第05讲 二次根式 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第05讲 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 5．下列说法错误的个数为（    ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．________． 8．比较大小： ． 9．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 10．计算：    11．计算： ． 12．的有理化因式是 ． 13．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 14．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 15．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 16．不等式的解集是 ． 17．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值是 ． 18．设，，当t为 时，代数式． 三、解答题 19．化简： (1)； (2)； (3)． 20．计算：． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．化简： 23．计算： 24．先化简，再求值：，其中． 25．已知，，求的值． 26．先化简，再求值：，其中，． 27．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 28．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______． (2)利用上面所提供的解法，请化简： ． (3)模仿上面所提供的解法，试一试化简： ． 29．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 30．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； C、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 2．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【解析】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 3．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，完全平方公式，二次根式的性质及二次根式的乘法依次对各选项进行判断即可．掌握二次根式的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【解析】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 4．等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案． 【解析】解：根据题意，可得， 解不等式组，得 ， 所以，等式成立的条件是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 5．下列说法错误的个数为（    ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案． 【解析】 解：（1），故错误； （2）的倒数为，故错误； （3）当时，，故错误； （4），故正确； ∴正确的有3个； 故选：C． 6．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【解析】解： ． 故选：D． 二、填空题 7．________． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【解析】解：． 故答案为：2024． 8．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【解析】解：，， ， ． 故答案为：． 9．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【解析】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 10．计算：    【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的加减法、二次根式的性质与化简，先根据题意判处出与3的大小关系，再根据二次根式的性质进行解题即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是能正确合并同类二次根式． 根据二次根式加减运算法则计算即可． 【解析】 ． 故答案为：． 12．的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【解析】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 13．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【解析】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 14．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 15．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 【解析】解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 16．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【解析】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】先估算出的值的范围，从而可得的值范围，进而求出的值，然后代入式子中，进行计算即可解答． 【解析】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 18．设，，当t为 时，代数式． 【答案】2 【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可． 【解析】， ， ，解得（舍去），． 故答案为：2 【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键． 三、解答题 19．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质以及完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算，即可解答． 【解析】 ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【解析】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 22．化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【解析】解： ． 23．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法和除法运算，先将式子中二次根式中的分式化成分子分母分别含有二次根式的式子，然后利用乘除法进行计算，最后将结果化成最简二次根式即可. 【解析】解： 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查的是分式的化简求值．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【解析】解： ， 当时，原式． 25．已知，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可． 【解析】解：由于 ， 则 ； 答：的值为13． 26．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【解析】解：原式 ； 当，时， 原式． 27．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把，代入，计算即可作答． （2）先整理，再把，代入，计算即可作答． （3）先整理，再结合（1）和（2），即可作答． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 28．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______． (2)利用上面所提供的解法，请化简： ． (3)模仿上面所提供的解法，试一试化简： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）所求裂项，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）先分母有理化得到，据此裂项求解即可． 【解析】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∴ ． 29．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 30．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)（）， 【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【解析】（1）解：当时，，，， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，可得，解得， ∴ ∴ ； ∵为整数，且有最大值， ∴或3或2或1或0或， 当时，三角形三边长分别为，，， ∵， ∴此时不满足三角形三边关系，故， 当时，三角形三边长分别为，，， 满足三角形三边关系， 可设，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$