第1章 特殊平行四边形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用，北师大版）

第1章 特殊平行四边形（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 2．已知是▱ABCD的对角线，要判定▱ABCD为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 3．菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 4．如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 5．如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 6．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连接，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   ) A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 7．下列说法正确的有（    ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤三个角相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑦无理数就是开方开不尽的数；⑧无限小数是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（    ） A．24 B．14 C．48 D．25 9．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　 ) A． B． C．1- D．-1 10．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 12．菱形的对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 13．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 14．如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 15．如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 16．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形． 18．（4分）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 19．（6分）如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为______． 20．（6分）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．（8分）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 22．（10分）如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 23．（10分）如图，四边形为平行四边形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的点E处，折痕为，且，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 24．（12分）如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：________；________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 25．（12分）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 特殊平行四边形（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【答案】A 【详解】解：菱形的四条边都相等，而矩形的邻边不一定相等， 故选：A． 2．已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故选：A． 3．菱形的两条对角线长分别为4和6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】A 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为4和6， ∴菱形的面积为∶， 故选：A． 4．如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ， 是正三角形， ， ， 故选：B． 6．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连接，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   ) A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 7．下列说法正确的有（    ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤三个角相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑦无理数就是开方开不尽的数；⑧无限小数是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误； ②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法错误； ③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，原说法正确； ④两条对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确； ⑤四个角相等的四边形是矩形，原说法错误； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误； ⑦开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误； ⑧无限不循环小数是无理数，原说法错误； 故选：A． 8．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（    ） A．24 B．14 C．48 D．25 【答案】A 【详解】解： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为：． 故选：A 9．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　 ) A． B． C．1- D．-1 【答案】D 【详解】绕顶点顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， 正方形重叠部分的面积是. 故选：. 10．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 【答案】3 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 故答案为：3． 12．菱形的对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：菱形面积为； 故答案为：． 13．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/73度 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 16．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】30 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：30. 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形． 【答案】详见解析 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 18．（4分）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 19．（6分）如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明： ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵平行四边形是矩形； ∴， 又∵， ∴， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． 20．（6分）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)2 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ∴四边形是平行四边形． ，， ， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）知四边形是矩形， ，， ． 又，， ． 在中，， ， ． 21．（8分）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，（平行四边形的对角线互相平分） ， （等角对等边）， 即， 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； （2）解：，， 是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ， ， 是矩形， ，（矩形的四个角都是直角） 在中 ，， ， ． 22．（10分）如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ． 23．（10分）如图，四边形为平行四边形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的点E处，折痕为，且，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ，， ， 是直角三角形，且． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得平行四边形是矩形， ，，， 又， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即的长为． 24．（12分）如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：________；________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当时，四边形是平行四边形 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 25．（12分）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$