第1章 有理数（单元复习课件）数学青岛版2024七年级上册

第1章 有理数 小结与思考 回顾与总结 有理数 有理数 有理数的定义 有理数的分类 按定义分 按性质符号分 数轴 定义 画法 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 相反数 定义 性质 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等. 绝对值 定义 性质 在数轴上，表示数a的点到原点的距离. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的大小 利用数轴比较 利用法则比较 考点梳理 考点一 用正、负数表示具有相反意义的量 例1（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义． 例如收入20元记作元，则支出10元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． B 变式训练 1.（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（     ） A. 运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 A 变式训练 2.一箱水果的重量标识为(10±0.2)kg，则这箱水果的重量可能是（     ） A. 9.7kg B．9.2kg C．10.1kg D．10.8kg C 变式训练 4.（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是____________ . 3.（2024·云南·模拟预测）已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的乒乓球应记为__________. −0.11 零下 变式训练 5.（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）某工厂加工一种正方体零件，在图纸上注明边长为厘米，表示这种正方体的边长的标准长度是多少？要求边长最大不超过标准长度多少厘米？符合要求的正方体边长的最小值是多少厘米？ 解：根据题意这种正方体的棱长的标准长度， 在图纸上注明棱长为厘米， 加工要求最大不能超过， 正方体边长的最小值为． 答：标准长度厘米，最大不能超过厘米，正方体边长的最小值是厘米． 考点梳理 考点二 有理数的概念和分类 例2 把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开)： 6.1，－，0，－0.01， －3， ， －2.5，85， －1 002，32.76. 正数：{ …}； 负数：{ … }； 整数：{ … }； 分数：{ …}. 6.1， ， 85，32.76 6.1，－，－0.01， ， －2.5，32.76 －，－0.01， －3， －2.5， －1 002 0，－3，85， －1 002 变式训练 1. （22-23七年级上·广西贺州·期末）下列说法中，正确的是（ ） A. 正整数、负整数统称为整数 B. 正分数、负分数统称为分数 C. 零既可以是正整数，也可以是负整数 D. 一个有理数不是正数就是负数 B 变式训练 3.（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在，，0，， 中有理数的个数有______个. 2.（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中： ，负数有_____个. 3 4 变式训练 4.（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）下列关于“0”的说法正确的有___个. ①0是正数和负数的分界点； ②0是正数； ③0是自然数； ④不存在既不是正数也不是负数的数； ⑤0既是整数也是偶数； ⑥0不是负数． 4 变式训练 5. 把下列各数按照不同的标准进行分类： 解：按整数、分数分类， 整数：0，19，－7；分数：－3.4，－ ，0.4，13%，－ ，. －3.4，－，0.4，13%，0，19，－ ，－7，. 按正数、零、负数分类， 正数：0.4，13%，19，；零：0；负数：－3.4，－，－，－7. 变式训练 6. 下列各数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？ －，76，－33， ，18%，－3.6，－0.12，0.58，0，－365. 解：正整数：76； 负整数：－33，－365； 正分数： ，18%，0.58； 负分数：－，－3.6，－0.12. 考点梳理 考点三 数轴的概念和画法 例3 （23-24七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法不正确的是（     ） A．数轴上的单位长度必须相等 B．规定直线上向左的方向为正方向 C．数轴上的原点可以任意选取 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 B 变式训练 1.（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列数轴的画法正确的是（ ） A． B． C． D． D 变式训练 2.（22-23七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法中，错误的是（      ） A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示 C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是36.8的点有两个 A 变式训练 3．（22-23七年级上·河南平顶山·期末）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的数可能是（     ） A．3 B． C．1 D．2 A 变式训练 4.（23-24七年级上·四川宜宾·期末）数轴上有四个点分别表示的是、、、，其中最左边的点表示的是________. －2 5.（2024·福建福州·三模）如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是______. 1 变式训练 6.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：_____；B： _____；C： _____． (2)A、B两点间的距离是_____，A、C两点间的距离是_____． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ (3)解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． −6 1 4 7 10 考点梳理 考点四 利用数轴解决问题 例4（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； 解：(1)根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家， 继续向东骑了1.5km到达小敏家，则； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为， 如图所示： 考点梳理 (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是300m/min ，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ (2) 依题意，． 答：淇淇家与学校之间的距离是3km． (3) 依题意， 则， ∴． 答：嘉嘉骑车一共用了30min． 变式训练 1.（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（     ） A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是－53 D．小颖和小红间的距离为7 C 变式训练 2.（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）点A在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点右侧，若将A点向左移动5个单位长度，此时A点表示的数是 ． －3 3.（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是___________． －2或6 变式训练 4.（23-24七年级上·福建厦门·期中）快递员骑车从转运站出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到转运站． 解：（1）如图所示： （1）以转运站为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； 变式训练 4.（23-24七年级上·福建厦门·期中）快递员骑车从转运站出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到转运站． （2）求快递员一共骑行了多少千米？ （2）快递员一共骑行OA+AB+BC+CO=2+3+9+4=18千米． 5.（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：   (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； 变式训练 解：（1）因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所 表示的数是； （2）因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的 数是； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 变式训练 (3)一共有种移动方法能使移动、、三个点中的任意两个点之后, 三个点表示的数相等, 且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动、、三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 考点梳理 考点五 比较有理数的大小 例5 在数轴上画出表示下列各数的点，并把这些数用“＜”连接起来： －3，2， 5，0， －， －4，1.5。 0 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 -4 解：如图， －3 2 5 0 － －4 1.5 －4＜－＜－3 ＜0＜1.5＜2＜ 5。 变式训练 1.（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D． A 2. 如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，则它们的大小关系是 （ ） A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. b＞a＞c D 变式训练 3. 有理数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列各式正确的是 （ ） A. a＞0＞－b B. |b|＞|a| C. |b|＜1 D. |a|＞|b| B －1 0 1 b a 变式训练 4.（24-25七年级上·全国·单元测试）用“＜”“＞”或“＝”连接： （1）7______5                （2）0_______ 0.01     （3）π ______ 3.14           （4） ______ ＜ ＞ ＜ ＝ 5.（2020·江苏南京·中考真题）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3 ________________________． －1（答案不唯一） 变式训练 6. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来： －3.5，3，0，，－2. 解：－3.5，3，0，，－2在数轴上表示如下， 将它们按从小到大的顺序排列为－3.5＜－2＜0＜＜3. 0 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 -4 -5 6 7 -6 -7 －3.5 3 0 －2 变式训练 7. (1)写出所有绝对值小于5的整数； (2)写出所有大于－并且小于4的整数. 解：(1)绝对值小于5的整数有：－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. (2)大于－并且小于4的整数有：－2，－1，0，1，2，3. 变式训练 8.（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 －0.017 ＋0.023 －0.021 ＋0.022 －0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ 解：（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡 伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． 变式训练 (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． (3)， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． (2)蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． 考点梳理 考点六 相反数的概念和性质 例6（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法不正确的是（      ） A．不同的两个数叫做互为相反数 B．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数 C．若的相反数是正数，则一定是负数 D．若和互为相反数，则 A 变式训练 1.（2024·青海·中考真题）的相反数是（     ） A．2024 B． C． D． A 2.（2023·广东广州·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． B 3.下列说法正确的是 ( ) 变式训练 D A. 正数和负数互为相反数 B. 0没有相反数 C. 在数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D. 任何一个数都有它的相反数 变式训练 4.（23-24七年级上·福建福州·期末）设与互为相反数，则 ． 0 5.（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 5 －5 变式训练 6. （23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 解：(1) ，所以与互为相反数； (2) ，，所以与互为相反数； (3) ，，所以与相等； (4) ，，所以与相等． 考点梳理 考点七 绝对值的概念和性质 例7 回答下列问题: (1)绝对值等于4的数有几个？ (2)绝对值等于0的数有几个？ (3)有没有绝对值等于－3的数？为什么？ 解：(1)绝对值等于4的数有2个，是＋4和－4． (2)绝对值等于0的数有1个，是0． (3)没有绝对值等于－3的数，因为任意一个数的绝对值都是非负的． 变式训练 1.（2024·山东济宁·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C． D．3 D 2.（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B．1 C．2 D．3 B 变式训练 3.（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． C 4.（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（     ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 A 变式训练 5. 下列说法正确的是 （     ） A．|－5|是求－5的相反数 B．|－5|表示的意义是数轴上表示－5的点到原点的距离 C．|－5|的意义是表示－5的点到原点的距离是－5 D．以上都不对 B 变式训练 | a－b | =______(a＞b). a－b | b |＝______ (b＜0)； 6. 化 简： －b | 0.2 |＝______； 0.2 |－2 |＝______； 2 ________； ________． －1.5 2 变式训练 (1) 绝对值是0的数为______；绝对值是12的数为_______； 绝对值是8.5的负数为________. 0 ±12 －8.5 7. 填 空： (2) 已知的绝对值是3，则_________． 5或－1 (3) （2021·山东·三模）若，那么实数一定是__________. 非正数 (4)绝对值最小的数是___，绝对值最小的负整数是_____； 绝对值等于本身的数是_______， ___的相反数是它本身， 绝对值大于本身的数是________. 变式训练 0 －1 非负数 0 负数 变式训练 8.（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． 解：(1)四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 变式训练 (2)解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三 号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格，二号球，，优等品， 三号球，，合格品，四号球，，优等品， 五号球，，优等品，六号球，，合格品． 考点梳理 考点八 利用绝对值的非负性求值 解：根据题意可知 x－4＝0，y－3＝0， 所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7. 例8 已知|x－4|＋|y－3|=0，求x＋y的值. 几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 变式训练 1.（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 C 2. （2024·四川资阳·中考真题）若，则的值是（     ） A． B． C． D． B 变式训练 3.（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（     ） A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则 D 变式训练 4.（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是_________. 5.（23-24七年级上·广东韶关·期末）若，则的值是______． 5 6.（2022·江苏盐城·一模）|x－2|＋9有最小值为 ． 9 变式训练 解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵a、b互为相反数，| c2021|=0， ∴， ∴． 7．（1）已知|x5| + | y4|=0，求x，y的值.     （2）已知a、b互为相反数，| c2021|=0，求a+b+c的值． 变式训练 8.（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知与互为相反数． (1)求a与b的值； (2)若，求x的相反数． 解：（1）与互为相反数， ， ，， 解得，； （2），， ， ， 的相反数为或14． 春よ、来い (春天、来吧) 松任谷由実 (まつとうや ゆみ) 桜-SAKURA-, track 9, disc 0 Blues 309390.53 $$