第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

[在此处键入] 第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A．1，2，﹣1 B．1，﹣2，1 C．﹣1，﹣2，1 D．1，﹣2，﹣1 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（  ） A．2 B．-2 C． D．3 3．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 4．方程x2＋x－1＝0的一个根是（ ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 7．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（    ） A． B．2 C． D．0 8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644 C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356 9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（　　） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 10．下列说法正确的是（ ） A．一元二次方程的一般形式是 B．方程的解是 C．一元二次方程的一般形式是 的根是 D．方程的实数根有三个 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若方程的一个根为，则 ． 12．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 13．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为 ． 14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ． 15．一元二次方程的两根为，则 16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．解方程：（1）； （2）． 18．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 19．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数． 20．有两人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 21．已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 24．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题： 已知，是一元二次方程的两个实数根．   （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； （2）若，求的值和此时方程的两根． 25．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A．1，2，﹣1 B．1，﹣2，1 C．﹣1，﹣2，1 D．1，﹣2，﹣1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案． 【详解】一元二次方程整理成一般形式为：x2﹣2x﹣1=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、﹣2、﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（  ） A．2 B．-2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】由是关于x的一元二次方程，得 ，且． 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数这一条件． 3．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【详解】x2﹣16x+24=0 x2﹣16x+64=﹣24+64 （x﹣8）2=40 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方． 4．方程x2＋x－1＝0的一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】解：，，， △， 则， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，解题的关键是掌握用求根公式解一元二次方程的方法． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出根的判别式△，然后选择答案即可． 【详解】∵△=＞0， ∴方程有有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出∆的值，然后根据∆的值判断即可. 【详解】∆=(4m)2-4×(-1) ×4=16m2+16, ∵m2≥0, ∴16m2+16>0, ∴方程有两个相等的实数根. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 7．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是0， 把代入，得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义和解一元二次方程，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644 C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356 【答案】C 【详解】设道路的宽应为x米，由题意有 （100-x）（80-x）=7644， 故选：C． 9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（　　） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 【答案】B 【分析】先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可. 【详解】设每个支干长出x个分支， 根据题意得 1+x+x•x=13， 整理得x2+x-12=0， 解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去）， 即每个支干长出3个分支. 故应选B. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 10．下列说法正确的是（ ） A．一元二次方程的一般形式是 B．方程的解是 C．一元二次方程的一般形式是 的根是 D．方程的实数根有三个 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，因式分解法解方程，求根公式进行判断． 【详解】A、当ax2+bx+c=0中的a=0时，该方程不是一元二次方程．故本选项错误； B、方程x2=x的解是x=1或x=0．故本选项错误； C、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，且a≠0．故本选项错误； D、方程x（x+2）（x-3）=0的实数根是x=0或x=-2或x=3，共3个．故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若方程的一个根为，则 ． 【答案】0 【分析】利用方程的解的定义，即可求解． 【详解】解：∵方程的一个根为，将其代入方程可得： ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】7 【分析】把代入方程中得到关于字母c的一元一次方程，解此方程解得c的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：把代入方程中得 解得 把代入原方程得 故答案为：7． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为 ． 【答案】2020 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值． 【详解】把x=m代入2x2+3x﹣1=0，得：2m2+3m﹣1=0，则2m2+3m=1． 所以4m2+6m+2018=2（2m2+3m）+2018=2+2018=2020． 故答案为2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】x（x﹣1）=21 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 15．一元二次方程的两根为，则 【答案】 【分析】根据根与系数的关系表示出和即可； 【详解】∵， ∴，，， ∴，， ∴， =， =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． 16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ． 【答案】﹣1或4 【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．解方程：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1），两边直接开平方，得， 或， 解得； （2）， ，即， ， ． 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． 18．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式，利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 19．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数． 【答案】47． 【分析】设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x-3），然后根据等量关系“个位上的数字与十位上的数字的平方和=这个两位数+18”列方程求出x，进而确定这个两位数． 【详解】解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x-3）．可列方程为： x2+（x-3）2=10（x-3）+x+18 解得x1=7，x2=（舍）， ∴x-3=4， ∴10（x-3）+x=47． 答：这个两位数为47． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出一元二次方程成为解答本题的关键． 20．有两人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】10人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染人，第二轮传染人，再根据经过两轮传染后共有人患了流感列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意，得， 解得：舍去，， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 21．已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）详见解析 （2）或 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析． 【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论． 【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m， 依题意，得：x（33-3x）=90， 解得：x1=6，x2=5． 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC=ym，则AB=（33-3y）m， 依题意，得：y（33-3y）=100， 整理，得：3y2-33y+100=0． ∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0， ∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均增长率为，由题意列出一元二次方程求解即可； （2）设降价元，由题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 24．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题： 已知，是一元二次方程的两个实数根．   （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； （2）若，求的值和此时方程的两根． 【答案】（1）存在，12（2），；， 【分析】（1）先根据根的判别式得到m的取值范围为m≥0且m≠3，再根据根与系数的关系得x1+x2=，x1•x2=，然后利用-x1+x1x2=4+x2得，再解关于m的方程即可； （2）先利用完全平方公式变形得到（x1-x2）2=3，即（x1+x2）2-4x1x2=3，再把，，代入得到（-）2-4×=3，解得m1=1，m2=9， 然后分别把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程． 【详解】（1）存在． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴且， ∴的取值范围为且， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴，解得，， 当时，原方程变形为，解得，； 当时，原方程变形为，解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-、x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式． 25．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$