第二十一章 一元二次方程（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用，人教版）

第二十一章 一元二次方程（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，该方程含有个未知数且未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； B．，该方程中的未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； C．，该方程中的分母含有未知数，故此选项不符合题意； D．，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．6、2、9 B．2、、 C．2、、9 D．、6、9 【答案】B 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、、， 故选：B． 3．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 4．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：B． 5．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 故选：B． 8．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 9．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15． 故选：B． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：4． 12．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 【答案】2 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：2． 13．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 14．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：设中为， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴“”的最大值为， 故答案为：． 15．如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程的一个根，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 或， ，， ， 不合题意，舍去， ， 故答案：． 16．已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解： 或 或； （2） 或 或． 18．（6分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 19．（6分）已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】①；② 【详解】解：①时，原方程为： 解方程得： 当等腰三角形的三边长为：时， ∵， ∴此种情况不成立； ∴等腰三角形的三边长为： ∴的周长 ②∵为等边三角形， ∴关于x的方程有两个相等是实数根， ∴ 解得： 20．（6分）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【答案】(1) (2)31.25万人 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 由题意可得 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月平均增长率为． （2）（万人） 答：7月份的游客人数为31.25万人． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根和b的值分别是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ，解得， 故该方程的另一个根为， ， ∴． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 23．（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 【答案】(1) (2)20元 (3)销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：． ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解：根据题意得：，即，， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：该书的销售单价为20元； （3）解：根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 24．（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 25．（12分）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．6、2、9 B．2、、 C．2、、9 D．、6、9 3．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 4．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 5．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 8．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一元二次方程根的判别式的值为 ． 12．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 13．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 14．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 15．如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程的一个根，则m的值为 ． 16．已知，且满足，，那么的值为 . 三、解答题：共9题，共72分，其中第17题4分，第18~21题每小题6分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 19．（6分）已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 20．（6分）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根和b的值分别是多少？ 22．（10分）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 23．（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 24．（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 25．（12分）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$