精品解析：四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试题

成都西川中学2023-2024学年九上 数学入学练习 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、2、 B. 1、2、4 C. 1、、4 D. 1、、 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是　　 A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A. 18 B. 8 C. 10 D. 9 6. 关于x的分式方程无解，则k的值为（ 　） A. ±3 B. 3 C. －3 D. 无法确定 7. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程的根，则此三角形的周长是（ ） A. 10 B. 17 C. 20 D. 17或20 8. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：﹣＝_____． 10. 因式分解：_____． 11. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 12. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是_____． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 解答下列各题． （1）因式分解： （2）解不等式组： 15. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在中，点E，F在对角线上，且，连接，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 17. 如图，的三个顶点的坐标分别为， （1）画出把向下平移个单位后的图形； （2）画出将绕原点按顺时针方向旋转后的图形； （3）若在该坐标系中，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 18. 如图，在锐角中，，点，在外部且与点在直线同侧，满足且，连接、． （1）证明：； （2）如图，，的延长线交于点，过作于点，连接； 线段，，有何数量关系？猜想并证明你的结论； 在的条件下，若，，则的长度为？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若实数、满足，则代数式的值为______. 20. 已知关于x的不等式组有且只有2个整数解，且a为整数，则a的值为_____． 21. 如图，的周长为，对角线，延长到点，使，连接，则_____． 22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为__________． 23. 如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为__________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 25. 【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转的过程记作变换．例如：在平面直角坐标系中，已知点，，则O经过变换后所得的点B的坐标为． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，B，设A经过变换后得到C． （1）求点C的坐标； （2）过C作轴于D，点E是线段上一动点，设E经过变换后得到点F，连接，． （i）若的面积为3，求点F的坐标； （ii）设点O是y轴上一动点，当以A，B，F，M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 26. 在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点． （1）如图，，求的度数； （2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点至的距离最小值时，求出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都西川中学2023-2024学年九上 数学入学练习 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．是因式分解，故本选项符合题意； C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D．此变形错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、2、 B. 1、2、4 C. 1、、4 D. 1、、 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：∵一元二次方程可化为：， ∴二次项系数为1、一次项系数为、常数项为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为-1＜x≤2，所以A是正确的． 【详解】解：由第一个不等式得：x＞-1； 由x+1≤3得：x≤2． ∴不等式组的解集为-1＜x≤2． 故选A． 【点睛】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A. 18 B. 8 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得出DE,CD,EC的长度，则△DEC的周长可求． 【详解】∵D、E分别是BC、CA的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∵AB＝4，BC＝8，AC＝6， ∴DE＝AB＝2，EC＝AC＝3，CD＝CB＝4， ∴△DEC的周长＝2+3+4＝9， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 6. 关于x的分式方程无解，则k的值为（ 　） A. ±3 B. 3 C. －3 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】去分母得：x=2x−6+k， 由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：3=2×3−6+k，k=3， 故选B. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 7. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程的根，则此三角形的周长是（ ） A. 10 B. 17 C. 20 D. 17或20 【答案】B 【解析】 【分析】根据第三边是方程x2﹣17x+70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：． 故选B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量． 8. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的交点，熟练掌握一次函数图像和性质是解题的关键．根据题意求出点，根据题意即可求出不等式的解集． 【详解】解：将代入， ， ， 故， 要使，即使函数图像在上方，即， 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：﹣＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：﹣ ＝ ＝ ＝2． 故答案为：2. 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，保证因式分解彻底 【详解】解： 11. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和及一元一次方程的应用，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是_____． 【答案】115° 【解析】 【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可． 【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠CAE＝45°， ∵∠ACD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 故答案为115°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作图得平分， ∵， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， ∴的面积； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 解答下列各题． （1）因式分解： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解中提取公因式法与公式法的综合运用，以及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）提取公因式后，再利用公式法解答； （2）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案，即先求出每一个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到整个不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：由，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 由，去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式组的解集为：． 15. （1）解分式方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 即原方程的解为； （2）原式 ， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 如图，在中，点E，F在对角线上，且，连接，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中 ； （2） 证明：， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 17. 如图，的三个顶点的坐标分别为， （1）画出把向下平移个单位后的图形； （2）画出将绕原点按顺时针方向旋转后的图形； （3）若在该坐标系中，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）或或 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）首先确定、、三点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点位置，再连接即可； （3）结合图形可得点位置有三处，分别以、、为对角线确定位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点的坐标为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了作图旋转变换，关键是正确确定、、三点旋转后的位置． 18. 如图，在锐角中，，点，在外部且与点在直线同侧，满足且，连接、． （1）证明：； （2）如图，，的延长线交于点，过作于点，连接； 线段，，有何数量关系？猜想并证明你的结论； 在的条件下，若，，则的长度为？ 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2） ，证明如下： 如图，过点作于， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ； 【解析】 【分析】本题是三角形题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解一元二次方程等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）根据可证明； （2）过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明，得出，即可得出结论；由全等三角形的性质及四边形的面积可得出，根据三角形的面积公式及已知等量关系列出方程，解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：①略． ， ， ， 又， ， ， ， 整理，得：， 分解因式，得：， 解得：（负值不符合题意，故舍去）， 的长度为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若实数、满足，则代数式的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，将转化为：，整体代入，即可求得结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是整式乘法中利用整体代入的方法进行求值，灵活利用公式是解题的关键． 20. 已知关于x的不等式组有且只有2个整数解，且a为整数，则a的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】解不等式组得出其解集为3≤x＜a，根据不等式组只有2个整数解知4＜a≤5，结合a为整数可得答案． 【详解】解不等式x﹣a＜0，得：x＜a， 解不等式9﹣2x≤3，得：x≥3， 则不等式组的解集为3≤x＜a， ∵不等式组只有2个整数解， ∴不等式组的整数解为3和4， 则4＜a≤5， 又a为整数， ∴a＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查根据不等式组的整数解求参数的值，熟练掌握，即可解题. 21. 如图，的周长为，对角线，延长到点，使，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理，根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理及其应用． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 的取值范围为且， 的最大整数值为， 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，构造是解题的关键．在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，先证明，得到，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于， 在矩形中， ， ， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． （1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【解析】 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 【小问2详解】 解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 25. 【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转的过程记作变换．例如：在平面直角坐标系中，已知点，，则O经过变换后所得的点B的坐标为． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，B，设A经过变换后得到C． （1）求点C的坐标； （2）过C作轴于D，点E是线段上一动点，设E经过变换后得到点F，连接，． （i）若的面积为3，求点F的坐标； （ii）设点O是y轴上一动点，当以A，B，F，M四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 【答案】（1）的坐标为 （2）ⅰ，；ⅱ的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）求出，，根据经过变换后得到，可知为的中点，即得的坐标为； （2）ⅰ过作轴于，过作轴于，交直线于，由经过变换后得到点，可证，有，，，的纵坐标都为1，设，则，根据的面积为3，得，，； ⅱ设，，分三种情况：当，为对角线时，，的中点重合，，当，为对角线时，，当，为对角线时，，分别解方程组可得答案． 【小问1详解】 把代入得：， 解得， ， 令得， ， 经过变换后得到， ，，共线，且， 为的中点， ，， 的坐标为； 【小问2详解】 ⅰ过作轴于，过作轴于，交直线于，如图： 经过变换后得到点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，的纵坐标都为1， 在中，令得， 设，则， 的面积为3， ，即， 解得， ，； ⅱ由ⅰ知的纵坐标为1，设，， 又，， 当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； 当，为对角线时， ， 解得， ； 当，为对角线时， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 26. 在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点． （1）如图，，求的度数； （2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点至的距离最小值时，求出此时的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再根据轴对称的性质得出，然后根据得出结论即可； （2）分和两种情况分别求出的长度即可； （3）先得出当时，点到的距离最小，求出此时的面积即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ， 根据轴对称的性质可知，， ， 的度数是； 【小问2详解】 解：分两种情况： 若， 如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 根据轴对称的性质可知，， ， ， ， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 根据轴对称的性质可知，，， ， ， ； 若， 如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 根据轴对称的性质可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 综上所述，线段的长为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 若要最小，则最小即可， 即当时，最小，过点作于点，过点作于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 根据轴对称的性质可知，， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 又， 根据轴对称的性质可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 当点至的距离最小值时，此时的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $