专题一 根的判别式及根与系数关系的综合-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题一 根的判别式及根与系数关系的综合 例题讲解 例 「随州中考1已知关于x的一元（2)x+x,=一(2m+1) 代入x,+x,+ Xx=m-2 3xx2=1 m的值 二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两 (1)证明：因为4=(2m+1)2-4×1×(m 个不等的实数根； 2)=4m2+4m+1-4m+8=4m2+9>0, 所以无论m取何值，此方程总有两个不 (2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+ 等的实数根。 x2+3x1x2=1,求m的值 (2)解：由根与系数的关系， 思路分析 得x1+2=-(2m+1),x1x2=m-2. (1)△=b2-4ac 整理 4>0 结论 由x1+x2+3x1x2=1, 得-(2m+1)+3(m-2)=1,解得m=8. 知识点睛运用一元二次方程根与系数的关系的前提是该方程 必须是一元二次方程且有实数根，运用时一定要先利用根的判别 式判断方程是否有实数根 对应训练 1.☆向[南充中考]已知关于x的一元二次方程x2+3x+k- 2=0有实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x,+1)(x2+ 1)=-1,求k的值 解：(1)因为关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0 有实数根，所以△=32-4×1×(k-2)≥0，所以k≤ 1门，即k的取值范国是≤ 7 4 4 (2)因为方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为 X1,X29 所以x1+x2=-3,x1x2=k-2. 因为(x1+1)(x2+1)=-1, 所以x1x2+(x,+x2)+1=-1, 所以k-2+(-3)+1=-1,解得k=3,即k的值是3. 2.★★[十堰中考]已知关于x的一元二次方程x2-2x- 3m2=0. (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，B,且+2B=5,求 m的值 (1）证明：因为a=1,b=-2,c=-3m2, 所以△=(-2)2-4×1×(-3m2）=4+12m2>0, 所以方程总有两个不等的实数根 (2)解：由题意，得 a*B=2, 解得 a=-l, a+2B=5, B=3. 因为a6=-3m2,所以-3m2=-3, 所以m=±1，所以m的值为±1. 3.★★[荆门中考]已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m -1=0有x1,x2两个实数根， (1)若x1=1,求x2及m的值 (2)是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)= 若存 在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 能 解：(1)根据题意，得x1+x2=6,x1x2=2m-1, △=(-6)2-4(2m-1)≥0，所以m≤5. 因为x1=1,所以x2=5,m=3. (2)存在.国为(x-1(x-1)Fm-5 6 所以(，1 6 6 即2m-1-6+1= m-5 整理，得m2-8m+12=0,解得m1=2,m2=6. 经检验，m1=2,m2=6均为原分式方程的解。 又m≤5，且m≠5，所以m=2. 所以存在m=2,满足(x,-1)(x2-1) m-5