 分是以正方形的边长为直径的圆,求圆的面积。 点 拨暋求圆的面积,需要知道圆的半径或半径的平方, 设圆的半径为r,由正方形的面积为40可以求出r2=10,再根据圆的面积公式计 算。 详 解暋设圆的半径为r,则正方形的边长为2r, 则2r暳2r=4r2=40,r2=10, 圆的面积为毿r2=3.14暳10=31.4(平方厘米)。 小 结暋在有关圆的问题中,很多时候我们只能求出r2,这时我们可以将所求 的问题用字母表示出来,再将r2 直接代入求解。本例中,我们还可以得到如下结 论:正方形中的最大圆的面积与这个正方形的面积之比为毿暶4。 例6暋如图1所示,一个直径为6的圆圈从平面上A 点的位置沿AB, BC,CD 滚动到D 点位置,其中AB=15,BC=10,CD=15,求这个圆圈扫过的区 域的面积。 点 拨暋如图2,圆圈从A 点滚到D 点可以分为四个过程,过程一:圆圈从A 点滚到B 点;过程二:圆圈绕着点B 旋转360曘-90曘-120曘-90曘=60曘;过程三:圆 圈滚到CD 上的E 点;过程四:圆圈从E 点滚到D 点。需要注意的是,过程三中, 圆 与 组 合 图 ：顶点 A 18072 m。 滚动问题是圆的相关知识的应用，看似复杂，实则简单。滚动中， )段圆弧， 度， ，再利 ， ， ，只 ， 突破口。 如图， 平方厘米， 的边长为直径的圆，求圆的面积。 求圆的面积，需要知道圆的半径或半径的平方， r 积为40 r2 1 ,再 。 设圆的半 r,则正 , 2r×2r=4r2=40,r2=10, πr2= × 31.4(平方厘米)。 在有关圆的问题中， r2 ，再将r2 ， ：正方形 为π:4。 6 所 ， 6 A A , , 滚动 点位置， AB 15, C=10,CD=15,求这个圆圈扫过的 面积。 D B 120° CA 图1 如图2,圆圈从A点滚到D点可以分为四个过程，过程一： A B点；过程二：圆圈绕着点 B旋转 360°—90°—120°— 0° 60° 三： 上的E点；过程四： 点滚到D点。需要注意的是，过程三中， 贫而无谄。富而无骄。(子贡) 3 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 40暋 暋暋暋暋暋 圆圈扫过的区域不包括图2中的阴影部分,分别计算四个过程中圆圈扫过的区域 面积。 详 解暋由图2可知,圆圈扫过的区域分成了几个部分:两个半圆、长方形栙 和栛、一个扇形和图形栚, 圆圈的半径为6暵2=3,两个半圆的面积之和为毿暳32=9毿, 长方形栙的面积为15暳6=90, 扇形的面积为毿暳6 2暳60 360 =6毿 , 图形栚的面积为6暳10-3暳3+毿暳3 2 4 =51+2 1 4毿 , 长方形栛的面积为6暳(15-6)=54, 则圆圈扫过的区域的面积为9毿+90+6毿+51+214毿+54=195+17 1 4毿= 249.165。 小 结暋求图形滚动过程中扫过的区域的面积是竞赛考试中的难点之一,解 决此类问题需要画出图形,然后分析运动过程,将运动过程恰当的分解成若干个 部分,再各个击破,最终解决问题。 挑 战 自 我 1.将两个半径分别为3和5的两个半圆如下图放置,求阴影部分的周长。 E HOPE 2 ，分别计 积。 D ③ B ① ②120° E A C 图2 由图2可知，圆圈扫过的区域分成了几个部分：两个半圆、 ① ③ 一个 ② ÷ 3,两个半圆的面积之和为π× 2 9π ① 15×6= ×3×6?=6m, ② 积为6×10-3×3+*×32=51+21m, ③ 积为6×(15-6 = , 过的区域的面积为9m+90+6m+51+24m+54=195+174π= . 65。 求图形滚动过程中扫过的区域的面积是竞赛考试中的难点之一， ， ，将运动 ， ， 问题。 1 和5的两个半圆如下图放置，求阴影部分的周长。 40 ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 41暋 暋 暋 好 学 近 乎 智 氋 知 耻 近 乎 勇 氌 氞氭 礼 记 氱氠 2.如图,将四根直径为1米的圆木用一根粗绳紧紧的捆在一起,捆一圈(接头 处不记)需要多长的绳子? 3.如图,正六边形的边长为1,分别以六个顶点为圆心,1为半径作圆,求图中 阴影部分的周长。 4.如图,正五边形的边长为1,分别以五个顶点为圆心,1为半径作圆,求图中 阴影部分的周长。(毿=3.141) 5.如图,圆环外圆的半径为5,内圆的半径为3,求阴影部分的面积。 圆 与 绚 合 图 2 ，将四根直径为1 在一起， 3 ，正六边形 1 圆心，1 径作圆， 的周长。 4. ，正五边 1 为圆心，1 半径作圆， π= . ) ， 3,求阴影部分的面积。 好学近乎智;知耻近乎勇。《礼记》 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 42暋 暋暋暋暋 6.如图,分别以三角形三个顶点为圆心作半径为4的圆,求图中阴影部分的 面积。 7.如图,半圆的面积是9.42,求长方形的面积。 8.如图,直角三角形的直角顶点在圆心,阴影部分的面积为1,求圆环的面 积。 9.如图所示,将直径为10的半圆绕着点A 逆时针旋转45曘,此时点B 落到C 处,图中阴影部分的面积是多少? 10.如图,一只狗被系在一个正方形建筑物(实心)的墙角上,建筑物的边长为 4米,系狗的绳子长10米,那么狗从A 点出发,并将绳子拉紧顺时针跑,最多可跑 EW HOPE 6 ，分别以三角形三个顶点为圆心 4的圆， 积。 7 ， . ,求长方形的面积。 ， ，阴影部分 1 。 ，将直径为10 的半圆绕着点 A 45°,此时点B C ，图中 C A 45° B 10 ，一只狗 ， 4 ， 10米， A点出发， 子拉紧顺时针跑， ! " # $ % & （ ( ） 暋暋暋暋 43暋 暋 暋 强 本 而 节 用 氋 则 天 不 能 贫 氌 氞 荀 况 氠 多少米? 11.如图,三角形ABC 中,AB=10,BC=6,AC=8,将三角形ABC 绕着点A 顺时针旋转180曘,求BC边扫过的面积。 12.如图(单位:米),运动会每条跑道的宽度为1米,每画出50米长的跑道线 需2千克石灰粉,画3条跑道线需要多少千克石灰粉? (不取3) 圆 与 绚 合 图 必 4米 10米 A 11 ，三角形 ABC中，AB=10,BC=6,AC= , ABC 180°, BC边扫过的面积。 Bk A D E 12 ：米),运动会每条跑道的宽度为1 ，每画出50 千克石灰粉， (不取 100号 50 25- 强本而节用;则天不能贫。(荀况) 43 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋164暋 暋暋暋暋暋 暵2=112 , 三 人 的 工 作 效 率 之 和 为 1-( )13 暳 1-( )14 暵5= 1 10 , 则李明的工作效率为1 10- 1 18= 2 45 , 刘军的工作效率为1 10- 1 12= 1 60 , 王强的工作效率为1 18- 1 60= 7 180 , 刘军分1800暳6+560 =330 (元), 王强分1800暳 ( )7暳 6+2+5 180 =910 (元), 李明分1800-330-910=560(元)。 答:刘军330元,王强910元,李明560元。 7.解:设甲做了x天,乙做了3x 天,丙做了6x 天,设总工作量为72,则甲每天完成6,乙每 天完成4,丙每天完成3,则 6暳x+4暳3x+3暳6x=72,解得x=2, 2+3暳2+6暳2=20(天)。 答:完成这件工作总共用了20天。 8.解:甲1小时完成112 ,乙1小时完成116 , 一个周期完成 1 12+ 1 16= 7 48 ,需要1暵 748= 667 个周期, 6个周期还剩下1-748暳6= 1 8 , 甲再做1小时,剩下18- 1 12= 1 24 , 乙需做1 24暵 1 16= 2 3 (小时), 共需2暳6+1+23=13 2 3 (小时)。 答:完成任务时共用1323 小时。 9.解:设时间为4,前一段时间为1,后一段时间 为3,总水量为7暳4=28, 28暵(1+3暳2)=4(根)。 答:开始时打开了4根水管。 10.解:设1个排水管每小时排水量为1,每小时 流入水池的水量为 (5暳2灡5-8暳1灡5)暵(2灡5-1灡5)=0灡5, 水池原有水8暳1灡5-1灡5暳0灡5=11灡25, 11灡25暵(13-0灡5)=0灡9(小时)。 答:打开13个龙头,放空水池需0灡9小时。 11.解:设水池能装60(单位)的水, 甲、乙进水管每小时分别进水20、15, 丙、丁排水管每小时分别排水12、10, 一个周期(4个小时)进水 20+15-12-10=13, 还需进水60暳 1-( )16 =50, 50暵13=3……11,3个周期后还差11, 甲、丙各开一个小时还差11-20+12=3, 乙进水管需开3暵15=0.2(小时), 共需3暳4+2+0.2=14.2(小时)。 答:14.2小时后水开始溢出水池。 12.解:甲队单独完成需31-27+30+1+29= 64(天), 64暵7=9……1,共9暳6+1=55个施工日, 甲队每个施工日完成1 55 , 甲、乙两队每周完成1 55暳 (6+5)=15 , 整个工程需1暵15=5 (周), 其中甲队最后一周施工了6天, 乙队施工了5天,7暳5-1=34(天), 34=31-27+1+29,即4月29日。 答:到4月29日就能完成。 第6讲暋圆与组合图形(一) 1.解:2毿暳32 + 2毿暳5 2 + (3+5)暳2-4暳2=8毿+ 8=33.12。 2.解:1暳4+毿暳1=7.14(米)。 3.解:正六边形的内角和为 (6-2)暳180曘=720曘, 阴影部分的周长为 2毿暳1暳720360=4毿=12.56 。 4.解:如图,连接AE,BD,BE,CD, 易知曶ABE和曶BCD 都是等边三角形, ! " # $ 暋暋暋165暋 暋 暋 管 中 窥 豹 氋 只 见 一 斑 氌 氞氭 晋 书 氱氠 五边形的一个内角为180曘-360曘5 =108曘 , 则弧DE所对的圆心角为 60曘+60曘-108曘=12曘, 阴影部分的周长为 2毿暳1暳12暳5360 = 毿 3=1灡047 。 5.解:毿暳52-毿暳32=16毿=50.24。 6.解:三角形内角和为180曘,所以三个扇形可以 拼成一个半圆, 面积之和为毿暳4 2 2 =8毿=25灡12 。 7.解:设圆的半径为r,则毿r 2 2 =9灡42 ,r2=6, 长方形的面积为 2r暳r=2r2=2暳6=12。 8.解:设外圆半径为r1,内圆半径为r2, 则阴影部分的面积为 r21 2- r22 2= 1 2 r 2 1-r( )22 =1, 则r21-r22 =2,圆环的面积为 毿r21 -毿r22 =毿 r21-r( )22 =2毿=6灡28。 9.解:阴影部分的面积=扇形ABC的面积+半 圆AC的面积-半圆AB 的面积=扇形ABC 的面积=毿暳10 2暳45 360 = 25毿 2 =39.25 。 10.解:如 图 所 示,路 线 长 2暳毿暳104 + 2暳毿 ( )暳 10-4 4 + 2暳毿 ( )暳 10-4-4 4 =9毿 =28.26(米)。 11.解:如图,阴影部分可拼成一个半圆环, 面积为毿暳 10 2-8( )2 2 =18毿=56.52 。 12.解:三条跑道线共100暳6+2毿暳(25暳3+1 +2+3)=162毿+600=1086(米), 1086暵50暳2=43.44(千克)。 答:画3条跑道线需要43.44千克石灰粉。 第7讲暋圆与组合图形(二) 1.解:S阴影 =S梯形 -S扇形 =6+102 暳6- 毿暳62 4 = 48-9毿=19.74。 2.解:如图,将上面的两个弓形移到下面, 阴影部分的面积为8暳4 2 暳2=32 。 3.解:如图,阴影部分的面积为直角扇形的面积 减去大三角形面积的一半, 毿暳62 4 - 1 2暳 6暳6 2 =9毿-9=19.26 。 4.解:如图,将阴影分成8个面积相等的部分, 其中2个部分的面积=半圆AB 的面积-三 角形AOB的面积,