第1章 勾股定理（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第1章 勾股定理（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各组数据，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4， 2．已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 3．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 5．如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．1 6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和4，则字母所代表的正方形的边长是（   ） A．7 B．5 C． D． 7．如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 10．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发沿着北偏东的方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿着南偏东的方向航行，离开港口2小时后两船相距 海里． 12．如图，在中，，点是上一点．，若，，则 ． 13．在中，，，高，则的面积为 14．如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离米，头顶与地面的距离米，头顶与篮板点处的距离米，则点到地面的距离为 米． 15．如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为 ． 16．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，…的线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离． 19．（6分）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 20．（6分）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 21．（8分）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 22．（10分）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长； (2)当时，小正方形的面积是多少？ 23．（10分）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） (1)求，两点之间的长度； (2)小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 24．（12分）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 25．（12分）如图，在中，，，，点从点出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则的值为______； (2)当时，求的值； (3)当是直角三角形时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各组数据，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4， 【答案】B 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故该选项是正确的； C、，，不是正整数，故不符合题意； D、不是正整数，故不符合题意； 故选：B 2．已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 【答案】D 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 3．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， ∴在中，， ∴， ∴的取值范围为：， 故选：C ． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ． 故选：D． 5．如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．1 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和4，则字母所代表的正方形的边长是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图， 根据题意得：，，， ∴， ∴图中字母所代表的正方形面积， ∴，即字母所代表的正方形的边长是． 故选：C． 7．如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【详解】解：， ； 设，则， ， 在中，由勾股定理有：， 即， 解得； 即． 故选：B． 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 10．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接， 由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发沿着北偏东的方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿着南偏东的方向航行，离开港口2小时后两船相距 海里． 【答案】40 【详解】解：由北偏东的方向航行，与南偏东的方向航行成直角， ∴由题意得两船相距海里． 故答案为：40． 12．如图，在中，，点是上一点．，若，，则 ． 【答案】3.1 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∵， ∴在中，可有， 在中，可有， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3.1． 13．在中，，，高，则的面积为 【答案】66或126/126或66 【详解】解：分两种情况考虑： ①当为锐角三角形时，如图1所示， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 则； ②当为钝角三角形时，如图2所示， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 则； 综上，的面积为66或126， 故答案为：66或126． 14．如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离米，头顶与地面的距离米，头顶与篮板点处的距离米，则点到地面的距离为 米． 【答案】2.15 【详解】解：如图，过点A作，则米，米，米， ∴中，（米）， ∴（米）． 故答案为：2.15． 15．如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 的周长为30， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 16．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，…的线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 【答案】 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ⋯， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】小汽车超速了 【详解】解：根据题意可得，，即，，， ∴在中，， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车超速了． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离． 【答案】 【详解】解：∵和， ∴，， 在中，根据勾股定理，得：， ∴， ∴A，B两点之间的距离为． 19．（6分）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)24米 (2)8米 【详解】（1）在中，（米），（米）， （米）， 答：梯子的顶端距地面24米； （2）在中，（米）， （米）， （米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 20．（6分）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 21．（8分）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）解： ． 结论成立． 22．（10分）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长； (2)当时，小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，， 图2中正方形的边长是； （2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边， 由勾股定理可知，当，时，， 小正方形的面积等于5． 23．（10分）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） (1)求，两点之间的长度； (2)小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 【答案】(1)米； (2)选择路线． 【详解】（1）解：点在点的正南方，点在点正东方 在中，，米，米 （米） 答：，两点之间的长度米． （2）解：由（1）得米 又 ∴（米） ∴路线长为：（米） 路线长为：（米） ， 小庆应选择路线． 答：小庆应选择路线． 24．（12分）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 【答案】(1) (2)秋千绳的长为 【详解】（1）在中， ， ， 点表示的数是； （2）设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 25．（12分）如图，在中，，，，点从点出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则的值为______； (2)当时，求的值； (3)当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)2或14 (2) (3)8或 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ 依题意，， 当点在点的左侧时， 当点在点的右侧时， ∵， ∴或 解得：或， （2）当时， ，， 在中，， ， 解得． （3）解：∵，， ， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ， ①当时，如图，点与点重合， ， ， ②当，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 综上所述，8或， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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