第二十讲不定方程-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ! " # $ 暋暋暋暋153暋 暋 暋 善 学 者 氋 假 人 之 长 以 补 其 短 氌 氭 吕 氏 春 秋 氱 第二十讲暋不定方程 不定方程是数论中一个古老的分支,我国对不定方程的研究已有数千年的历 史,“百鸡问题暠、“中国剩余定理暠等一直流传至今。 当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程(或方程组) 为不定方程(或不定方程组)。比如:4x-3y=8是不定方程, 2a+b=30 b-c{ =4 是不定方 程组。 为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。之所以把它们叫 不定方程,是因为它们的解不确定(不唯一)。一般情况下,如果不加以限制,不定 方程的解有无数个,如果考虑到题中一些条件所限制的范围后,它只能有几个解, 甚至无解。解答这类方程,必须对题中明显的或隐蔽的条件加以推理,才能正确 求解。 经 典 范 例 例1暋求不定方程5x+9y=104的正整数解。 点 拨暋为了能够清晰地分析求解,可先将方程变形,以便于我们筛选出正确 的结果。 详 解暋解方程关于x的方程5x+9y=104得 x=104-9y5 , 因为x、y是正整数,所以104-9y是5的倍数。 当y取1、6、11时,相应地x可分别取值19、10、1。 所以方程组的解有 x=19 y{ =1 或 x=10 y{ =6 或 x=1 y{ =11三组。 小 结暋对于二元一次不定方程,我们要注意观察未知数前面系数的特点,尽 量缩小未知数的取值范围,再求解。 不 定 子 程 ，我国对 ， 百鸡 ”、“中国剩余定 ”等一 今。 ， ) 2-c-430：4x-3y 8是不定方程， 组。 ，不定方程也 ， ) 般情况下， 以限制， ， 所限制的范围后，它只能有几个解， ，必须 理， 解。 善学者;假人之长以补其短·《吕氏春秋》 求不定方 5 +9y=104的正整数解。 为了能够清晰地分析求解， 方程变形， 果。 解 x 5x+9y=104 得 x=104-9v, y ，所以104- y是5的倍数。 取1、6、 时， x可分别取值19、10、1。 = {=6 =1三组。 对于二元一次不定方程， 知数前面系数的特点， 数的取值范围，再求解。 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋154暋 暋暋暋暋暋 例2暋求三元一次不定方程组 5x+6y-z=20 3x-y+4z{ =12的正整数解。 点 拨暋可用消去法消去一个未知数,将方程组转化为一个含有两个未知数 的不定方程。 详 解暋消去y得23x+23z=92, 即x+z=4,所以x可取1、2、3,相应地z可取3、2、1。 把x=1、z=3代入原方程组,得y=3; 把x=2、z=2代入原方程组,得y=2; 把x=3、z=1代入原方程组,得y=1。 所以不定方程组的正整数解是 x=1 y=3 z ì î í ï ï ïï =3 或 x=2 y=2 z ì î í ï ï ïï =2 或 x=3 y=1 z ì î í ï ï ïï =1 。 小 结暋求解三元一次不定方程组的一般方法是:先设法消去一个未知数,得 出一个二元一次不定方程,再进一步讨论这个二元一次不定方程,求出它的解,再 把解代回原方程组求出第三个未知数。 例3暋某国硬币有5分和7分两种,用这两种硬币支付142分的货款(不 找零),有多少种不同的方法? 点 拨暋应特别注意隐蔽条件:硬币的枚数为整数。 详 解暋设需x枚7分,y枚5分恰好支付142分,依题意有: 7x+5y=142,y=142-7x5 , 曔7x曑142,曕x曑20, 且142-7x是5的倍数, 经试算得: x=1 y{ =27或 x=6 y{ =20或 x=11 y{ =13或 x=16 y{ =6 。 故共有4种不同的付款方式。 小 结暋在解不定方程时,应注意其他一些限制条件,这些条件有明显的,也 有隐蔽的,它们对问题的解决至关重要。 例4暋某地按下列规定收取电费:每月用电不超过50度,每度收4角5 分;如果超过50度,超过部分每度收8角。今年七月,甲用户比乙用户多交3元3 EW HOPE sa-6+42-222 求三元一次不定 数解。 可用消去法消去一个未知数， 方程。 y x 9 , x十z 4,所以x可取1、2 3,相应地z可取3、2 1。 =1、 3代入原方程组， y ; =2、 2代入原方程组， y ; =3、 =1代入原方程组， =1。 E 求解三元一次不定方程组的一般方法是：先设法消去一个未知数， 程， 元一次不定方程， 出它的解， 组求出第三个未知数。 3 分 7分两种， 42 应特别注意隐蔽条件：硬币的枚数为整数。 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，依题意有： 7a+5 =142,y=4257≈, ∵7x≤ ∴ ≤ , 7x是5的倍数， =6 =1 =66。=算得： 种不同的付款方式。 在解不定方程时， 意其他一些限制条件， 些条件有明显的， ， 至关重要。 4 ：每月用电不超过50 ，每度收4 ；如果超过50 ，超过部分每度收8 ，甲用户比乙用户多交3 154 ! " # $ 暋暋暋暋暋155暋 暋 暋 虚 心 万 事 能 成 氋 自 满 十 事 九 空 氌 氞 陈 寿 氠 角电费。这个月甲、乙各用了多少度电? (电的度数取整数) 点 拨暋3.3元不能被0.45元和0.8元除尽,所以甲用户用电量超过50度, 乙用户用电量少于50度。 详 解暋设甲用户用电x度,乙用户用电y度,依题意列方程得: 0.8暳(x-50)+0.45暳50-0.45暳y=3.3, 整理得16x-9y=416, 则x=26+9y16 , 因为x、y均为整数,所以y为16的倍数且小于50, 又因x大于50,故y只能为48,x为53。 答:这个月甲用电53度,乙用电48度。 小 结暋正确分析“甲用户比乙用户多交3元3角电费暠这句话的意思是解答 此题的关键。它能帮助我们正确地列出不定方程。 例5暋把1000拆分成两个自然数的和,一个是7的倍数,并且要使这个 数尽可能大;一个是11的倍数,并且使这个数尽可能小。这两个数分别是多少? 点 拨暋可将原题转化为一个数乘以7加上另一个数乘以11和为1000,要求 其中一个数的最大整数解。 详 解暋一个自然数是7x,另一个自然数是11y。 则7x+11y=1000,x=1000-11y7 , 要使7x这个自然数尽可能大,x必须大,则y必须尽量小, 且1000-11y是7的倍数, 所以y最小是5,此时x=135。 7x=7暳135=945, 11y=11暳5=55, 答:这两个数分别为945,55。 小 结暋在应用不定方程解决问题时,依题意正确列出不定方程是关键,本题 中将原题转化为一个数乘以7加上另一个数乘以11和为1000,能帮助我们列出 不定方程。 例6暋公鸡1只5元,母鸡1只3元,小鸡3只1元,今有钱100元,买鸡 不 定 程 乙各用了多少度电? 3.3元不能被0.45元和 0.8元除尽，所以甲用户用电量超过50度， 50度。 设甲用户用电x度，乙用户用电y度，依题意列方程得： 8× x—50 . × —0 45×y . , 6x—9y , 则x=26+9 , y ，所以y 大 , 只能为48,x为53。 ：这个月 53度， 度。 正确分析“ 3 3角电费” 我们正确地列出不定方程。 1 虚心万事能成;自满十事九空。(陈寿) 5 1000拆分成两个自然数的和， 7的倍数， ；一个 11 ， 可将原 1 , 数的最大整数解。 一个自然数是7x,另一个自然数是11y。 a ,x=1000-11, 这个自然数尽可能大， 必须大， 必须尽量小， 11 是7的倍数， 最 , =135。 7x=7×135=945, 1ly=11×5=55, ： 945,5 。 在应用不定方程解决问题时， 出不定方程是关键， 一个数乘以7 11 1000,能帮助我们列出 方程。 6 只5元，母 1只3元，小鸡3只1元，今有钱10 元， 1 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋156暋 暋暋暋暋暋 100只,公鸡、母鸡、小鸡各买几只? 点 拨暋这道题数量之间的关系比较明确,我们可以根据每种鸡的数量的总 和与每种鸡的价格的总和这两种等量关系来列方程求解。 详 解暋设公鸡买x只,母鸡买y只,小鸡买z只,则 5x+3y+13z=100暋暋栙 x+y+z=100暋暋 ì î í ïï ïï 栚 , 栙暳3得15x+9y+z=300暋暋栛 栛-栚得14x+8y=200, 7x+4y=100, x=100-4y7 , 由于公鸡、母鸡、小鸡只能为整数只, 所以y可取4、11、18、25,则x为12、8、4、0, 将x、y的值分别代入栚式,得z的值为84、81、78、75, 经检验: x=0 y=25 z ì î í ï ï ïï =75 或 x=4 y=18 z ì î í ï ï ïï =78 或 x=8 y=11 z ì î í ï ï ïï =81 或 x=12 y=4 z ì î í ï ï ïï =84 。 答:公鸡、母鸡、小鸡分别买0只、25只、75只;或分别买4只、18只、78只;或 分别买8只、11只、81只;或分别买12只、4只、84只。 小 结暋当方程的系数较小时,而且是求非负整数解或者实际问题时,可以用 整除性质结合枚举求方程的解。 例7暋每只羊价值400元,每头牛价值650元,每只鸡价值20元,如果一 农民购买这些动物100只,总共花费32790元。他购买羊、牛、鸡各多少只? 点 拨暋根据题意列出方程组,再消去一个未知数将方程组转化成二元一次 不定方程。 详 解暋设羊有x头,牛有y只,鸡有z只,依题意有: 400x+650y+20z=32790 x+y+z{ =100 , 消去z得38x+63y=3079,栙 38曉 ( )2 mod9 ,63曉 ( )0 mod9 ,3079曉 ( )1 mod9 , 所以x曉 ( )5 mod9 ,设x=9m+5,代入栙化简得 38m+7y=321,栚 EW HOPE 10 只， 小鸡 这道题数量之间的 比较明确， 种等量关系来列方程求解。 设公鸡买x只，母鸡买y只，小 z只， +3 --0。 ①×3得15x+9y+z=300 ③ ③一② 14x+ y 2 , 7x =10 , x=100-4, 鸡、 整数只， y可取 4、11、 25 为12、8 4、0 、y的值分别代入②式， z的值为84、81、78、7 =25或 ---检验： iy=18 ： 母鸡、小鸡分别买0 25 75 ；或 只、 只、 只； 8只、 只、 只； 12只、4只、 只。 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者实际问题时， 用 枚举求方程的解。 7 元， 元， 元， 100只， 32790元。他购买羊、牛、 根据题意列出方程 ， 方程。 设羊有x头，牛有y只，鸡有z只，依题意有： a+y+6- 20-3270 z 6 =3079,① 38= ( o ), = (mod ), 9= ( od ), =5(mod ), =9m+5,代入①化简 38m =321,② 156 ! " # $ 暋暋暋暋暋暋157暋 暋 暋 君 子 之 交 淡 若 水 氋 小 人 之 交 甘 若 醴 氌 氞氭 庄 子 氱氠 38曉 ( )3 mod7 ,321曉 ( )6 mod7 , 所以m曉 ( )2 mod7 ,38m<321, 所以m=2,即x=23,y=35,z=100-23-35=42。 因此,该农民买了23只羊,35头牛,42只鸡。 小 结暋本解法利用同余的思想,将未知数的范围逐渐缩小,最后求得不定方 程的解。尤其在未知数的系数很大时,同余的思想显得尤为重要。 挑 战 自 我 1.求下列不定方程的自然数解。 (1)16-5a=3b暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋(2)3x+4y=23 2.求下列不定方程组的自然数解。 x+y+z=100 21x+8y+3z{ =600 3.参加围棋比赛的八、九段选手有若干人,他们的段位数字加在一起正好是 100。八段、九段选手各有多少人? 4.若干学生搬一堆砖,若每人搬a块,则剩下20块未搬走,若每人搬9块,则 最后一名学生只搬6块,那么学生共有多少人? 不 子 程 38= ( o ), 1= ( o ), m= ( 38m 3 , m=2 x y z 23-35=42。 ， 只羊， 头牛， 只鸡。 本解法利用同余的思想，将未知数的范围逐渐缩小， 未知数的系数很大时， 思想显得尤为重要。 定方程的自然数解。 1 16—5a=3b 2 3x+4y 君子之交淡若水;小人之交甘若醴。《庄子》 方程组的自然数解。 lz 3 3=-6 3 九段 ，他们的段位 100 ? 4. ， a块， 20 走， 9块， 6 ， 157 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋158暋 暋暋暋暋 5.夏精明在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金 470元,乙公司每月付给他薪金350元。年终,夏精明从两家公司共获薪金7620 元。他在甲公司打工几个月? 在乙公司兼职几个月? 6.在新年联欢会上,某班组织了一场飞镖比赛,如下图,飞镖的靶子分为三块 区域,分别对应17分、11分和4分。每人可以扔若干次飞镖,脱靶不得分,中靶就 可以得到相应的分数,若恰好投在两块区域的交界上,则得两块区域中分数较高 区域的分数。如果比赛规定,恰好投中120分才能获奖,要想获奖至少需要投中 多少次飞镖? 7.一天,赵明问李浩的生日,李浩说:“将我的生日的月份数乘以31,生日的日 期数乘以12,相加后得347。暠你知道李浩的生日是几月几号吗? 8.某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60 元,现在1 3 的成人各带一个孩子,总共收了2160元。问:这次活动共有多少人参加 (包括成人和孩子) 9.有一块草地,长和宽都是整数米,并且面积数与周长数恰好相等,这块草地 的长和宽各是多少米? E OPE 5 ， ， 470 ， 元。年终， 金 ? 6 ， 赛， ，飞 ，分别对应17 1 分。每人可以扔若干次飞镖， 靶不得分， ，若 ， ，恰好投中120 ， 11 4 7 ， ， ：“将我的生日的月份数乘以31 ,相加后得347。” 8 ，每一位男宾付130 ，每一位女宾付1 0 ，每带一 60 ， ， 元。问：13 9. ， ，并且 等， 158 ! " # $ 暋159暋 暋 暋 文 须 字 字 作 氋 亦 要 字 字 读 氌 氞 元 好 问 氠 暋暋10.若1只兔可以换2只鸡,2只兔可以换3只鸭,5只兔可以换7只鹅。猎人 用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只,问其中鸡、鸭、鹅各多少只? 11.一个生产大队有猪、牛、羊各若干头,牛的头数的10倍减去羊的头数再减 4,结果再乘上10,正好比猪、牛、羊的总数多4。如果猪、牛、羊的头数是质数,问: 这个生产队有猪、牛、羊各多少头? 12.张阿姨用1万元支票去购物,购单价590元的空调若干个,单价670元的 液晶显示屏若干个,其中液晶显示屏个数多于空调个数,找回了几张100元和几 张10元钞票(10元钞票不超过9张)。若把空调和液晶显示器的个数互换,找回 的100元和10元钞票的张数也恰好互换。张阿姨买了多少个空调,多少个液晶显 示器? 不 定 10 只兔 2只鸡，2 只鸭，5 只 只兔换得鸡、鸭、 30只，问其中鸡、 11 羊各若干头，牛的头数的10 4, 乘上10,正好比猪、牛、 总数多4。如果猪、牛、羊的头数是质数，问： 有猪、 ? 文须字字作;亦要字字读。(元好问) 12. 1万元支 ， 590 ， 670 ，其中液晶显 ， 1 0 元 ( 元钞票 9张)。若把空调和液晶显示器的个数互换， 100元和10元钞票的张数也恰好互换。张阿姨买了多少个空调， ? 159 ! " # $ 暋183暋 暋 暋 坚 持 真 理 的 人 是 伟 大 的 氌 氞 雨 果 氠 陈兵 暳 暳 暳 暳 曁 林华 暳 暳 赵欣 曁 暳 暳 暳 暳 张强 暳 暳 广东 福建 北京 李平 曁 暳 暳 林华 暳 暳 曁 张强 暳 曁 暳 由(2)(3)知,陈兵除广东外与其他运动员都 赛过。再由(5)知福建、北京运动员至少各赛 了 3场,由(1)知李平是广东运动员(见上 表);再由(4)知张强是福建运动员。 10.解:由(2)(4)(5)知甲第二, 由(2)(3)(5)知第一、三名不是丙、丁,也不 是乙、丁, 所以第一、三名只能是乙、丙, 再由甲第二及(1)知,乙第三,丙第一,丁第 四。 答:丙第一、甲第二、乙第三、丁第四。 11.解:四个队的总场数应是偶数,A、B、C 共赛 了7场,所以D 赛了1场或3场。因为四个 队总的进球数、失球数应相等,而A、B、C 三 队总的进球数、失球数相等,所以 D 队的进 球数与失球数应相等。又因为四个队总的 胜、负数应当相等,而 A、B、C 三队共胜 3 场、负2场,所以D 队或者负一场,或者负1 场平2场,或者负2场胜1场。 如果D 队仅负1场,或负1场平2场,那么 D 队进球数将少于失球数,与题意不符。所 以D 队赛3场,负2场胜一场。 由已知情况,D 队负于A,B 队,胜C 队。因 为A 队未失球,B与C 之间未赛过,所以B, C队进的球都是与D 队比赛进的,D 队共失 1+4+3=8个球,D 队也应进8个球,D 队 与A,B,C队的比分分别是0比1,3比4和 5比3。 12.解:B队负A 队,平C 队,最多得7分;A 队 不可能胜2场,否则得分将高于B 队,所以 A 队胜B 队,其余三场都平,得6分;C 队未 负一场,最少得4分,又C 队名次在D 对之 后,所以D 队得5分,C 队得4分。由 D 队 得5分,且负B 队,平A,C 队,推知D 队胜 E 队;又E队负B 队,平A,C 队,所以E 队 得2分。各队相互比赛得分情况见下表: A B C D E 总分 A 3 1 1 1 6 B 0 1 3 3 7 C 1 1 1 1 4 D 1 0 1 3 5 E 1 0 1 0 2 答:E队得了2分。 第20讲暋不定方程 1.解:(1)b=16-5a3 , 因为a、b是自然数,所以16-5a 是3的倍 数,当a取2时,相应地b可取值2, 所以方程组的解为 a=2 b{ =2。 (2)x=23-4y3 , 因为x、y 是自然数,所以23-4y 是3的倍 数,当y取2、5时,相应地x分别取5、1。 所以方程组的解有 x=5 y{ =2或 x=1 y{ =5两组。 2.解: x+y+z=100暋暋暋栙 21x+8y+3z=600暋{ 栚 栚-栙暳3得18x+5y=300, y=300-18x5 , 当x取5、10、15时;相应地y取42、24、6。 把x=5、y=42代入栙,得z=53; 把x=10、y=24代入栙,得z=66; 把x=15、y=6代入栙,得z=79。 所以不定方程组的正整数解是 x=5 y=42 z ì î í ïï ï =53 或 x=10 y=24 z ì î í ïï ï =66 或 x=15 y=6 z ì î í ïï ï =79 。 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋184暋 暋暋暋暋 3.解:设八段选手有x人,九段选手有y人,依 题意有: 8x+9y=100,x=100-9y8 , 因为x、y均为整数,所以100-9y为8的倍 数,故y只能为4或8,相应地,x取8或3。 答:略。 4.解:设学生共有x人,依题意有: ax+20=9(x-1)+6, (9-a)x=23, 因为23是质数,只有1暳23=23, 所以9-a=1,x=23,a=1, 答:学生共有23人。 5.解:设他在甲公司打工x个月,在乙公司兼职 y个月,依题意有: 470x+350y=7620, y=762-47x35 , 因为y为整数,则762-47x是35的倍数, 经试算得 x=11 y{ =7 。 答:略。 6.解:设投中17分、11分和4分分别为x次、y 次、z次,依题意有: 17x+11y+4z=120, 为使x+y+z的和最小,则x应尽量大,x最 大为7, 当x=7时,则11y+4z=1,不合题意, 以此类推,当x=4时,y=4,z=2,此时x+y +z=10,和最小, 答:要想获奖至少需要投中10次飞镖。 7.解:设李浩的生日是x月y 日,依题意有: 31x+12y=347, y=347-31x12 , 经试算, x=5 y{ =16。 答:李豪的生日是5月16日。 8.解:设这次活动有x位男宾和y 位女宾参加, 依题意有: 130+100y+60暳13 x+ ( )y =2160, 化简得5x+4y=72, 则x=72-4y5 ,72-4y应为5的倍数, 则y可以为3、8、13、18,则有 x=12 y{ =3 或 x=8 y{ =8或 x=4 y{ =13或 x=0 y{ =18。 又因为小孩的人数是成人总数的1 3 , 所以只有 x=12 y{ =3 和 x=0 y{ =18符合题意, 当 x=12 y{ =3 时,共有 ( )12+3 暳 1 3+12+3=20 (人); 当 x=0 y{ =18时,共有18+18暳 1 3=24 (人)。 答:这次活动共有20人或24人参加。 9.解:设这块草地的长是x米,宽是y米,依题 意有: xy=2(x+y), 经试算, x=6 y{ =3或 x=4 y{ =4。 答:略。 10.解:设用x只兔换2x只鸡,用2y只兔换3y 只鸭,用5z只兔换7z只鹅,依题意有: x+2y+5z=20暋 栙 2x+3y+7z=30暋{ 栚 栙暳2-栚得 y+3z=10, 则 y=7 z{ =1或 y=4 z{ =2或 y=1 z{ =3。 答:其中鸡、鸭、鹅各2只、21只和7只或者 4只、12只和14只或者6只、3只、和21只。 11.解:设猪、牛、羊各有x、y、z头,依题意有 (10z-y-4)暳10=x+y+z+4, 化简得99z=x+11y+44暋栙 由于99z,11y,44都被11整除,所以x能被 11整除,又因为x是一个质数,所以x=11, 方程栙变为9z=y+5暋栚 分析方程栚中系数的奇偶性发现,y和z 的 奇偶性不同,所以y和z中有一个偶数, 如果y=2,则9z=7不可能,所以只有z=2。 ! " # $ 暋暋暋暋暋185暋 暋 暋 青 年 是 学 习 智 慧 的 时 期 氋 中 年 是 付 诸 实 践 的 时 期 氌 氞 卢 梭 氠 由栚得 y=9z-5=9暳2-5=13。 答:这个生产队有猪、牛、羊各11、2、13头。 12.解:设购买了a个空调,b个液晶显示器,找 回100元m 张,10元n张,则有: 590a+670b=10000-100m-10n暋栙 670a+590b=10000-10m-100n暋{ 栚 两式相减得 8(b-a)=9(n-m), 其中b>a,n<10, 所以n-m=8,b-a=9, 由此推知n=9,m=1,b=a+9, 代入栙解得a=3,b=12。 答:购买了3个空调,12个液晶显示器。