第八讲操作问题-“枫叶新希望杯”六年级数学思维训练教程

" ! 暋暋暋暋 1暋 暋 暋 书 籍 是 人 类 知 识 的 总 结 氌 目暋暋录 第一讲暋分数的计算 1………………………………………………… 第二讲暋分数和百分数应用题 8……………………………………… 第三讲暋利率与利润 16………………………………………………… 第四讲暋浓度问题 23…………………………………………………… 第五讲暋工程问题 29…………………………………………………… 第六讲暋圆与组合图形(一) 36………………………………………… 第七讲暋圆与组合图形(二) 44………………………………………… 第八讲暋操作问题 52…………………………………………………… 第九讲暋最优化问题 61………………………………………………… 第十讲暋图形的折叠与剪拼 71………………………………………… PUECPOWHEN 暋 暋 2暋 暋暋暋暋 第十一讲暋估暋暋算 82………………………………………………… 第十二讲暋比和比例 89………………………………………………… 第十三讲暋比例法求面积 97…………………………………………… 第十四讲暋钟面问题 107……………………………………………… 第十五讲暋圆柱和圆锥 114…………………………………………… 第十六讲暋行程问题 123……………………………………………… 第十七讲暋染色问题 130……………………………………………… 第十八讲暋统计与概率 137…………………………………………… 第十九讲暋分析与推理 145…………………………………………… 第二十讲暋不定方程 153……………………………………………… 参考答案 164…………………………………………………………… ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 52暋 暋暋暋暋 第八讲暋操作问题 一个有趣的数学游戏:任取一个正整数,如果它是偶数,就除以2;如果它是奇 数,就乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算,最后的结果总是1。 所谓操作问题,实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换,这种变换 可以具体执行。比如上述游戏中,操作对象是偶数的话,就除以2;是奇数的话,就 乘3再加1。这就是一次操作,操作是可以具体执行的。操作问题往往是求连续 进行某种操作后可能得到的结果。 操作问题一般是有规律的,我们只要多尝试几次,就能找出规律,解题时,要 注意运用逆推、整体把握等思想方法。 经 典 范 例 例1暋对于一个自然数,如果它是偶数,就把它除以2;如果它是奇数,就 把它加上3,这样称为一次操作。请问:(1)对100操作5次之后,得到的结果是多 少? (2)如果一个数操作4次之后,得到的结果是27,那么这个数可能是多少? 点 拨暋(1)100是偶数,那么第1次操作后的结果是100暵2=50,50还是偶 数,那么第2次操作后的结果是50暵2=25,如此操作下去……(2)从27出发,27 是奇数,那么第4次操作就应是除以2,27暳2=54;54是偶数,第3次操作就有两 种可能…… 详 解暋(1)100暵2=50,50暵2=25,25+3=28,28暵2=14,14暵2=7。 (2)从27出发,反向推理: 27曽54曽 108曽 216曽 432 {213 105曽 ì î í ï ï ï ï 210 51曽102曽 204 { ì î í ï ï ï ï ï ï ïï 99 那么这个数可能是432,213,210,204,99。 答:(1)得到的结果为7;(2)这个数可能是432,213,210,204,99。 E OPE 学游戏： ， ，就除以2 ，就乘3 。将所得到的结果不断地重复上述运算， 果总是1。 ，实际上是 变换， 上述游戏中， 话， ;是奇数的话， 3再加1。这就是一次操作， 能得到的结果。 是有规律的， 要多尝试几次，就能找出规律，解题时， 逆推、 思想方法。 1 对于一个自然数，如果它是偶数， ;如果它是奇数， 3, ：(1)对100 5次之后， (2)如果一个数操作 4次之后， 27, (1)10 是偶数， ÷ 50,50 ，那么第 2次操作后的结果是50÷2=25,如此操作下去⋯⋯(2)从27 出发，27 ，那么第4 就应是除以2,27×2= 是偶数， 3 ⋯⋯ (1)100÷ =50,5 ÷ 25, +3=28,28÷2=14,14÷2=7。 2 27 出发， 向推理： 43 216 213 <- * 105<-210 51-102-204 432,213,210,204,99。 ：(1)得到的 7 2 432,213,210,204,9 。 52 ! " # $ 暋暋暋 53暋 暋 暋 士 别 三 日 氋 当 刮 目 相 看 氌 氭 三 国 志 · 吴 志 · 吕 蒙 传 氱 小 结暋解操作问题,先要理解每次操作的具体内容,然后寻找规律。一般给 出初始状态求结果的问题,都是直接根据操作步骤操作下去,在操作过程中要善 于发现规律。像(2)中给出结果求初始数据的问题,一般采用逆推的方法。 例2暋如图,一个长方形被分成了7个小长方形,称如下操作为一次操 作:任选几个小长方形,将每个小长方形再分成7个小长方形。请问:能否经过有 限次操作,将正方形恰好分成2012个小长方形? 如果能,请写出一种操作方法;如 果不能,说明理由。 点 拨暋假设某一次从m 块中选了n 块,操作后的个数为m-n+7n=6n+ m,即增加了6n块,增加的个数是6的整数倍,于是从除以6的余数看,每次操作 后,长方形的个数除以6的余数都不变。 详 解暋不能分成2012个长方形,因为每次操作后,长方形的个数都比上一 次操作增加了6的整数倍,所以不管怎么操作,长方形的总个数都是除以6余1的 整数。 而2012暵6=335……2, 所以不能分成2012个小长方形。 小 结暋本例中操作的特点是每次操作后,总个数除以6的余数不变。抓住 不变量是解决很多操作问题的突破口,比如和不变、差不变、奇偶性不变、余数不 变等等。在解题时需多加观察和总结。 例3暋盒子里装有分别写着1,2,3,…,100的黄色卡片各一张。称如下 操作为一次操作:从盒子里取出m(7曑m曑10)张卡片,算出这m 张卡片上各数之 和减去27的差,将差写在一张红色卡片上(不放回)。若干次操作后,盒子里的卡 片全部被取出,记所有红色卡片上各数之和为n,那么n的最大可能值与最小可能 值的差是多少? 点 拨暋每操作一次,所有(黄色和红色)卡片上各数之和减少27,那么n的值 操 ● 题 解操作问题， 的具体内容， ，都 ， (2)中给出结果求初始数据的问题，一般采用逆推的方法。 2 如图， 个小长方形， ：任选几个 ，将每个小长方形再分成7 方形。请问： ，将正方形恰好 2012 ?如果能，请写出一种操作方法； ， 由。 L 士别三日，当刮目相看。《三国志·吴志·吕蒙传》 m 块， 后的个数为m—n+7n 6 十 , 6 块， 的整数倍， 的余数看， ， 的余数都不变。 不能分成2012个长方形，因为每次操作后， 的整数倍， ，长方形的总个数都是除以6余1 数。 2012÷6=335⋯⋯2, 个小长方形。 本例中操作 ， 6 作问题的突破口，比如和不变、差不变、 性不变、 不 多加观察和总结。 3盒子里装有 1,2,3,⋯,100的黄色卡片各一张。称 ：从盒子里取出m(7≤m≤10) ，算出这m 的差， ) 干次操作后， ，记所有红色卡片上各数之和为n n 每操作一次， n 5 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 54暋 暋暋暋暋 就取决于操作的次数,次数最多时n最小;次数最少时n最大。 详 解暋因为每次操作最少取7张,最多取10张, 所以操作的次数最多是 100é ë êê ù û úú7 =14 (次), 次数最少是100 10=10 (次), n的最大值与最小值相差27暳(14-10)=108。 答:n的最大可能值与最小可能值的差是108。 小 结暋这是一类操作问题中的最值问题,解决这类问题的关键在于:找准哪 些量影响所求的问题,操作方式还是操作次数。当操作次数一定时,就要考虑操 作方式;当操作方式相同(或产生的结果相同)时,就要考虑操作次数。 例4暋将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,左边的大于 右边的,那么就交换它们的位置。如此操作下去,直到左边的数都小于右边的数 为止。当这十个数按如下顺序排列时,共需要进行多少次交换? 8,5,2,7,4,3,1,10,6,9 点 拨暋最后交换的结果就是将这十个数按从小到大的顺序排列,先从最小 的数1开始交换,将1交换到它应在的位置后,再依次对2,3,4,…进行交换,直至 按从小到大排列为止。 详 解暋因为1左边有6个比它大的数,所以需对1进行6次交换,交换后1 到了最左边,而其它各数的顺序没有改变; 再看2,2左边有2个比它大的数,需交换2次,交换后2到了左边第二位,而 其它各数的顺序没有改变; 同样的,3、4、5、6、7、8、9、10分别需要进行4、3、1、3、1、0、1、0次交换。 交换的总次数为6+2+4+3+1+3+1+0+1+0=21(次)。 答:共需要进行21次交换。 小 结暋要求写出操作过程或者求操作次数的问题,通常采用逐步操作法,即 先操作其中一个对象,使之满足要求,再操作另一个对象,且在操作这个对象时, 对前面已经满足要求的对象不会产生影响。这样逐步操作,最终使所有对象都满 足要求,即完成整个操作。 例5暋现将编号1,2,3,…,40的40张卡片堆成一摞,从最上面一张开始 E OPE 不 作的次数， 时 最小； 少时 最大。 因为每次操作最少取7张，最多取10张， 9=14(次), 10=10(次), n 27×( — )=108。 ：n 是108。 这是一类操作问题中的最值问题， 问题的关键在于： ，操 定时， ；当 果相同)时， 虑操作次数。 4 将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中， ，那么就交换它们的位 ，直到左边 ， 8 5 2 7 4 3 1 10 6 9 最后交换的结果就是将这十个数按从小到大的顺序排列， 1开始交换， 1交换到它应在的位置后， 2,3,4,⋯进行交换， 排列为止。 因 1左边有6个比它大的数， 1进行6次交换， 1 ， 没有改变； 2 2 2 的数， 2次， 2 到了左边第二位， 顺序没有改变； 的，3、4、5 6 7 8、9、10分 进行 4、3、1、3、1 0 1 0 换。 总次数为6 2+4+3+1+ 1+0+1+0=21(次)。 ：共 21次交换。 要求写出操作过程或者求操作次数的问题，通常采用逐步操作法， 象， ， 对象， 这个对象时， 操作， ， 个操作。 5 , , ,⋯, 的40张卡片堆成一摞， 54 ! " # $ 暋暋暋 55暋 暋 暋 水 则 载 舟 氋 水 则 覆 舟 氌 氭 荀 子 · 王 制 氱 按如下的顺序进行操作:把最上面的一张拿掉,把下一张放在这摞卡片的最下面, 再把原来的第三张卡片拿掉,把下一张卡片放在最下面……如此反复操作,直到 只剩下一张卡片,那么这张卡片的编号是多少? 点 拨暋如果直接考虑40张,思路难以打开,我们先从少数卡片寻找规律,当 卡片数是2的幂时,剩下的卡片都是刚开始最下面的一张。再将卡片数变成2的 幂,利用结论解题。 详 解暋栙如果是4张卡片,第一轮拿掉编号为1、3的卡片,留下编号为2、4 的卡片,第二轮拿掉编号为2的卡片,留下编号为4的卡片,如图1, 栚如果是8张卡片,第一轮拿掉编号为1、3、5、7的卡片,留下编号为2、4、6、8 的卡片共四张,剩下的情况与栙相同,最后剩下编号为8的卡片,如图2, 栛由此可知,当卡片数是16,32,64张时,最后剩下的卡片都是刚开始最下面 的一张。 对于40张卡片,我们可以这样考虑:想办法拿掉8张,使卡片数变为32张,此 时拿掉了编号为1,3,5,…,15的8张卡片,最下面的一张卡片编号为16。 由栛可知,最后剩下的一张卡片的编号是16。 答:这张卡片的编号是16。 小 结暋当问题的数据较大或者题目的条件较复杂时,可先从数据小或简单 的情况入手寻找规律,找出规律或者得到结论之后,再将所求的问题转化成已解 决的问题。 例6暋如图1,圆周上写有3、1、8三个数,称如下操作为一次操作:在所 有相邻的两个数之间写上这两个相邻的数的和。图1到图2为第1次操作。那么 第5次操作后,圆周上所有数的和是多少? 操 ● ： ， 片的最下面， ，把 ⋯⋯ 复操作， ， 如果直接考虑 40张，思路难以打开， 卡片寻找规律， 的 ， 都是刚开始最下面的一张。再将卡片数变成2 ， 题。 ①如果是4张卡片，第一轮拿掉编号为1、3的卡片， 2、4 ，第二轮 2 ， 4的卡片， 1, K 水则载舟;水则覆舟。《荀子·王制》 4 图1 ② 8张卡片，第一轮拿掉编号为1、3 5 的卡片，留下编号为2、4 、8 ， ① ，最后剩下编号 8 ， 2, k 6 t yh 888 8 图2 ③ ，当 16 32 64 ，最后剩下的卡 张。 张卡片， ： 张， 张， 1,3,5,⋯,15的8张卡片，最下面的一张卡片编号为16。 ③ ， 号是16。 ： 16。 当问题的数据较大或者题目的条件较复杂时， ， ， 题。 6 , 上写有3、 、8 ， 操作： 1 2 1 次操作后， ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 56暋 暋暋暋暋 点 拨暋原来圆周上所有的数的和是3+8+1=12,第1次操作后,新增的数 的和是11+4+9=24,是原来圆周上所有数的和的2倍,即第一次操作后,圆周上 所有数的和是原来的3倍。 详 解暋每次操作后,在计算新增的数的和时,操作前的圆周上每个数都加了 2次, 那么新增的数的和是操作前的圆周上所有数的和的2倍, 即每次操作后,圆周上所有数的和是操作前所有数的和的3倍, 第5次操作后,圆周上所有数的总和为(1+3+8)暳35=12暳243=2916。 小 结暋像这类操作问题,每次操作都是在前一次操作的基础上进行的,那么 寻找相邻两次操作的关系就成了解题的关键。 例7暋把分别写有1~20的20张卡片按顺序叠成一摞(从上往下依次是 1~20),按如下步骤进行操作: 第一步:把这摞卡片分成上、下数量相同的两部分,上半摞称为A(1~10),下 半摞称为B(11~20); 第二步:把B中从上往下数第一张卡片拿出来,放在桌子上;然后把A 中从上 往下数第一张卡片拿出来,放在拿出来的第一张卡片上;接着是B 中从上往下数 第二张卡片,A 中从上往下数第二张……如此叠成一摞。 完成以上两步是一次操作,如下图。 请问:第2012次操作后,最上面一张卡片上的数是多少? 点 拨暋题目所求的操作次数很大,难以具体操作出结果,所以操作过程应该 E OPE 3 3 11 8 8 1 9 图1 图2 数的和是3+8 =12,第1次操作后，新 4+9=24,是原来圆周上所有数的和的2倍，即第一次操作后， 倍。 每次操作后， 增的数的和时， 了 2次， 2倍， ， 3倍， 5次操作后， 和为(1+3+8)×3?=12×243=2916。 像这类操作问题， 都是在前一次操作的基础上进行的， 的关系就成了解题的关键。 7 ～ 的20张卡片按顺序叠成一摞(从上 1～20), 下步骤进行操作： ： 下数量 ，上半 A 1～10 B 11～ ： B中从上往下数第一张卡片拿出来， ； A ，放在拿出来的第一张卡片上；接着是B ，A 数第二张⋯⋯如此叠成一摞。 上两步是一次操作，如下图。 A B 20张 10张 10张 20张 ：第2012 ， 题目所求的操作次数很大， 结果， 56 ! " # $ 暋暋暋 57暋 暋 暋 由 俭 入 奢 易 氋 由 奢 入 俭 难 氌 氭 资 治 通 鉴 氱 是有规律的,或者呈周期性变化。可用列表的方法找规律。 详 解暋将这摞卡片从上到下依次编号1~20,将前两次操作的结果列表如 下: 暋暋根据最上面一张卡片上的数的变化规律,作图如下: 由上图可发现,第6次操作后,最上面一张卡片与操作前的是相同的,那么操 作过程以5为周期,2012暵6=335……2,所以第2012次操作后,最上面一张卡片 与第2次操作后是一样的,都是16。 答:第2012次操作后,最上面一张卡片上的数是16。 小 结暋操作问题常常跟奇偶性问题、周期问题、染色问题等结合在一起,知 识面广,解题方法灵活,是竞赛考试中的难点。解这类问题时,通常需分析前几次 操作的过程和结果,发现和总结规律,最终解决问题。 挑 战 自 我 1.对于任意一个自然数n,当n为奇数时,加上121;当n为偶数时,除以2。 这算一次操作。现在对231连续进行这种操作,在操作过程中是否可能出现100? 为什么? 2.对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,如此连续变 换,直到两个数相同为止。如对28和49进行的连续变换为:(28,49)曻(28,21)曻 (7,21)曻(7,14)曻(7,7)。问:对2012和2605进行这样的连续变换,最后得到的 两个相同的数是几? 操 作 ， 表的方法找规律。 将这摞卡 ～ , ： A(上半擦) B(下半探) 操作前 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第一次操作后 10 20 9 19 8 18 7 17 6 16 5 15 4 14 3 13 2 12 i 11 第二次操作后 16 11 6 1 17 12 7 2 18 13 8 3 19 14 9 4 20 15 10 5 面一张卡片上的数的变化规律，作图如下： 16 13 19 10 由俭入奢易;由奢入俭难。《资治通鉴》 10 16 13 19 104 ，第6 ， 相同的， 5为周期，2012÷6=335⋯⋯2,所以第 2012 操作后， 次操作后是一样的， 16。 ： 2012 次操作 ，最上面一 16。 操作问题常 跟奇偶性问题、周期问题、 题等结合在一起， ， ，是竞赛考试中的 ， 程和结果， 和总结规律， 终解决问题。 1 n n 数时， ;当 为偶数时， 以2。 连续进行这种操作， 2 ， 之差， ，直 28 49 ：(28 49 → 28 21 → 7 2 → , )→( , ) 问： 2605 ， ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 58暋 暋暋暋暋 暋暋3.现有一列数1,2,3,…,2013,对这列数进行如下变换:从左边第一个数开 始,划掉连续的两个数,并将这两个数的和写在这列数的后面。如此连续变换,直 到剩下一个数,这个数是多少? 4.口袋里装有318张小纸片,上面分别写着1~318。每次从袋中任意摸出 (不放回)8张(少于8张则全部摸出)小纸片,然后算出这8张小纸片上各数的和, 再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后, 袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几? 5.现有两个大小相同的容器A 和B,其中容器A 注入了2012升水,容器B是 空的。按如下过程进行操作:第一次将A 的12 倒入B 中;第二次将B 的13 倒入A 中;第三次将A 的14 倒入B 中;第四次将B 的15 倒入A 中,……,第2012次将B 的 1 2013 倒入A 中。请问:最后A 中的水是多少升? 6.右图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上。开始时,圆盘上每个数字所对应 的黑板处均写着0。然后转动圆盘,每次可以转动90曘的任意整数倍,圆盘上的四 个数将分别正对着黑板上写数的位置,将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数 上。问:经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是2012? EW HOPE , , ,⋯, , 数进行如下变换： ，划掉连续的 ，并将这两个数的和写 续变换， 数， ? 4 318 ， ～ 8 ( 8张则全部摸出)小纸片， 张小纸片上各数的和， 袋中。经过若干次这样的操作后， ， 5 同的容器A , 注入了2012 升水， B B中； B：第一次将A A12 13 14 15；第三次将A B ； 四次将B 中，⋯⋯,第 B 的2013 A ： A 6. ，中心 ， 。然后转动圆盘， 动90° ， ， ：经过若干 ，黑板上的四个数是否可能都 2012 0 0 2 4 0 3 0 58 ! " # $ 暋暋暋暋 59暋 暋 暋 天 生 我 材 必 有 用 氋 千 金 散 尽 还 复 来 氌 氞 李 白 氠 暋暋7.口袋里装着分别写有1,2,3,…,135的红色卡片各一张。从口袋里任意摸 出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数之和除以17的余数,再把这个余数写 在另一张黄色卡片上放回口袋里。经过若干次操作后,口袋里还剩下两张红色卡 片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97,那么这张黄 色卡片上写的数是多少? 8.一副扑克牌的排列顺序为:第一张是大王,第二张是小王,然后按燆、燏, 燊、燐四种花色排列,每种花色的牌又按 A,2,3,…,J,Q,K 的顺序排列。将这54 张牌按1~54编号。称如下操作为一次操作:取走所有编号为奇数的牌,将剩下 的(如果有)牌从1开始重新编号。若干次操作后,全部的牌都被取走。请问:取走 最后一张牌的是第几次操作? 最后一张牌是什么? 9.在圆周上标数:第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上1和3。第二 次把两段半圆弧分别二等分,在分点标上相邻两个分点上两个数的平均数2,如图 所示。如此下去,当第8次标完后,圆周上所有数的总和是多少? 10.将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的, 那么就交换它们的位置。如此操作下去,直到前面的数都小于后面的数为止。已 知10在这列数的第4位,那么最少要交换多少次? 最多要交换多少次? 操 1 2 3 ⋯ 135 ，并算出 17 ， ， 1 97 8 排列顺序为：第一张是大王，第二张是小王，然后按。、曾， 、◆四种花 ， 种花色的牌又按 A,2,3,⋯,J,Q,K ～ 编号。称如下操作为一次操作： 有编号为奇数的牌， 1开始重新编号。若干次操作后，全部的牌都被取走。请问： ? 天生我材必有用。千金散尽还复来。(李白) 9 ：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上1 3 ，在分点标上相邻两个分点上两个 2 ， 8 标完后， ? 2 1 3 2 10 ～ 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的， ，直 在这列数的 4位， 最多 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋 60暋 暋暋暋 暋暋11.把分别写有1~12的12张卡片按从小到大的顺序叠成一摞,按如下步骤 进行操作: 第一步:把这摞卡片分成上、下数量相同的两部分,上半摞称为A(1~6),下半 摞称为B(1~12); 第二步:把B中从上往下数第一张卡片拿出来,放在桌子上;然后把A 中从上 往下数第一张卡片拿出来,放在拿出来的第一张卡片上;接着是B 中从上往下数 第二张卡片,A 中从上往下数第二张……如此叠成一摞。 完成以上两步是一次操作,请问:第8次操作后,最上面一张卡片上的数是多 少? 12.图1为4暳4的方格表,在方格表中填写1~16,按如下过程进行操作:先 选择一个小方格,然后把这个方格所在的行和列上的其它方格划掉。如此操作直 到剩下4个数。 (1)求证:按图2的填写方式,不论如何操作,最后剩下的4个数之和必定是 34; (2)除图2外,剩下的4个数之和必定是34的填写方法有多少种? EW HOPE 11 ～ 的12 张卡片按从小到大的顺序叠成一摞， 操作： ： 下数量 ，上半摞称为A 1～6), B ～ ); ： B中从上往下数第一张卡片拿出来， 子上； A ，放在拿出来的第一张卡 ；接着是B ，A ⋯⋯ 此叠成一摞。 ， ：第8 ，最上面 12. 1为4×4的方格表， 1～16,按如下过程进行操作： ，然后把这个方格所在 个数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 图2 1 ：按图2 ，不论如何 ，最后剩下的4 2 2外， 4个数之和必定是34 的填 ? 60 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋166暋 暋暋暋暋暋 那么阴影部分的面积=4个半圆AB 的面积 -4个三角形AOB的面积=2个圆AB 的面 积- 正方形 ABCD 的面积,S阴影 =2暳毿暳 ( )42 2 -4暳4=8毿-16=9.12。 5.解:如图,将两块阴影部分补拼成一个整体, 则阴影部分的面积为毿暳8 2 4 - 8暳8 2 =16毿-32 =18.24。 6.解:如图,将两个扇形重新组拼, 则阴影部分的面积为毿暳40暳2 4 -40=20毿- 40=22.8。 7.解:每个小方块的面积为72暵18=4, 总面积为14暳4+72暳2+19暳4=276。 8.解:如图,花瓣的面积=3个圆的面积+正方 形的面积-4个半圆的面积=1个圆的面积 +正方形的面积=毿暳12+4暳4=毿+16= 19.14。 9.解:由栙的面积等于栚的面积可知,平行四边 形的面积与圆的面积相等,即 毿暳 10( )2 2 =25毿=157。 10.解:如图,易知OD 平行AB,则三角形AOD 的面积与三角形BOD 的面积相等, 阴影部分的面积为毿暳4 2 4 + 4暳4 2 =4毿+8= 20.56。 11.解:阴影部分的面积为两个半圆面积之和减 去三角形的面积,即 毿暳(52+32) 2 - 10暳6 2 =17毿-30=23.38 。 12.解:阴影部分的面积为半圆的面积加扇形的 面积减去三角形的面积,即 毿暳42 2 + 毿暳82暳45 360 - 8暳8 2 =16毿-32= 18.24。 第8讲暋操作问题 1.解:不能,因为231和121都是11的倍数,2 不是11的倍数,所以在操作过程中产生的数 也应当是11的倍数。而 100不是 11的倍 数,所以不可能出现100。 2.解:这个变换的过程实际上就是求两数最大 公约数的辗转相除法,2012和2605的最大公 约数是1。 所以最后得到的两个相同的数是1。 ! " # $ 暋暋暋暋暋167暋 暋 暋 机 不 可 失 氋 失 不 再 来 氌 氞氭 新 五 代 史 氱氠 3.解:每次变换都没改变这列数的总和,1+2+ 3+…+2013=2013暳 (2013+1) 2 =2027091 。 4.解:口袋中所有纸片的数字之和的后两位数 保 持 不 变,1 + 2 + 3 + … + 318 = 318暳(318+1) 2 =50721 , 所以最后的数是21。 5.解:第一次操作后,A 中的水是原来的12 , 第二次操作后,A 中的水是原来的 12 + 1 2 暳 1 3= 2 3 , 第三 次 操 作 后,A 中 的 水 是 原 来 的 23 暳 1-( )14 = 1 2 , …… 第奇数次操作后,A 中的水是原来的12 , 则第2012次操作后,A 中的水是2012暳 12 +2012暳12暳 1 2013=1006 1006 2013 (升)。 答:最后A 中的水是100610062013 升。 6.解:不可能。因为每次加上的数之和是1+2 +3+4=10, 所以黑板上的四个数之和总是10的整数倍。 2012暳4=8048,不是10的整数倍, 所以黑板上的四个数不可能都是2012。 7.解:每次操作后,所有卡片上各数之和除以17 的余数不变, (1+2+3+…+135-19-97)暵17=9064暵 17=533……3, 又黄色卡片上的数在0~16之间, 所以黄色卡片上的数是3。 8.解:假设扑克牌的编号始终不变,那么第五次 操作后,剩下的扑克牌的编号是25=32的倍 数, 由牌的数目可知只有32满足, 那么第六次就取走了最后一张牌。 (32-2)暵13=2……4, 所以最后一张牌是梅花4。 答:取走最后一张牌的是第六次操作,最后一 张牌是梅花4。 9.解:从第二次开始,每次标完数后,新增的数 字之和都等于上一次圆周上的所有数字之 和,即每次标完数后,圆周上的所有数字之和 都是上一次的2倍。 第8次标完后的总和是(1+3)暳28-1=4暳27 =512。 10.解:当十个数按1,2,3,10,4,5,6,7,8,9排 列时,交换的次数最少,要交换6次; 当十个数按9,8,7,10,6,5,4,3,2,1排列 时,交换的次数最多,要交换42次。 11.解:如下表所示,前8次操作,最上面一张卡 片上的数依次为1曻6曻10曻8曻9曻2曻12曻 7曻3。 上暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋下 操作前 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 第一次 操作后 6125114103 9 2 8 1 7 答:第8次操作后,最上面一张卡片上的数 是3。 12.解:(1)如图1,把第1~4列看成是+1~+4 的列,剩下的4个数之和是 0+4+8+12+(1+2+3+4)=34。 (2)图1中各行各列剩下的4个数之和是 34,所以各行各列的填入方法分别是4暳3暳 2暳1=24(种), 图1状态下的替换方法(包括图1本身)共 有24暳24=576(种), 图2状态下的替换方法(包括图2本身)共 有24暳24=576(种), 所以填写方法共576暳2-1=1151(种)。 ★ " # ★ NEWHOPECUP 暋 暋168暋 暋暋暋暋暋 答:除图2外,剩下的4个数之和必定是34 的填写方法有1151种。 第9讲暋最优化问题 1.解:11名工人一组,7人生产上衣,4人生产裤 子,每组可生产7暳4=28(套), 88人每天最多能生产 88暵11暳28=224(套), 答:88人每天最多能生产224套服装。 2.解:604< 50 3 ,所以应尽量租大船, 55暵4=13……3,余下的3人正好租只小船, 即租13只大船和1只小船租金最少, 最少租金为13暳60+1暳50=830(元)。 答:租13只大船和1只小船租金最少,最少 为830元。 3.解:易知5支一包比3支一包划算, 方案一:9包大的和1包小的, 红笔共61暳9+40暳1=589(元), 蓝笔共70暳9+47暳1=677(元); 方案二:7包大的和4包小的, 红笔共61暳7+40暳4=587(元), 蓝笔共70暳7+47暳4=678(元); 589>587,故买红笔选择方案二, 677<678,故买蓝笔选择方案一, 两种笔共587+677=1264(元), 答:王老师最少要花1264元。 4.解:先从A 地运20车渣土到B 地,然后开空 车到C地,从C地运20车砖到D 地,从D 地 开空车回 A 地,再从A 地运20车渣土到B 地,然后开空车到A 地,总路程最短为 20+18+28+32+20+20=138(千米), 答:略。 5.解:10+30+20<10+60,根据“小往大靠暠原 则,可知货物存放在D 仓库时,运费最少, 运费为100暳(10暳3+30暳2+20暳1+60暳 1)暳0.5=8500(元), 答:集中到D 仓库运费最少,最少为8500元。 6.解:7000暵2000=3.5>3,故粗水管铺至B 点 费用最少, (10+5)暳7000+(2暳4+3暳3+1暳2+4)暳 2000=151000(元), 答:粗水管铺至 B 点,其余用细水管费用最 少,最少为151000元。 7.解:采用剪圈取短法: 共7+1+3+2+3+4+3=23(千米), 答:最少需电缆23千米。 8.解:截法1:2.9+2.9+1.5=7.3, 截法2:2.1+2.1+1.5+1.5=7.2, 截法3:2.9+2.1+2.1=7.1, 答:共用90根钢筋,其中40根用截法1,30 根用截法2,20根用截法3。 9.解:甲商店花费80暳50=4000(元), 乙商店花费(80-5)暳60=4500(元), 丙商店花费 80暳60-80暳60暵200暳30= 4080(元), 答:到甲商店买最划算。 10.解:将8个点所需人数按从多到少排列如 下:45,43,42,40,39,38,37,35, 从左数第3个数是42,所以安排42人跟车, 总人数为42暳3+3+1=130(人), 答:安排装卸工总人数最少为130人。 11.解:观察发现,乙公司到B 城市的距离比甲 公司小很多,所以乙公司将1000吨钢材全 部运到B城市,甲公司的钢材运到其他三个 城市。答:略。 12.解:要使经济损失最小,3名工人的工作时间 应尽量均等,且每人要先维修时间短的, 12+16+9+18+25+29+14=123(分钟), 123暵3=41(分钟),即每人维修41分钟, 12+29=16+25=9+14+18=41, 这7辆车最少共停开 (12暳2+29)+(16暳2+25)+(9暳3+14暳 2+18)=183(分钟),